极限知识点总结

《极限知识点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限知识点总结（6页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、极限知识点总结【篇一：极限知识点总结】极限计算方法总结高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到高等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1(定义:(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述 )。说明:(1) 一些最简单的数列或函数的极限 (极限值可以观察得到 )都可以用上面的极限严格定义证,0，当|q|1 时,bn,limqlim(3x,1),5lim,

2、0(a,b 为常数且 a,0); 等等 明，例如:,nx,2n, 不存在，当 |q|,1 时 an,(2)在后面求极限时， (1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2(极限运算法则定理 1 已知 ，都存在，极限值分别为 a，b，则下面极限都存在，且有 (1)limf(x)limg(x) limf(x),g(x),a,b(2) limf(x),g(x),a,bf(x)a(3) lim,( 此时需 b,0 成立)g(x)b说明:极限号下面的极限过程是一致的 ;同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3(两个重要极限 xsinlim,1(1) x,0x11xx

3、lim(1 ，),elim(1 ，x),e(2) ; x,0xx说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，作者简介 :靳一东，男， (1964 )，副教授。1xxsin333,2xlim(1 ，),elim(1,2x),elim,1 例如:，;等等。 x,x,0xx,0x34(等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小 (即极限是 0)。定理 3 当时，下列函数都是无穷小 (即极限是 0)，且相互等价，即有 : x,0xxtanxarctanxln(1 ，x)sinxarcsinxe,1, 。g(x)g(x),0 说明:当上面每个函数中的自变量 x 换

4、成时()，仍有上面的等价23x2,xe,13xln(1,x) 关系成立，例如 :当时， , ; , 。 x,0 11/5 页x,xf(x),g(x),f(x),g(x) 定理 4 如果函数都是时的无穷小，且 ,，,，则当 f(x)g(x)f(x)g(x)01111f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)111limlimlimlimlim 存在时，也存在且等于，即 =。f(x)x,xx,xx,xx,xx,x00000g(x)g(x)g(x)g(x)g(x)1115( 洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值 (或无穷大 )时，函数和满足:(1) 和的 f(x)g(x)f(x)g(x

5、)极限都是 0 或都是无穷大 ;(2)和都可导，且的导数不为 0; f(x)g(x)g(x),f(x)lim (3) 存在(或是无穷大 ); ,g(x),f(x)f(x)f(x)f(x)limlimlimlim 则极限也一定存在，且等于，即 = 。,g(x)g(x)g(x)g(x) 说明:定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达0,法则就不能应用。特别要注意条件 (1)是否满足，即验证所求极限是否为 “”型或“”型;0,条件(2)一般都满足，而条件 (3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

6、6(连续性x 定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 f(x)0limf(x),f(x) 。0x,x07(极限存在准则定理 7(准则 1) 单调有界数列必有极限。x,y,z 为三个数列，且满足 : 定理 8(准则 2) 已知 nnny,x,z,(n,1,2,3, ？)(1) nnnlimy,alimz,a (2) ， nnn,n,limxlimx,a 则极限一定存在，且极限值也是 a ，即。 nnn,n, 二、求极限方法举例1( 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限3x ，1,2lim 例 1 x,1x,122xx(31)2333 ，,li

7、mlim, 解:原式= 。x,1x,14xxxx(1)(312)(1)(312), ，,，注:本题也可以用洛比达法则。limn(n ，2,n,1) 例 2 n,分子分母同除以 nnnn( ，2),(,1)33lim,lim, 解:原式= 。n,n,2nn ，2，,1211 ，1,nnnn(,1) ，3lim 例 3 nn,n2 ，3 22/5 页1n(,) ，1n 上下同除以 33,lim,1 解:原式 。n,2n() ，132( 利用函数的连续性 (定理 6)求极限 12xlimxe 例 4 ,x2 12xf(x),xex,2 解:因为是函数的一个连续点， 01222e,4e 所以 原式=

8、。 3( 利用两个重要极限求极限 1cosx,lim 例 5 2x,03x xx222sin2sin122limlim, 解:原式= 。200x,x,x63x212(), 2注:本题也可以用洛比达法则。2xlim(1,3sinx) 例 6 ,x01,6sin1,6sinxx,x,6,3sinxx,3sinxlim(1,3sinx),lim(1,3sinx),e 。解:原式=,0,0xxn,2nlim() 例 7 ,nn ，1,3n ，1,3，1nnn,3,3n ，1,3，1n,3,3lim(1 ，),lim(1 ，),e 解:原式= 。,nnn ，1n ，14( 利用定理 2 求极限12xli

9、msin 例 8 x,0x解:原式=0 (定理 2 的结果 )。5( 利用等价无穷小代换 (定理 4)求极限xln(13x) ，lim 例 9 2x,0arctan(x)22arctan(x) ？x,0 时，ln(1 ，3x) 解:,，,， x3xxx,3 ？ 原式= 。lim,32x,0xxsinxe,elim 例 10 ,x0x,sinx,sinxxsinxsinxeeexx(,1)(,sin)lim,lim,1 解:原式= 。,x0x0xxxx,sin,sin 注:下面的解法是错误的 : 33/5 页xsinxeexx(,1),(,1),sinlim,lim,1 原式= 。 x,0x,0

10、xxxx,sin,sin 正如下面例题解法错误一样 :xxxxtan,sin,lim,lim,0 。 33x,x,00xx 12tan(xsin)xlim 例 11 x,0sinx111222 解:， ？当 x,0 时，xsin 是无穷小，？ tan(xsin) 与 xsin 等价 xxx12xsin1xxlim,limsin,0 所以， 原式= 。(最后一步用到定理 2) x,0x,0xx6( 利用洛比达法则求极限说明:当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1cosx,lim 例 12 (例 4) 2x,03xsinx1

11、lim, 解:原式= 。(最后一步用到了重要极限 ) x,06x6 ,xcos2lim 例 13 x,1x,1,x,sin,22,lim 解:原式= 。x,1123x,0x1cosxsinx1,limlim, 解:原式= 。(连续用洛比达法则，最后用重要极限) 2x,x,006x63xsinxxcosx,lim 例 15 2x,0xsinx解:sinxxcosxcosx(cosxxsinx),limlim, 原式 22x,x,00xx3x, xsinx1lim,2x,033x11,lim 例 18 x,0x ，xln(1)11lim,0 解:错误解法 :原式= 。x,0xx正确解法 :44/5

12、 页ln(1 ，x),xln(1 ，x),x 原式,lim,limx,0xln(1 ，x)x,xx,01 ,1x11 ，x,lim,lim, 。x,0x,02x2x(1 ，x)2应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。x,2sinxlim 例 19 x,3x ，cosx1,2cosx0lim 解:易见:该极限是 “”型，但用洛比达法则后得到 :，此极限 x,3,sinx0 不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下 :x2sin1,xlim 原式= (分子、分母同时除以 x) x,xcos3 ，x1 = ( 利用定理 1 和定理 2) 3 7( 利用极限存在准则求极限limxx,2,x,2

13、 ，x,(n,1,2, ？)例 20 已知，求 n1n ，1n,nxlimxlimx,ax 解:易证:数列单调递增，且有界 (0)，由准则 1 极限存在，设 。对已 nnnn,nnx,2 ，x 知的递推公式 两边求极限，得 : n ，1na,2，aa,2a,1 ，解得 :或(不合题意，舍去 )limx,2 所以 。nn,111lim( ？)，例 21 222n,n ，1n，2n ，nn111n, ，？， ,解: 易见: 22222n ，nn ，1n，2n，nn ，1nnlim,1lim,1 因为 ， 22n,n, ，1nn ，n111lim( ，？， ),1 所以由准则 2 得: 。222n,n ，1n，2n，n上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法灵活多样，而且许多题目不只用到一种方法，因此，要想熟练掌握各种方法，必须多做练习，在练习中体会。另外，求极限还有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。55/5 页全文完【篇二：极限知识点总结】