拓扑学连通性

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1、第五章连通性普通几何中的图形“连通性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如：例：设E2的一个子集曲线有 A,B两局部构成，其中1A = x,sin x 0,1xB=0, y 一1厂1如右图，细线为 A,粗线为B,我们很难判断它们是否连通的。有两种描述图形连通的方法：1 、利用集合是否相交来判定；2 、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。前者称为“连通性，后者称为“道路连通性 在上例中，X是连通的，但是，不是道路连通的。 5-1连通空间先看一个例子：考虑R上的两个子集0,1与1,2。它们是不交的，即交为空集。但是，它们的并为0,2却 构成了

2、一个“整体；而0,1与1,2也是不相交的，但它们的并仍是两个局部。原因是：0,1的一个聚点1,属于1,2,而不属于1,2。为此，给出一个“别离的概念。定义1设A和B是拓扑空间X的两个非空子集，如果Ac B =0与Ac B ，那么称A与B 是别离的。定义2称拓扑空间X是连通的，如果 X不能表示为两个非空别离集合的并。显然，连通与下面几种说法是等价的。 X不能分解为两个非空不相交开集的并； X不能分解为两个非空不相交闭集的并； X没有既开又闭的非空真子集； X中只有X和。是既开又闭的。上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。例1 (1) (R,zf)是连通的，因为它的任意两

3、个非空开集一定相交。(2) 双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。1(3) E1空间是连通的。结论(3)是明显的。但是，人们常常里利用连通空间论证其它空间的连通性， 所以，E1常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。证明的思路：E1中任何非空真子集不可能既是闭的乂是开的，那么E1是连通的。以下是证明：不妨设A是E1的非空真闭集，于是只要证明 A不会是开集。设A的下确界为a,上确界为b。因为A是闭集，那么有awA,bwA。又设x任A，不妨假定x定理3如果X有一个连通覆盖U (即U中每个成员都是连通的)，并且X有一连通子集A, A与U中每个成员都相交，那么 X连通。定理

4、意义的解释：U中每个成员都是连通集，它们构成X的 覆盖，它们之间不一定都有交， 但是存在一个 X的子集A , A与 它们都相交。证明：证明思路：X的既开又闭子集只有 X和0。设B是X的既开又闭子集，A是X的一连通子集。根据引理1，要么Ac B=0，要么Au B。如果Ac B =0，那么寸U在U，因U c A #0，所以U ? B ,并且由引理，必有U c B =0 (注：U是连通子集)，那么B = ( U) - B = (U - B) =U :-UU EU又，如果 AU B，那么VU在U , U C BnU C A.0，由引理，必有 U u B，贝UU BU .U又，U U =X，故有 X U

5、 B，即 X = B。U :-U证毕。Y Bx/A .x，XE2连通。例4 我们可以利用定理 3的方法去证明E2是连通的。记 Bx =( x, y) y 在 E1,显然，E2 = U Bx oxEE1即Bxx*是E2的覆盖，而 寸x , Bx是连通的(E1连通)故Bxx*是E2的连通覆盖。、一 一-1记 A=(x,0) x E ，贝U A连通，Ux,AcBx=。由定理 3知，利用归纳法，可以证明 En连通。定理4连通性是可乘的。证明：设X,Y都是连通空间，贝UXxyyY是X 乂丫的连通覆盖。取 X，贝UxY 连通，且与每个 X弑y都相交。由定理3知，X Y连通。证毕。 5-2连通分支与局部连通

6、空间连通分支是研究不连通空间时引出的一个概念。定义3拓扑空间X的一个子集称为 X的连通分支，如果它是连通的，并且不是 X其他连通子 集的真子集。注释：说 A是X的一个连通分支，即，假设 X的子集BA，且B#A，那么B 一定不连通。也就是说，连通分支是极大连通子集。X自身。如果X是连通的，那么它只有一个连通分支，即命题1连通分支是闭集。证明：设A是X的一个连通分支，由定理 2, A也是连通的。由 A的极大性推出 A = A。因 此，A是闭集。例如，在E1中，(a,b)区间是连通的，那么a,b也是连通的。定义4拓扑空间X称为局部连通的，如果Vxw X , x的所有连通邻域构成 x的邻域基。注释:关

7、于“局部连通的有多种定义表达形式。粗略地说：局部连通性就是每一点处都有一个“任意小的连通邻域。“对于x w X , x的每一个邻域U ,存在x的一个连通邻域 V ,使得V u U，此时称x处局部 连通的；如果 X的每一点x都是局部连通的，称 X是局部连通的。这一解释可以从定义 4直接推出。连通与局部连通的关系：(1) 局部连通的空间不一定是连通的。例如，R的子空间-1,0) u (0,1 是不连通的，但它是局部连通的。(2) 连通的空间未必是局部连通的。例如，设是R2的子空间：X = Au B ,其中A=(x,y) x = 0,-13y11B =( x, y) 0 x 一 .1例如，在刖面讨论

8、过的例子中，R中图形y =sin ,(0 x1)记为B , Y上闭区间一1,1记x为A。我们知道 X = Au B = B，且B是连通的，贝U B也是连通的(即 X连通)。但是，A中任一点与B中任一点不能用道路连接，即 X不是道路连通的。定理6 道路连通空间的连续映象是道路连通的。证明：设X是道路连通的，f :Xt Y连续，寸y0,yw f (X)，取x w f3), x (yD。由于X道路连通，故有道路F ,使得F(i) = x,i= 0,1 ,于是f是f (X)中的道路，且f，F(i) =yi,i =0,1。这即证明了 f(X)是道路连通的。二、道路连通分支在拓扑学中规定它的点之间的一个关

9、系：假设点x与y可用X上的道路连接，那么说与 y相关，记做x ： y (弧连通的)。可以证明，是一个等价关系。定义7拓扑空间X在等价关系 下分成的等价类，称为 X是道路连通分支，简称道路分支。根据定义乙下面的结论是显然的：(1) , x仅属于X的某一个(唯一的)道路分支。(2) X的每个道路连通子集包含在某个道路分支中。(3) X是道路连通的 u 它只有一个道路分支。(4) 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。附录：代数拓扑学中常见概念介绍一关于流形概念球面、环面以及我们所熟悉的其它曲面，它们往往比平面复杂得多。但是，从局部上分析，有些曲面上的每一点近旁都有一块区域同胚与平面。具有这种局

10、部欧氏 特性的拓扑空间成为流形。定义1 一个Hausdorfrf空间X称为n维拓扑流形，如果 X的任一点都有一个同胚于En的开邻域。二维流形称为曲面。如E2, S2 球面，T2 环面，平面和M? bius带都是曲面。没有边界点全是内点的紧致连通曲面称为闭曲面。研究曲面分类问题是代数拓扑的一项重要内容。二关于同伦与根本群概念同伦与根本群概念也是研究曲面分类中提出的概念。在拓扑学中，利用道路概念替代曲线， 道路本身是一种映射。同伦是一种描述连续映射变形道路收缩变形的概念。定义2设f , f 是0,1 T X的两个道路，且f和f 都以Xo为起点，以Xi为终点。如果存在 连续映射F :0,1 x0,1

11、T X使得对于每一个s在0,1 和t在0,1,Fs,0 =fs,Fs,1 = f sF0,t =x,F1,t=为那么称f与f 是道路同伦的，F称为f与f 之间的一个道路同伦，记f ： f。解释：所谓f与f同伦，意味着f可以“连续的变为 f。X知，同伦关系：是等价关系。X的所有道路在:下分成的等价类称为 X的道路类。 从分析知，所谓f与f 同伦，即X上存在道路f到f 的连续变形。从道路变形角度看，球面上闭曲线可以连续的变形收缩成一点，而环面上那么不可以。见下列图。这种差异可以反映闭曲面的不同几何特征。关于道路的乘法和逆设a是拓扑空间点x到y的道路连接，b是y到z的道路连接，定义道路 a, b的乘法ab是从 x到z的道路连接。(ab是道路a, b的乘法)。当a从x连接y,那么a是从y连接x的道路，a称为a的逆。于是，下属结论是正确的。(1) 假设 a : b，贝U 5：b。(2) 假设 a : b, c : d，且 ac 有意义，贝U ac ： bd。在拓扑空间 X上，利用上述定义的乘法和逆，以起点和终点均为x w X的闭合道路为对象，在道路同伦类的集合上，乘法运算构成一个群，称为X的根本群。代数拓扑学的一项重要内容即是研究根本群的性质(不同流形S2, T2等上的根本群性质)。