矩阵乘法及求逆运算实用教案

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1、一、矩阵一、矩阵(j zhn)乘法的定义乘法的定义并把此乘积(chngj)记作 ()()ijijijAamsBbsnABmnCc 设设是是一一个个矩矩阵阵，是是一一个个矩矩阵阵，那那么么规规定定矩矩阵阵 与与矩矩阵阵 的的乘乘积积是是一一个个矩矩阵阵其其中中 skkjiksjisjijiijbabababac12211 1,2,;1,2,im jn.ABC 注意：注意： 要使要使C=ABC=AB有意义有意义(yy)(yy)，则，则A A的列数必须等于的列数必须等于B B的行的行数，且矩阵数，且矩阵C的第的第i行第行第j列元素正好是列元素正好是A的第的第i行与行与B的的第第j列对应元素乘积之和。

2、列对应元素乘积之和。第1页/共19页第一页，共20页。 温馨温馨(wn xn)提醒提醒1. 乘积矩阵乘积矩阵(j zhn)的第的第i行第行第j列元素等于左矩阵列元素等于左矩阵(j zhn)的第的第i行元素与右矩阵行元素与右矩阵(j zhn)的第的第j列对应元素乘列对应元素乘积之和积之和.2. 只有当左矩阵的列数等于只有当左矩阵的列数等于(dngy)右矩阵的行数时，矩阵的右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义乘积才有意义.3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵

3、的列数阵的列数.4.矩阵的乘法不满足交换律，而且不满足消去律，矩阵的乘法不满足交换律，而且不满足消去律，除非除非A和和B可交换，即可交换，即AB=BA。第2页/共19页第二页，共20页。方程组的矩阵方程组的矩阵(j zhn)表示：表示：对方程组对方程组记记则方程组则方程组(1)可表示为可表示为.Axb第3页/共19页第三页，共20页。二.矩阵(j zhn)的求逆一、逆矩阵一、逆矩阵(j zhn)的的概念概念二、方阵二、方阵(fn zhn)可逆可逆的判别定理的判别定理三、逆矩阵的基本性质三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵四、用矩阵的初等变换求逆矩阵第4页/共19页第四页，共20页。

4、设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵(fn zhn)，如有，如有 n 阶方阵阶方阵(fn zhn) B ，使，使:AB = BA = I则称则称 A 为可逆阵，为可逆阵，B 为为 A 的逆阵，记作的逆阵，记作 一、逆矩阵一、逆矩阵(j zhn)的概的概念念第5页/共19页第五页，共20页。 性质性质(xngzh)(xngzh)： (2) (3) A、B 均是同阶可逆阵，则 (4) (5) (6)若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一. (7)矩阵 A 可逆充分(chngfn)必要条件是11()AA111()kAAk111()ABB A11()()TTAA*AAA AA I0A 第6页/共19页第六页，共

5、20页。逆矩阵求解逆矩阵求解(qi ji)(qi ji)方法一方法一伴随伴随矩阵法矩阵法逆矩阵求解逆矩阵求解(qi ji)(qi ji)方法二方法二初等变初等变换法换法第7页/共19页第七页，共20页。逆矩阵求解方法逆矩阵求解方法(fngf)(fngf)三三因式因式分解法分解法12110-kKAAIIAAAAA若，即（）可逆，且有（I我们通过上式，求出）1123401123001120001 10001.0A例 求下面矩阵的逆矩阵，已知：第8页/共19页第八页，共20页。441123401123()001120001100001 00()0KIKAIA解：通过计算得，所以存在一个，使123=(

6、)()“()”AIIAIAIAAA把这里的（I）替换上式中的，得100000123411101010000012301110001000001200111000100000100011000010000 +.000001第9页/共19页第九页，共20页。逆矩阵逆矩阵(j zhn)(j zhn)求解方法四求解方法四多项多项式法式法 我们知道，矩阵A可逆的充分必要条件(b yo tio jin)是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足 f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。 222-1,530-33530 .XXAIAAAIf xA例 已知矩阵满足多项式试证明 是可逆矩阵，并求其可且，即，逆

7、矩阵。2 15530()33 AAIAAAII证：由，可得从而可知 为可逆矩阵，并且11533112110153330123313AAI 第10页/共19页第十页，共20页。 在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式两端元素，根据等式两端(lin dun)(lin dun)对应元素相等，可得对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。阵。逆矩阵求解逆矩阵求解(qi ji)(qi ji)方法五方法五解解方程组法方程组法12.3221343A例求的逆矩阵,AX

8、AXI解：求可逆矩阵 的逆矩阵则它满足123123(,)1000 ,1 ,0001XXXXAXAXAX 设，则第11页/共19页第十一页，共20页。1231,2,3iiiixXxix利用消元解法求（）1132353220111AX 解得：第12页/共19页第十二页，共20页。逆矩阵求解逆矩阵求解(qi ji)(qi ji)方法六方法六准准对角矩阵对角矩阵11220000,1, 2,00)iinnAAAAinA定义：形如是矩阵。(A称为(chn wi)准对角矩阵其求逆的方法(fngf)：1122111111122221,000000000000nnnnnnAAAAAAAAA可以证明：如果都可逆，

9、则准对角矩阵也可逆，且第13页/共19页第十三页，共20页。1400003200150000.5A例已知，求。解：112233112233325150000040AAAAAAA 设第14页/共19页第十四页，共20页。111112233521111341 5 7AAA 求得：111112213310004520000171700130000171710005AAAA所以第15页/共19页第十五页，共20页。逆矩阵求解方法逆矩阵求解方法(fngf)(fngf)七七恒等变形恒等变形 有些计算命题表面上与求逆矩阵无关(wgun)，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进

10、行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。611 .1322312 2 AIAA例已知，求，其中解：恒等变形(bin xng)，得:666611AIAAAA AI 1111111132231 22TTAAAAAAAA于是，因为 是正交矩,又阵以,所,第16页/共19页第十六页，共20页。逆矩阵求解逆矩阵求解(qi ji)(qi ji)方法八方法八公式法公式法利用下述诸公式，能够(nnggu)迅速准确地求出逆矩阵。11 abdbAcdcaA（1）二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若A=， 则1111( )( )( )()ijijiiijijEEEkEEkEkk初等矩阵求逆公式：（2）1110

11、00111101100011100011000100001AA 对角线及其上方元素全为的上三角矩阵的逆矩阵的逆矩阵为：（3）第17页/共19页第十七页，共20页。1TAA正交矩阵的求逆公式：（4）1111111111111231221()()()( *)()*,() TTSSSABB AAAAAAAA A AAA AAAA A其他常用的求逆公式：可逆 ，则（5）第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结一、矩阵乘法的定义。注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行。4.矩阵的乘法不满足交换律，而且不满足消去律，除非A和B可交换，即AB=BA。四、用矩阵的初等变换求逆矩阵。逆矩阵求解方法五解方程组法。逆矩阵求解方法六准对角矩阵。有些(yuxi)计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。感谢您的观看第二十页，共20页。