数理统计的基本知识学习教案

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1、数理统计数理统计(sh l tn j)的基本知识的基本知识第一页，共48页。 1.总体：研究对象的全体。总体：研究对象的全体。通常通常(tngchng)指研究对象的某项数量指标。指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究从本质上讲，总体就是所研究(ynji)的随机变量或随机变量的分布。的随机变量或随机变量的分布。一、总体一、总体(zngt)与样本与样本第一节第一节 总体与样本总体与样本2.2.样本：样本：来自总体的部分个体来自总体的部分个体X X1 1,X,X2 2 , ,X Xn n, ,如果满足如果满足:（1）同分布性：同分布性：X

2、 Xi,i,i=1,i=1,n,n与总体的分布相同与总体的分布相同. .（2 2）独立性：独立性：X X1 1,X,X2 2, , ,X,Xn n 相互独立；相互独立； 则称为则称为容量为容量为n n的简单随机样本的简单随机样本, ,简称简称样本样本。第1页/共48页第二页，共48页。而称而称X1,X2 ,XnX1,X2 ,Xn的一次实现为样本的一次实现为样本(yngbn)(yngbn)观察值观察值, ,记为记为: :nxxx,21则可以认为是则可以认为是n n个相互个相互(xingh)(xingh)独立的事件独立的事件: : , , 2211nnxXxXxX发生发生(fshng)(fshng

3、)了了. .3. 3. 样本联合分布函数或密度函数样本联合分布函数或密度函数则样本联合分布函数或密度函数为则样本联合分布函数或密度函数为),(,2121nnXXXnXXX维随机变量看作是一个若将样本).()()(),(),(,)(,) 1 (212121nnnxpxpxpxxxpXXXxpX具有联合概率函数样本时且有概率函数是离散型随机变量当总体).()()(),(),(,)(,)2(212121nnnxfxfxfxxxfXXXxfX具有联合密度函数样本时且有密度函数是连续型随机变量当总体第2页/共48页第三页，共48页。3.总体总体(zngt)、样本、样本观察值的关系、样本、样本观察值的关系

4、总体总体(zngt) 样本样本(yngbn) 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体.第3页/共48页第四页，共48页。.,60,1求样本的联合概率函数件从中有放回抽样一批产品的次品率为例p)60,2,1( .1,0,)1 ();(.”10“

5、,1ixpppxpXiXixxiiiii其概率函数为分布服从则次抽样时取得的次品数表示第设随机变量解iixixppxxxp16016021)1 (),(数为所以样本的联合概率函第4页/共48页第五页，共48页。.,.0,0;0,)(),(221求样本的联合密度函数个样本现随机抽取概率密度为的指数分布服从参数为设总体例nxXXXnxxexfeX),2, 1(.0,0;0,)(,21nixxexfXXXniixini即总体的分布相同而且每个样本的分布与是相互独立的随机变量个样本因为解.,00,)()()(),(21)(21211其它为故样本的联合密度函数nxnnnxxxexfxfxfxxxfnii

6、第5页/共48页第六页，共48页。.,),(3212求样本的联合密度函数个样本现随机抽取服从正态分布设总体例nXXXnNXiuxinxexfXXXni222)(2121)(,即总体的分布相同而且每个样本的分布与是相互独立的随机变量个样本因为解222)(1212121)()()(),(uxninniexfxfxfxxxf为故样本的联合密度函数第6页/共48页第七页，共48页。.),min()2(;),max() 1 (:,),(),(421)1(21)(21与概率密度的分布函数样本最小值与概率密度的分布函数样本最大值求抽取样本概率密度为的分布函数为设总体例nnnnXXXXXXXXXXXxfxFX

7、分析分析(fnx).)(,) 1 (121)(等价即都小于与事件注意事件niinnxXxXXXxX.,)2(121)1(等价即与事件等价都大于与事件事件niinxXxXXXxX第7页/共48页第八页，共48页。),max()() 1 (21)(maxxXXXPxXPxFnn解,21xXxXxXPn21xXPxXPxXPn样本样本(yngbn)的独的独立性立性)()()(xFxFxFnxF)()()()()()(1maxmaxxfxFnxFdxdxFdxdxfnn于是样本的分布与总样本的分布与总体体(zngt)的分的分布相同布相同1)()2() 1 () 1 (minxXPxXPxF1,1121

8、xXPxXPxXxXxXPnn1 11 121xXPxXPxXPn.)(1 1nxF)()(1 )(1 1)()(minminxfxFnxFdxdxFdxdxfnn于是于是(ysh)第8页/共48页第九页，共48页。第二节第二节 统计统计(tngj)(tngj)量量定义定义(dngy) (dngy) 称样本称样本X1,X2 ,Xn X1,X2 ,Xn 的函数的函数g(X1,X2,Xn )g(X1,X2,Xn )是总体是总体 X X的一个统计量的一个统计量, ,如果如果g(X1,X2,Xn) g(X1,X2,Xn) 不含未知参数不含未知参数. .几个几个(j )(j )常用的统计量常用的统计量:

9、 : ,1. 11niiXnX样本均值,)()(11. 22122SSXXnSnii标准差样本均方差样本方差3.样本样本k k阶矩阶矩nikiknikikXXnBXnA11,)(11中心矩原点矩第9页/共48页第十页，共48页。niiniiniiinXnSDXXnSCXnXBXANXXX12212212221)(11)(;)(11)(;1)(;)().(,),(,1则下面不是统计量的是未知其中样本的简单随机是来自正态总体设例. )()(;)(1)(; )()()(;)()(. )(,1),(,2121XEXDXEnXCXEXEBXEXAXnXXEXXXXXniin则有且的数学期望为的样本是总体

10、设例)()(1)(1)(1)1()(), 2 , 1( )()(,1111XEEXnEXnXEnXnEXEniXEXEXXniniiniiniiii故的样本为总体因为解第10页/共48页第十一页，共48页。.).(),1 , 0(,. 1221221分布的称为自由度为则设构造nnXNXXniiiidn2.2.性质性质(xngzh)(xngzh)：(1)(1)可加性可加性)(,),(),(2122212nnYXYXnYnX则独立相互与且若(2)(2)期望期望(qwng)(qwng)与方差与方差. )2(,)(, )(2nXDnXEnX则若第三节第三节 统计分布统计分布统计量的分布称为抽样分布统计

11、量的分布称为抽样分布.数理统计中常用到如下三个分布数理统计中常用到如下三个分布: 2 2分布、t t 分布和F F分布. 第11页/共48页第十二页，共48页。3.2分布的密度函数(hnsh)曲线0, 00,)(212)2/(212/xxexxfxnnn第12页/共48页第十三页，共48页。4.4.分位点分位点0)(2n满足满足(mnz),)(2nXP则称则称)(2n为为)(2n分布分布(fnb)的上的上分位点。分位点。)(2nP330附表附表2存在若对于设, 10:, )(2nX第13页/共48页第十四页，共48页。1.构造构造(guzo) 若若XN(0, 1), Y2(n), X与与Y独立

12、独立,则则).(/ntnYXT 称为称为(chn wi)自由度为自由度为n的的t分布分布.的概率密度为的概率密度为Ttntnnntfn,)1 ()2()21()(212第14页/共48页第十五页，共48页。第15页/共48页第十六页，共48页。2.2.基本性质基本性质: : (1) f(t) (1) f(t)关于关于t=0(t=0(纵轴纵轴) )对称对称(duchn)(duchn)。 (2) f(t) (2) f(t)的极限为的极限为N(0N(0，1)1)的密度函数，即的密度函数，即3.分位点分位点设设Tt(n)，若对，若对:00， 满足满足PTt(n)=，则称则称t(n)为为t(n)的上侧分

13、位点的上侧分位点xettftn,21)()(lim22)(nt第16页/共48页第十七页，共48页。注注:)()(1ntnt)(1nt)(nt第17页/共48页第十八页，共48页。1.构造构造(guzo) 若若X 2(k1), Y2(k2),且且X与与Y独立独立,则则).,(/2121kkFkYkXF 称为第一称为第一(dy)自由度为自由度为k1 ，第二自由度为，第二自由度为k2的的F分布分布,其概率密度其概率密度为为0, 00,)1)(2()2()/)(2()(2/ )(2121122/21212111yyykkkkykkkkyhkkkk第18页/共48页第十九页，共48页。2. F2. F

14、分布分布(fnb)(fnb)的分位点的分位点对于对于：0010(n1, n2)0，满足满足PFPFF F(n1, n2)=(n1, n2)=， 则称则称F F(n1, n2)(n1, n2)为为F(n1, n2)F(n1, n2)的的上侧上侧分位点；分位点；),(21nnF第19页/共48页第二十页，共48页。1),(211kkFFP证明证明(zhngmng):设设FF(k1,k2),则则),(1),(12211kkFkkF注：注：1),(11211kkFFP),(112kkFF),(11211kkFFP),(112kkFFP第20页/共48页第二十一页，共48页。第四节第四节 正态总体正态总

15、体(zngt)(zngt)下的抽样分布下的抽样分布一一. .单个正态总体下的抽样单个正态总体下的抽样(chu yn)(chu yn)分布分布( (一一).).样本均值样本均值 的分布的分布(fnb)(fnb)X).,(1) 1 (),(,. 12121nNXnXNXXniiiidn则设构造)1,0(/)2(NnX第21页/共48页第二十二页，共48页。),2 , 1()(,)(,2niXDXEXXiii故的样本为总体因为.,1),(12的数学期望与方差下求服从正态分布可加性知于是由正态分布的且因证XXXnXNXniii)1()(1niiXnEXE. ) 1 ,0(/,2NnXnXX得进行标准化

16、对)1()(1niiXnDXD)(11niiXEn)(11niiXEnnin11)(112niiXDnnnni21221)./,(2nNX即第22页/共48页第二十三页，共48页。;) 1 , 0(2)(; ) 1 , 0(22)(;) 1 , 0(162)(; ) 1 , 0(42)().(,),4 ,2(116212NXDNXCNXBNXAXXXXNX面结果正确的是则下的样本为设总体例.)(,)1,0(216/42/正确答案即DNXXnX于是其中故样本因总体解.4, 2),4 , 2(),4 , 2(2222NXNXi)1,0(/NnX故),(2nuNX第23页/共48页第二十四页，共48

17、页。.5 .12,),2,12(225212的概率大于求样本均值的随机样本为来自总体设总体例XXXXXNX25. 14 . 0121XP25. 14 . 01225/2125 .1225/212XPXP. )25/2,12(,)/,()2,12(,222NXnNXNXXXii即于是故的随机样本为来自总体因解5 .125 .12XPXP故.1063. 08944. 01)25. 1 (1第24页/共48页第二十五页，共48页。.75. 05 . 0,16,),2 ,(32XPnNX求概率的样本取容量为从总体中抽为未知参数其中设总体例)1,0()(216/2/222NXXnX于是) 1()5 .

18、1 (5 . 116/212XP)/2 ,(),2 ,(22nNXNX故样本均值因总体解16/275. 016/216/25 . 075. 05 . 0222XPXP.7745. 08413. 01 9332. 0)1 (1 )5 . 1 (第25页/共48页第二十六页，共48页。?%95. 01,)2(.11,64) 1 ().5 ,(42达到才能使多大时抽取样本容量的概率之差的绝对值小于均值与总体求样本均值的样本从总体中抽取容量为设总体例XPnXPXNX585)(858XP)58()58()64/5 ,(),/5 ,(),5 ,(222NXnNXNX即故因总体解)1,0(5)(864/5,

19、2NXX于是111) 1 (XPXP1)58(2)58(1 )58(8904. 019452. 021)6 . 1 (2第26页/共48页第二十七页，共48页。111XPXP)1,0(5)(/5)/5 ,(,)2(22NXnnXnNXn于是故未知因样本容量55)(5nXnnP.968.98.996.15,975.0)5(2nnnn故查表得即)5()5(nn95. 01)5(2)5(1 )5(nnn第27页/共48页第二十八页，共48页。;)1 (),(,.2221相互独立与则都服从若随机样本SXNXXn);1() 1() 2(2222nSn).1(/).(ntnSXTt分布三证证:) 1, 0

20、(/NnXU且且U与与V独立独立(dl),根据根据t分布的构造分布的构造);1() 1(222nSnV) 1() 1/(ntnVU( (二二).).样本样本(yngbn)(yngbn)方差方差 的分布的分布2S);()(1) 3(21222nXnii第28页/共48页第二十九页，共48页。.2) 1() 1().1, 1()/1 ()/1 ()(,)2(2122221122121212221称为混合样本方差其中就有假定进一步nnSnSnSnntnnSYXTww);1, 1(/) 1 (.),(,),(,. 321222221212221211121nnFSSFNYYNXXiidniidn则且两

21、样本独立若二二. .双正态总体下的抽样双正态总体下的抽样(chu yn)(chu yn)分布分布第29页/共48页第三十页，共48页。),1() 1() 1 (1221211nSnU因为证)1()1(2222222nSnV) 1/() 1/(,21nVnUFFVU分布的定义有由独立与而),()1/() 1(/)1/() 1(2121222221222222121211nnFSSnSnnSn第30页/共48页第三十一页，共48页。,)/,(,)/,()2(22221211独立与且因为YXnNYnNX).,(,22212121nnNYX得由正态分布的可加性) 1 ,0(/)()(22212121N

22、nnYXU于是) 1() 1(, ) 1() 1(22222221221211nSnnSn又)2()2/(,21212221nntnnVUTt分布的定义有由时当)2() 1() 1(2122222221211nnSnSnV故第31页/共48页第三十二页，共48页。101244. 1iiXP求的样本是取自设例,)3 . 0, 0(,121021NXXX分析分析(fnx)由于总体服从正态分布由于总体服从正态分布, ,而且而且(r qi)(r qi)数学期望和方差都已知数学期望和方差都已知, ,可用可用)()(121222nXnii求解求解(qi ji)()(121222nXnii因为解101222

23、)0(3 . 01iiX即09. 044. 109. 0144. 110121012iiiiXPXP于是)10(09. 0121012iiX10. 01609. 011012iiXP第32页/共48页第三十三页，共48页。).67. 6(,16,),2,(222SPnNX求概率的样本抽取容量为体中从总为未知参数其中设总体例分析分析(fnx)由于由于(yuy)(yuy)总体服从正态分布总体服从正态分布, ,而且数学期望未知而且数学期望未知, ,可用可用) 1() 1(2222nSn求解求解(qi ji) 1() 1(2222nSn因为解)15(4152) 116(22222SS 即67. 616

24、7. 622SPSP于是41567. 641512SP0 .2541512SP95. 005. 01第33页/共48页第三十四页，共48页。.664. 1,16.,),(2222SPNX求的样本抽取容量为现从中未知其中设总体96.24) 1(664. 1) 116() 1(2222SnPSnP),1() 1(222nSn因为解664. 1) 1() 1(664. 12222nSnPSP故95. 005. 0196.24) 1(122SnP第34页/共48页第三十五页，共48页。中从总体总体设总体XNYNX),4 ,46(),6 ,50(2228. 8)2(;80) 1 ( :,8,1022yx

25、SSPYXP求概率的样本从总体中抽取容量为的样本抽取容量为分析分析(fnx)(fnx) 这是两个正态总体的抽样问题这是两个正态总体的抽样问题, ,所求的概率涉及所求的概率涉及 到样本到样本(yngbn)(yngbn)均值差和样本均值差和样本(yngbn)(yngbn)方差比方差比. .) 1 , 0()/()/()()() 1 (22NnnYXUyyxxyx因为解) 1 , 0(6 . 54)()8/4()10/6()4650()(22NYXYXU即第35页/共48页第三十六页，共48页。6 . 5486 . 54)(6 . 54080YXPYXP于是6 . 546 . 54)(6 . 54Y

26、XP)6 . 54()6 . 54()7,9(94),1, 1()2(222222FSSFnnFSSFyxyxyxxy即因28. 8949428. 82222yxyxSSPSSP于是909. 01)6 . 54(268. 39422yxSSP.95. 005. 0168. 394122yxSSP第36页/共48页第三十七页，共48页。例例4 4 设设X1,X2 ,XnX1,X2 ,Xn是取自是取自N N（, ,2)2)的样本的样本(yngbn),(yngbn),求样本求样本(yngbn)(yngbn)方方 差差S2S2的期望的期望E(S2)E(S2)。22)(,)(),(iiiXDXENX所以

27、因为解.)()()(2222iiiXDXEXE于是niiiniiXXXXnXXnS122122)2(11)(11又)2(1112112niniiniiXXXXn)1(21112112niniiniiXXnnXXn112112122212XnXnXnXnXnniinii第37页/共48页第三十八页，共48页。niniiniinXEnXnEXE1111)(1)1()(而nnXDnXnDXDniniinii21221211)(1)1()(于是有,/)()()(2222nXDXEXE.)()(11)()(11 )()(11)(11)(22222221221221222nnnnnnnXnEXEnXnXn

28、ESEniniinii第38页/共48页第三十九页，共48页。.,.)()(.,6),1 , 0(5226542321621分布服从使随机变量试确定常数设的样本为从总体中抽取一个容量设总体例CYCXXXXXXYXXXNX)6 ,2 , 1() 1 , 0(),1 , 0(iNXNXi故因为总体解)3 , 0(,321NXXX得由正态分布的可加性, ) 1 ()3(),1 , 0(322321321XXXNXXX从而所以得分布的可加性再由同理,);1 ()3(,222654XXX.3/1)2(3133226542321CYXXXXXX故所求的常数第39页/共48页第四十页，共48页。.,:,)4

29、3()2(, )2, 0(. 1224322143212并求自由度分布服从使求的简单随机样本为设总体YbaXXbXXaYXXXXXNX.,)()()(,)2 , 0(,. 222987625432212921并求自由度分布服从使求常数样本的简单随机是来自总体设YcbaXXXXcXXXbXXaYNXXXX第40页/共48页第四十一页，共48页。;/)4(;/)3(;1/)2(;1/) 1 (1)(1,)(11)(1,)(11,),(,643211224122312221221221nSXtnSXtnSXtnSXttnXnSXnSXXnSXXnSNXXXniiniiniiniin分布的随机变量是的

30、则服从自由度为记的随机样本是来自总体设例第41页/共48页第四十二页，共48页。),(),(22NXNXi所以样本因总体解)1 , 0(/, ),(2NnXUnNX故于是) 1()(1)() 1(222221221222nSnXXnnXXSnniinii又因为. ) 1(/) 1/(/2222ntnSXnSnnXt于是有第42页/共48页第四十三页，共48页。. )2(:.)(2,)(21)(31, )(61,),(,72197222987262112921tZSYYZYXSXXXYXXXYNXXXXii证明的随机样本是来自总体设例有由正态分布可加性且于是故样本因为证,. )3/,(, )6/

31、,(, 3/)(, 6/)(,)()().,(, ),(222122212122NYNYYDYDYEYENXNXi).1 , 0(2/, ) 2/, 0(21221NYYUNYY)2(2) 13() 1(22222222SSSn又因为第43页/共48页第四十四页，共48页。分布的定义有于是相互独立与可见相互独立由于tSYYSYY.,221221)2()(22/22/) 1/(2122212tSYYSYYnUt?:,),3 , 0(,9922219219219212服从什么分布问的随机样本和分别是来自总体和而且都服从相互独立与设习作题YYYXXXZYXYYYXXXNYX第44页/共48页第四十五

32、页，共48页。)39, 0(),3 , 0(,29212921NXXXNXXX从而相互独立且服从因解)1 , 0(9/)(921NXXX于是)1 ,0(3)3,0(2NYNYii)1 ()3(22iY)9()3(,29122iiY知分布的可加性由81/ )(9/ )(:,292221921292221921YYYXXXYYYXXXUt得分布的定义于是由)9(9/ )3/()3/()3/(9/ )(292221921tYYYXXX第45页/共48页第四十六页，共48页。. 1,1,),(,8112221ntnnSXXTXXSXNXXXXnnn自由度为分布服从试证统计量立的样本的又一独是和样本均值和方差分别为的样本是来自总体设例)1, 0(21nnNXXn, ),(, ),(212NXnNXn显然证nnXXn11) 1 , 0(11NnnXXn第46页/共48页第四十七页，共48页。) 1/() 1(1221nSnnnXXTn故相互独立和且又, ) 1() 1(2222SXnSn于是独立与从而独立,2121SXXSXXnn) 1(11ntnnSXXn第47页/共48页第四十八页，共48页。