(完整word版)小升初数学讲义行程问题

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1、小学数学中的行程问题【基本公式】基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。基本公式：路程=速度X时间；路程*时间=速度；路程*速度=时间关键问题：确定行程过程中的位置相遇问题：速度和X相遇时间二相遇路程（请写出其他公式）追击问题：追击时间=路程差十速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）X顺水时间逆水行程=（船速-水速）X逆水时间顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）*2水速=（顺水速度-逆水速度）宁2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

2、【一般行程问题公式】平均速度X时间=路程；路程十时间=平均速度；路程十平均速度=时间。【反向行程问题公式】反向行程问题可以分为相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和相离问题”（两人背向而行）两种。这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）X相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程宁（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程十相遇（离）时间=速度和。【同向行程问题公式】追及（拉开）路程十（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程十追及（拉开）时间=速度差；（速度差）X追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。【列车过桥问题公式】（桥长+列车长）*速度=过桥时间；（桥长+列车长）*过桥时间=

3、速度；速度X过桥时间=桥、车长度之和。【行船问题公式】（1）一般公式：静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；船速-水速=逆水速度；（顺水速度+逆水速度）*2=船速；（顺水速度-逆水速度）*2=水速。（2）两船相向航行的公式：甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船静水速度+乙船静水速度（3）两船同向航行的公式：后（前）船静水速度-前（后）船静水速度=两船距离缩小（拉大）速度。（求出两船距离缩小或拉大速度后，再按上面有关的公式去解答题目）1. 一般行程问题例1、小王骑车到城里开会，以每小时12千米的速度行驶，2小时可以到达。车行了15分钟后，发现忘记带文件，以原速返回原地，这时他每小时行多少千米

4、才能按时到达？解答：要求小王返回原地后到城里的速度，就必须知道从家到城里的路程和剩下的时间。根据题意，这两个条件都可以求出。15分钟=小时从家到城里的路程：12X2=24（千米）返回后还剩的时间：2-X2=1（小时）返回后去城里的速度:24十仁16（千米/时）答：他每小时行16千米才能按时到达。2相遇问题距离=速度和X相遇时间；相遇时间=距离*速度和；速度和=距离*相遇时间。例1、甲、乙两辆汽车从相距324千米的两地同时相对开出，经6小时后在途中相遇，甲车的速度是乙车的0.8倍。甲车每小时行多少千米？解答：甲、乙两辆汽车的速度和是324七=54（千米/小时）乙车的速度为54-（1+0.8）=3

5、0（千米/小时）甲车的速度是30X0.8=24（千米/小时）答：甲车每小时行24千米。例2、如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到是2.5千米上坡路小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。问：（1）小张和小王分别从A,D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解答：（1）小张从A到B需要1-6X60=10（分钟）；小王从D到C也是下坡，需要2.5-6X60=25（分钟）；当小王到达C点时，小张已在平路上走了25-10=15（分钟），走了4X

6、=1（千米）。因此在B与C之间平路上留下3-1=2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是：2*（4+4）X60=15（分钟）。从出发到相遇的时间是25+15=40（分钟）。（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到A点需要走1-2X60=30分钟，即他再走60分钟到达终点。小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走：2X=1.5（千米）小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）答：40分钟后小张和小王相遇。小王到达终点时，小张离终点还有1千米。3追及问题追及距离=速度差x追及时间；追及时间=追及距离十速度差；速度差=追及距离十追及时间。例1、晚饭后，小明和爸爸沿同一条公

7、路去散步，小明走的慢，每分钟走60米，所以他先从家出发，5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明。经过多少分钟可以追上小明？解答：5分钟后，小明走的路程（即追及路程）60x5=300（米）爸爸每分钟比小明多走的路程（即速度差）80-60=20（米）根据追及时间=追及距离十速度差爸爸追小明的时间为300-20=15（分钟）答：爸爸经过15分钟可以追上小明。例2、小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解答：先计算，从学校开出，到面包车到达城门

8、用了多少时间。此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9-6=1.5（小时）小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是9-=54（千米/小时）面包车速度是54-6=48（千米/小时）。城门离学校的距离是48X1.5=72（千米）。答：学校到城门的距离是72千米。4.火车过桥问题我们在研究一般的行程问题时，是不考虑汽车等物体的本身长度的，因为这类物体的长度很小，可以忽略不计。可是如果研究火车行程问题，因为车身有一定的长度，一般一百多米，就不能忽略不计了。火车行程问题中的距离，一般是要考虑火车长度的。火车通

9、过一个固定的点所用的时间就是火车行驶车身长度所需要的时间。（火车长度+桥的长度）十通过时间=火车速度例1、一座大桥长3400米,一列火车通过大桥时每分钟行800米,从车头上桥到车尾离开共需4.5分钟。则这列火车长多少米？解答：桥的长度和火车的长度和为800X4.5=3600（米）火车长3600-3400=200（米）答：这列火车长200米。例2、一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了20秒钟。这列火车长多少米？【分析】火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长360米，所用的时间是20-8=12秒钟，即可

10、求出火车的速度。解答：火车的速度是360-（20-8）=30（米/秒）。火车长30X8=240（米）。答：这列火车长240米。5流水行船问题流水行船问题比一般的行程问题多了一个水流的影响，因此它有一些特殊的数量关系：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速；水速=顺水速度-船速，船速=顺水速度-水速；水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速；船速=（顺水速度+逆水速度）*2，水速=（顺水速度-逆水速度）*2。例1、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达,从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。解答：顺水速度：208-8=26（千米/小时

11、）逆水速度：208-13=16（千米/小时）船速：（26+16）十2=21（千米/小时）水速：（2616）-2=5（千米/小时）答：船在静水中的速度为每小时21千米，水流速度每小时5千米。例2、某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？解答：要想求从乙地返回甲地需要多少时间，只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。从甲地到乙地，顺水速度：15+3=18（千米/小时），甲乙两地路程：18X8=144（千米），从乙地到甲地的逆水速度：153=12（千米/小时），返回时逆行用的时间：144-12=12（小时）。答：

12、从乙地返回甲地需要12小时。例3、甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？解答:要求帆船往返两港的时间，就要先求出水速。由题意可以知道，轮船逆流航行与顺流航行的时间和与时间差分别是35小时与5小时，用和差问题解法可以求出逆流航行和顺流航行的时间。并能进一步求出轮船的逆流速度和顺流速度。在此基础上再用和差冋题解法求出水速。轮船逆流航行的时间：（35+5）十2=20（小时），顺流航行的时间：（355）十2=15（小时），轮船逆流速度：360-20=18（千米/小时），顺流速度：360

13、-15=24（千米/小时），水速：（2418）-2=3（千米/小时），机帆船的顺流速度：12+3=15（千米/小时），机帆船的逆水速度：123=9（千米/小时），机帆船往返两港所用时间：360-15+360-9=24+40=64（小时）。答：机帆船往返两港要64小时。例4、小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？解答：此题是水中追及冋题，已知路程差是2千米，船在顺水中的速度是船速+水速。水壶飘流的速度只等于水速，所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度

14、=（船速+水速）-水速=船速。路程差十船速=追及时间2-4=0.5（小时）。答：他们二人追回水壶需用0.5小时。例5、甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行，几小时相遇？如果同向而行，甲船在前，乙船在后，几小时后乙船追上甲船？解答： 相遇时用的时间：336-（24+32）=336-56=6（小时）。 追及用的时间（不论两船同向逆流而上还是顺流而下）：336-（3224）=42（小时）。答：两船6小时相遇；乙船追上甲船需要42小时。练习：1. 一列客车和一列货车同时从两个车站相对开出，货车每小时行35千米，客车每小时行45千米，

15、2.5小时相遇，两车站相距多少千米？2. 两个县城相距52.5千米，甲、乙二人分别从两城同时相对而行，甲每小时行5千米，乙每小时比甲快0.5千米，几小时后相遇？3. 甲、乙二人分别从相距110千米的两地相对而行。5小时后相遇，甲每小时行12千米，问乙每小时行多少千米？4. 甲、乙两站相距486千米，两列火车同时从两站相对开出，5小时相遇。第一列火车比第二列火车每小时快1.7千米，两列火车每小时的速度各是多少？5. 两列火车同时从相距650千米的两地相向而行，甲列火车每小时行50千米，乙列火车每小时行52千米，4小时后还差多少千米才能相遇？6. 大陈庄和小王庄相距90千米。小刚和小牛分别由两庄同

16、时反向出发。2小时24分后两人相距46.6千米，如果小刚每小时行9.9千米，小牛每小时行多少千米？7. 学校距活动站670米，小明从学校前往活动站每分钟行80米，2分钟后，小丽从活动站往学校走，每分钟行90米，小明出发多少分钟后和小丽相遇？相遇时二人各行了多少米？8. 甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖65米，乙队从西往东挖，每天比甲多挖2.5米。两队合挖8天后还差52米，这条水渠全长多少米？9. 张、李两位叔叔计划共同生产一种零件300个，二人一起生产了5小时后还差40个没完成。已知张叔叔每小时生产24个，李叔叔每小时生产多少个？10. 甲、乙两队合修一条长2400米的路，甲队每

17、小时修126米，乙队每小时比甲队多修48米，求完工时两队各修路多少米？11. 东西两村相距64千米。甲、乙二人同时骑车从东西两地相对出发，2.5小时相遇。甲每小时行12.5千米，乙每小时比甲快多少千米？12. 一列客车和一列货车分别从甲、乙两地相向而行。客车每小时行50千米，货车每小时比客车慢8千米，客车先行1小时后，货车从乙地出发，经过3小时后两车相遇。甲、乙两地相距多少千米？13. 东西两城相距254千米，甲、乙两辆汽车相对开出，甲车每小时行27千米，先行2小时后，乙车开始出发，速度为每小时23千米。乙车出发几小时后两车相遇？14. 甲、乙两个工程队开凿一条隧道。甲队每天开凿1.5千米，乙

18、队比甲队的2倍少0.5千米.半个月完成了任务，这条隧道有多长？15. 两个车站相距360千米，两列火车相对行驶，第一列火车每小16. 两艘客轮同时从两港相对行驶，甲轮每小时行40千米，乙轮每小时行36千米，早上8时开出，晚上11时相遇，两港口相距几千米？17. 甲、乙两个工程队同时从公路的一点向两头铺沥青，甲队每天比乙队多铺20米。已知4天后两队相距880米，两队每天各铺多少米？18. 小明和小华相距50步远，同时反向出发，小明每分钟走80步，小华每分钟走85步。当两人相距1700步时，出发了多少分钟？19. 两辆摩托车分别从相距440千米的两地同时相向而行，因雪后路滑，5小时后才相遇。甲车比

19、原计划每小时少行15千米，乙车比原计划每小时少行7千米。已知原计划甲车每小时的速度是乙车的1.2倍，求两车原计划每小时各行多少千米？20:一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距299千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？21:甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：何时两地相距70米？22:两辆拖拉机为农场送化肥，第一辆以每小时9千米的速度由仓库开往农场，30分钟后，第二辆以每小时12千米的速度由仓库开往农场，问：1）第二辆

20、追上第一辆的地点距仓库多远？2）如果第二辆比第一辆早到农场20分钟，仓库到农场的路程有多远？23:甲、乙两匹马在相距50米的地方同时同向出发，出发时甲马在前，乙马在后，如果甲马每秒跑10米，乙马每秒跑12米，问：何时两地相距70米?24：甲、乙二人在操场的400米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时甲在乙的后面，出发后6分钟甲第一次追上乙，22分钟时甲第二次追上乙，假设两人速度都保持不变，问：出发时甲在乙身后多少米？25.某船往返于相距180千米的两港之间，顺水而下需用10小时，逆水而上需用15小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需9小时，那么逆水而行需要几小时？答案仅供参考：1. （35

21、+45）X2.5=200（千米）2. 52.5-（5+5+0.5）=5（小时）3. （110-12X5）十5=10（千米）4. （486-1.7X5）十5-2=47.75（千米）47.75+1.7=49.45（千米）5. 650-（50+52）X4=242（千米）6. （90-46.6）-2.4-9.98.18（千米）7. （670-80X2）-（80+90）+2=5（分钟）80X5=400（米）90X（5-2）=270（米）8. （65+65+2.5）X8+52=1112（米）9. （300-40）-5-24=28（个）10. 2400-（126+126+48=8（小时）126X8=1008

22、（米）（126+48）X8=1392（米）11.64-2.5-12.5-12.5=0.6（千米）12. （50+50-8）X3+50=326（千米）13. （254-27X2）-（27+23）=4（小时）14. （1.5+1.5X2-0.5）X15=60（千）50X4=200（千米）16. （40+36）X（12-8+11）=1140（千米）17. （880-4+20）十2=120（米）120-20=100（米）18. （1700-50）-（80+85）=10（分钟）19. （440-5+15+7）十（1.2+1）=50（千米）50X1.2=60（千米）20. 第一次相距69千米时，两车共行驶

23、了：299-69=230（千米），所用时间为230-（40+52）=2.5（小时）两车从第一次相距69千米起又行驶了：69X2=138（千米），所用时间为：138-（40+52）=1.5（小时）21. （50+70）-（12-10）=60（秒）22. 第二辆拖拉机出发时第一辆相差：9X0.5=4.5（千米）,第二辆追上第一辆需要时间为：4.5-（129）=1.5（小时）此时第二辆行程为：12X1.5=18（千米）,即追上第一辆地点距仓库18千米；第二辆到达农场时，与第一辆相距：9X1/3=3（千米）第二辆从追上第一辆到达农场用时：3-（129）=1（小时）农场与仓库距离为：18-12X仁30（千米）23. （50+70）-（1210）=60（秒）24.440-（226）=25（米/分钟）25X6=150（米）25解船在静水中的速度是：（18-10+180-15）-2=15（千米/小时）暴雨前水流的速度是：（180-10-180-15）-2=3（千米/小时）。暴雨后水流的速度是：180-9-15=5（千米/小时）。暴雨后船逆水而上需用的时间为：180-（15-5）=18（小时）。答：逆水而上需要18小时。910