整理版第九章A第一讲

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1、第九章A 第一讲时间：60分钟总分值：100分一、选择题(8540分)1(教材改编题)三个平面两两相交，它们的交线条数是 ()A1条B2条 C3条 D1条或3条答案：D解析：如图(平面图)P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，那么P、A、B、CA0个 B1个 C2个 D3个答案：A解析：根据平面的根本性质进行判断(1)不正确，假设此三点共线，那么过共线的三点有无数个平面(2)不正确，当A、B、C三点共线时，P、A、B、C四点共面(3)不正确，共点的三条直线可能不共面，如教室墙角处两两垂直的三条直线就不共面(4)不正确，将平行四边形沿其对角线翻折一个适当的角度后折成一个空间四边形，两组对边仍然

2、相等，但四个点不共面，连平面图形都不是，显然不是平行四边形应选A.3假设点P，Q，R，m，且Rm，PQmM，过P、Q、R三点确定一个平面，那么是()A直线QR B直线PR C直线RM D以上均不正确答案：C解析：PQmM，m，M.又M平面PQR，即M，故M是与的公共点又R，R平面PQR，即R，R是与的公共点MR.4(山东泰安一模)设A、B、C、D()A假设AC与BD共面，那么AD与BC共面B假设AC与BD是异面直线，那么AD与BC是异面直线C假设ABAC，DBDC，那么ADBCD假设ABAC，DBDC，那么ADBC答案：D解析：假设AC与BD共面，那么A、B、C、D四点共面，那么AD与BC共面

3、，所以A正确；假设AC与BD是异面直线，那么A、B、C、D四点不共面，那么AD与BC是异面直线，所以B正确；假设ABAC，DBDC且四点共面，显然ADBC，假设ABAC，DBDC且四点不共面，如图，空间四边形中，取BC中点M，连接AM、DM，显然BC平面AMD，那么ADBC，所以C正确综上可知选D.5设a、b是异面直线，那么()A必然存在惟一的一个平面同时平行a、bB必然存在惟一的一个平面同时垂直a、bC过a存在惟一的一个平面平行于bD过a存在惟一的一个平面垂直于b答案：C解析：A错，可以存在无数个平面同时平行于a，b.B错，不一定存在平面和a，b同时垂直D错，过a也不一定存在平面垂直于b.综

4、上所述C正确总结评述：此题考查立体几何中线面平行、垂直关系，培养学生空间想象能力6空间四边形ABCD，M，N分别是AB、CD的中点，且AC4，BD6，那么()A1MN5 B2MN10 C1MN5 D2MN5答案：A解析：取AD中点P，PMN中，PM3，PN2，由三角形三边大小关系得：1MN5.应选A.7在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E1，F1分别是线段A1B1，A1C1的中点，那么直线BE1与AF1所成角的余弦值是()A. B. C. D.答案：A解析：设棱长为1，取BC中点，连结OF1，OA，那么AF1O等于BE1与AF1所成的角，可求得AOOF1，cosAF1O，选A.8(江西，9

5、)如下图，在四面体ABCD中，假设截面PQMN错误的为()AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45答案：C解析：如右图MNPQ，MN面ABC，MNAC.同理BDQM.MNQM，ACBD，A是对的；ACMN，AC面PQMN，故B对；BDQM，PM与BD所成的角即为PMQ，PM与BD成45角，故D对应选C.二、填空题(4520分)9(青岛质检)不重合的三条直线，假设相交于一点，最多能确定_个平面；假设相交于两点，最多能确定_个平面；假设相交于三点，最多能确定_个平面答案：321解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图(1)；三条直线相交于两点，最多可确定2

6、个平面，如图(2)；三条直线相交于三点，最多可确定1个平面，如图(3)10如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CC1中点为E，那么AE与BC1所在的两条直线的位置关系是_，它们所成的角的大小为_答案：异面解析：将所成角转化到D1AE中用余弦定理来解设AB2，在AD1E中，AD12，D1E，AE3，cosD1AE，D1AE.11设a，b，c假设ab，bc，那么ac；假设a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c也是异面直线；假设a和b相交，b和c相交，那么a和c也相交假设a和b共面，b和c共面，那么a和c也共面答案：0解析：ab，bca与c可以相交、平行、异面，故错；又a，b异面，b，

7、c异面，那么a，c异面、相交、平行，故错；由a、b相交，b、c相交，那么a、c可以异面，故错；12(北京海淀一模)四面体PABC中，PAPBPC，且ABAC，BAC90，那么异面直线PA与BC所成的角为_答案：90解析：如图，因为ABC是直角三角形，所以点P在底面的射影一定落在RtABC斜边的中点上，设为点M，连结PM、AM.又因为ABAC，所以AM与BC垂直，由三垂线定理可知PA与BC垂直，所以PA与BC所成的角为90.三、解答题(41040分)13如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1

8、是否是异面直线？说明理由解析：(1)由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点，可证明MNAC，因此AM与CN不是异面直线(2)由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大，判断的方法可用反证法探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等)，如第(1)问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直线法较难说明问题，这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否认假设，那么两直线是异面的解：(1)不是异面直线理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1AD1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C，四边形A1

9、ACC1为平行四边形A1AAC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，那么B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与在正方体中BC平面CC1D1相矛盾，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线14如下列图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只写作法，不必证明)；(2)求PQ的长(不必证明)解析：(1)由ONAD知，AD与ON确定一个平面.又O、C、M三点确定一个

10、平面(如下列图所示)三个平面，和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面DA与CM必相交，记交点为Q.OQ是与的交线连结OQ与AN交于P，与CM交于Q，故OPQ即为所作的直线(2)解三角形APQ可得PQ.15如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCB1Ba，ABC90，D、E分别为BB1、AC1的中点(1)求异面直线BB1与AC1所成的角的正切值；(2)证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；(3)求异面直线BB1与AC1的距离解析：(1)由于直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，所以A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角又ABBC

11、B1Ba，ABC90，所以A1C1a，tanA1AC1，即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为.(2)证明：解法一：如图，在矩形ACC1A1中，过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1，连结BM，B1M1，那么BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点，可得DE綊BM.在直三棱柱ABCA1B1C1中，由条件ABBC得BMAC，所以BM平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线解法二：如图，延长C1D、CB交于点F，连结AF，由条件易证D是C1F的中点，B是CF的中点，又E是AC1的中点，所以DEA

12、F.在ACF中，由ABBCBF知AFAC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AFAA1，故AF平面ACC1A1，故DE平面ACC1A1，所以DEAC1，DEBB1，即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线(3)由(2)知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离，由于ABBCa，ABC90，所以DEa.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线，两条异面直线的公垂线是惟一的，两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离证明一直线是某两条异面直线的公垂线，可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直此题的思路是证明这条直线与一个

13、平面垂直，而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内，另一条直线与这个平面平行16如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O，M分别是BD1，AA1的中点(1)求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；(2)求异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值；(3)假设正方体的棱长为a，求异面直线AA1与BD1的距离解析：(1)证明：O是BD1的中点，O是正方体的中心，OAOA1，又M为AA1的中点，即OM是线段AA1的垂直平分线，故OMAA1.连结MD1、BM，那么可得MBMD1.同理由点O为BD1的中点知MOBD1，即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线(2)由于AA1BB1，所以B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角在RtBB1D1中，设BB11，那么BD1，所以cosB1BD1，故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于.(3)由(1)知，所求距离即为线段MO的长，由于OAAC1a，AM，且OMAM，所以OMa.