函数的单调性与最值学习教案

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1、会计学1函数函数(hnsh)的单调性与最值的单调性与最值第一页，共30页。2. 如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少(jinsho)的，我们分别称这个函数为_或_，统称单调函数增函数减函数(hnsh)第1页/共29页第二页，共30页。3. 复合函数的单调性对于函数yf(u)和ug(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且ug(x)在区间(q jin)(a，b)上和yf(u)在区间(q jin)(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数yf(g(x)在区间(q jin)(a，b)上具有_，并且具有这样的规律：“_”，见表.yf(u)增函数 减函数ug(x)增函数 减函数 增函数 减

2、函数yf(g(x)单调(dndio)性同增异减增函数增函数减函数(hnsh)减函数增函数减函数第2页/共29页第三页，共30页。基础基础(jch)达达标标(教材改编题)下列函数(hnsh)中，在区间(0,2)上为增函数(hnsh)的是()A. yx1 B. yC. yx24x5 D. y解析：结合函数的图象可知只有选项B对应(duyng)的函数满足题意 B第3页/共29页第四页，共30页。2. (教材(jioci)改编题)f(x)4x2mx5在2，)为增函数，f(1)的取值范围是() A. (，25 B. (25，) C. 25，) D. (，25)解析(ji x)：由题意知对称轴 2，即m1

3、6，所以f(1)9m25. C第4页/共29页第五页，共30页。3. 若函数yax与y 在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是() A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减 D. 先减后增bxB第5页/共29页第六页，共30页。解析：由题意可知a0，b0，yax2bx的对称轴方程：x 0，又a0，yax2bx在(0，)上为减函数2ba第6页/共29页第七页，共30页。4. 函数(hnsh)f(x) 在2,3上的最小值为_，最大值为_解析(ji x)：f(x)在(1，)上为减函数，f(x)在2,3上单调递减，f(x)minf(3) ，f(x)maxf(2)1.12第7页/共29页

4、第八页，共30页。5. 函数 的单调递减(djin)区间是_解析(ji x)： 令u|x3|，则在(，3)上u为x的减函数，在(3，)上u为x的增函数又0 1， 在定义域内为减函数，在区间(3，)上y为x的减函数1212logyu(3，)第8页/共29页第九页，共30页。经典经典(jngdin)例例题题【例1】判断并证明函数(hnsh)f(x) ，x1，)的单调性题型一函数(hnsh)单调性的判断与证明第9页/共29页第十页，共30页。解：函数f(x)= 在-1，+)上为增函数，证明如下：任取x1、x2-1，+)且-1x1x2，f(x1)-f(x2)= 1x11x 21x12121211111

5、1xxxxxx 12121212111111xxxxxxxx -1x1x2，x1-x20， 1210,10 xx 1212011xxxx 即f(x1)-f(x2)0，f(x1)0)在x(1,1)上的单调性变式11方法一(定义法)：设1x1x21，则f(x1)f(x2)= -1x1x20，x1x2+10，(x12-1)(x22-1)0.又a0，f(x1)-f(x2)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数12221211axaxxx221212122212(1)(1)ax xaxax xaxxx21122212()(1)(1)(1)a xxx xxx第11页/共29页第十二页，共30页。方法二(

6、导数法)：a0，x2+10，(x2-1)20，f (x)0，函数f(x)在(-1,1)上为减函数222(1)( )(1)a xfxx第12页/共29页第十三页，共30页。题型二求函数的单调(dndio)区间【例2】求函数f(x)x 的单调区间1x分析：利用(lyng)定义法或导数法 解：方法一：首先确定定义域x|x0，所以要在(-，0)和(0，+)两个区间上分别讨任取x1，x2(0，+)且x1x2，则f(x2)-f(x1)=要确定此式的正负只要确定1- 的正负即可 12212112121=(x -x )+=(x -x ) 1xxx xx x121x x212111x-xxx第13页/共29页第

7、十四页，共30页。这样，又需要(xyo) 判断大于1，还是小于1.由于x1、x2的任意性，考虑到要将(0，+)分为(0,1)与(1，+)(1)当x1、x2(0,1)时，1- 0，f(x2)-f(x1)0，f(x2)-f(x1)0，f(x)为增函数；同理可求(3)当x1、x2(-1,0)时，f(x)为减函数；(4)当x1、x2(-，-1)时，f(x)为增函数121x x121x x第14页/共29页第十五页，共30页。方法二：f(x)= ，令f(x)0，得x21，即x1或x-1，令f(x)0，得x21，即-1x0，x2 -2x3，x0， -(x+1)2+4， x0时，f(x)1.(1)求证：f(

8、x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.题型三单调(dndio)性的应用第17页/共29页第十八页，共30页。解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函数，3m2-m-22，解得-1m ，则其解集为 .434( 1, )3第18页/共29页第

9、十九页，共30页。已知偶函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，解不等式flog2(x25x4)0.变式31f(2)=0，原不等式可化为flog2(x2+5x+4)f(2)又f(x)为偶函数(hnsh)，且f(x)在(0，+)上为增函数(hnsh)，f(x)在(-，0)上为减函数(hnsh)且f(-2)=f(2)=0.不等式可化为log2(x2+5x+4)2，或log2(x2+5x+4)-2，由得x2+5x+44，x-5或x0，解析(ji x)：第19页/共29页第二十页，共30页。.由得0 x2+5x+4 x-4或-1x ，由、得原不等式的解集为第20页/共29页第二十一页，共30页

10、。【例4】已知函数f(x)对于任意(rny)x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值题型四函数(hnsh)的最值第21页/共29页第二十二页，共30页。解：(1)证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)，又x0时，f(x)0，而x1-x20，f(x1-x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上是减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在-3,3上也是减函数，f(x)在-

11、3,3上的最大值和最小值分别(fnbi)为f(-3)与f(3)，而f(3)=3f(1)=-2，由题意知f(0)=f(0)+f(0)，f(0)=0，f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，f(-x)=-f(x)，故f(x)为奇函数f(-3)=-f(3)=2.f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.第22页/共29页第二十三页，共30页。易错警示(jn sh)【例】求函数 的单调区间，并指出每一个单调区间上的单调性错解设ux24x3，则在区间2，)上为减函数，在区间(，2上为增函数212log (43)yxx212log (43)yxx第23页/共29页第二十四页，共30页。错解分析

12、：由于忽略了对数函数(du sh hn sh)的定义域，而求错函数的单调区间。第24页/共29页第二十五页，共30页。正解：由不等式x2-4x+30，得函数的定义域为(-，1)(3，+)设u=x2-4x+3，则又u=x2-4x+3=(x-2)2-1，故由二次函数的性质知：当x2时，u=x2-4x+3为增函数；当x2时，u=x2-4x+3为减函数因为函数定义域为(-，1)(3，+)且 为减函数，在(-，1)上为增函数，在(3，+)上为减函数12logyu12logyu212log (43)yxx第25页/共29页第二十六页，共30页。链接链接(lin ji)高考高考(2010天津)设函数f(x)

13、x21，对任意x ， 恒成立(chngl)，则实数m的取值范围是_ 知识准备：1. 不等式恒成立问题转化(zhunhu)为求函数的最值；2. 形如yaf(x)2bf(x)c的类型求最值，换元后利用二次函数求最值第26页/共29页第二十七页，共30页。依据题意(t y)， 14m2(x21)(x1)214(m21)在 x 上恒成立，即 在x 上恒成立，令 ，3,)2解析(ji x)：3 ,)2第27页/共29页第二十八页，共30页。当 x 时，函数 取得最小值 ， ，即(3m21)(4m23)0，解得m 或m .232g(x)=-=1xx32532215-4m3m 3232第28页/共29页第二十九页，共30页。NoImage内容(nirng)总结会计学。在区间(m，n)上同时(tngsh)具有单调性，那么复合函。(教材改编题)下列函数中，在区间(0,2)上为。增函数的是()。解析：。分析：利用定义法或导数法。x2 -2x3，x0，。解不等式flog2(x25x4)0.。【例4】已知函数f(x)对于任意x，yR，总有。f(x)在-3,3上也是减函数，第三十页，共30页。