概率论与数理统计第四版习题答案第四版浙大

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1、完全版概率论与数理统计习题答案第四版 盛骤（浙江大学）浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1. 一写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（一 1）s = 2丄也00；，n表小班人数 nn ”（3）生产产品直到得到 10件正品，记录生产产品的 总件数。（一2）S=10 , 11, 12, , n, （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正 品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止 检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“ 1”，查出次品记为“ 0”，连续出现 两个“ 0”就停止检查，或查满 4

2、次才停止检查。（一）S=00 , 100, 0100, 0101, 1010, 0110, 1100, 0111, 1011,1101, 1110, 1111, 2. 二设A, B , C为三事件，用 A , B , C的运算关系表示下列事件。(1) A发生，B与C不发生。表示为：abc 或 A (AB+AC)或 A (B U C)(2) A, B都发生，而C不发生。表示为：ABC或AB ABC或AB C(3) A, B, C中至少有一个发生表示为：A+B+C(4) A, B, C都发生，表示为：ABC(5) A, B, C都不发生，表示为：ABC或S (A+B+C)或 a _ b _ c(6

3、) A, B, C中不多于一个发生，即 A, B, C中至 少有两个同时不发生相当于Ab, bc,AC中至少有一个发生。故表示为：AB BC AC。(7) A, B, C中不多于二个发生。相当于：A, B,C中至少有一个发生。故表示为：A B C 或 ABC(8) A, B, C中至少有二个发生。相当于：AB , BC, AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC6. 三 设 A, B 是两事件且 P (A)=0.6 , P (B)=0.7.问 (1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？ ( 2) 在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由 p (A) = 0

4、.6, P (B) = 0.7 即知 ABz $ ,(否则 AB = $依互斥事件加法定理，P(A U B)=P (A)+P(B)=0.6+0.7=1.31 与 P (A U B) 1 矛盾).从而由加法定理得P (AB)= P (A)+ P (B)- P (A U B)(*)(1) 从 0 P(AB)0.6=0.18.21. 十七已知10只晶体管中有2只次品，在其中取 二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的 概率。（1）二只都是正品（记为事件 A）法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个 组合看作一个基本结果，每种取法等可能。P(A)二C8Cw45法二：用排列做 在10只

5、中任取两个来排列，每一个 排列看作一个基本结果，每个排列等可能。P(A)二2845法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。8728P（AHP（A1A2HP（A）P（A2 | A1）:10945法一:（2）二只都是次品（记为事件B）法二：A；17汀45法三：2 11呵山“小吩訊厂45（3）法一：一只是正品，一只是次品（记为事件C）C8 9 16P（C C2 r6C1045P（B）去C10丄=45法二:P(C)二(C； xc2) X a|1645法三：P(C) =P(AiA2 A1A2)且 A1A2 与 A1A2 互斥= p（Ai）p（A2|Ai） p（Ai）

6、p（A2|AiJ0 亍益唏（4）第二次取出的是次品（记为事件D）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合 作，法二：p(d)，2A5A105法三：p(d)=p(aA2 AA2)且 aA2 与 A1a2 互斥二P(A)P(A2|AJ P(A1)P(A2|A)=1j 11=122.十八 而随机的拨号，某人忘记了电话号码的最后一个数字，因 求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率 是多少？记H表拨号不超过三次而能接通。Ai表第i次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码vH = A + A A2 + AA A3三种情况互斥二P（H

7、） =P（AJ+P（A）P（A2 iA）+p（&）p（A2 iA）p（A3 IA1A2）二卫 1 2 ； m10 10 910 9 810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。P(H |B) =PA訂 B AA2 | B A A2A3 |B)=P(A I B) P(Aj |B)P(A2 I BA) P(Aj |B)P(A2 I BA)P(A3 |BAA2)4丄4 3丄崇554543524.十九设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取 一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到(即从乙 袋中取到)白球的

8、概率是多少？(此为第三版19题)记A!, A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记B表“再从乙袋中取得白球”。B=A1B+A2B 且 A1, A2 互斥P (B)=P (Ai)P(B| Ai)+ P (AJP (B| AJ= nN 1mN_ n m N M 1 n m N M 1十九(2)第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二 只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求 取到白球的概率。记C1为“从第一盒子中取得 2只红球”。C2为“从第一盒子中取得 2只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，D为“从第二盒子中取

9、得白球”，显然C1, C2, C3两 两互斥，5 u C2 u C3=s,由全概率公式，有P (D)=P (O)P (D|CJ+P (C2)P (D|CJ+P (CQP (D| C3)C； 5 C： 7 C； C1 653= F T = 2 2 2Cg 11 C9 11 C9 11 9926.二十一已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选 一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：Ai=男人，A2=女人 , B=色盲，显然Ai U A2=S, Ai A?= $由已知条件知 P(A) =P(A2)二1 P(B| AJ =5%, P(B

10、| A2) =0.25%由贝叶斯公式，有P(Ai | B)二P(AB)P(B)P(A)P(B| A)P(AJP(B| A) P(A2)P(B| A2)1 52 1001 51252 100 2 100002021二十二一学生接连参加同一课程的两次考试。第 一次及格的概率为 P,若第一次及格则第二次及格的概率 也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为 P ( 1)若 至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的 概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的 概率。解：Ai=他第i次及格 , i=1,2 已知 P (A=P (A2|Ad=P, p(A2|瓦)=p2(1) B=至少

11、有一次及格所以B =两次均不及格 =ArA2P(B) =1 _P(B) =1 _P(AA2)=1 _P(AjP(A2 | A1)=1 - 1 -P(A)1 -P(A2|AjP312=1 -(1 -P)(1-;)P-;P222(2) p(AiA2)定义罟詈(*)由乘法公式，有 P (Ai A2)= P (Al) P (A2I Al) = P2由全概率公式，有 p(a2)=p(a)p(a2 |aj p(Ajp(a2 I A)二 p p (1 - P)p2p=22将以上两个结果代入(P(Ai |A2)二P2p2p十222PP 128.二十五某人下午5:00下班，他所积累的资料表 明：到家时5:355

12、:5:405:5:455:5:505:迟于间394449545:54乘地铁到0.100.250.450.150.05家的概率乘汽车0.300.350.20 0.100.05家的概某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。解：设A= “乘地铁”，B= “乘汽车”，C= “5:455:49 到家”，由题意,AB= $ ,AU B=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由贝叶斯公式有P(A|C)二P(C | A)P(A)0.5 汉 0.450.45P(C|A)舟 P(C|B)*0.659F

13、692329.二十四有两箱同种类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品 今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次 任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是 一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等品的条件下， 第二次取到的也是一等品的概率。解：设Bi表示“第i次取到一等品”i=1 , 2Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1 U A2=SAA2= $(1) P(B1)J 10 丄 18 =2 = 0.4 ( B1= A1B +A2B 由全概率2 502 30512公式解）(2)p(B2 |Bi)二P(BlB2)P(Bi)110_

14、911817=2 50 492 30 29 = 0.485725（先用条件概率定义，公式解）再求P （B1B2）时，由全概率32.二十六（2） 如图1, 2, 3, 4，5表示继电器接点， 假设每一继电器接点闭合的 概率为p，且设各继电器闭合 与否相互独立，求L和R是通 路的概率。记Ai表第i个接点接通 记A表从L到R是构成通路的 A=A 1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2 四种情况不互斥 p(A)=p(aa)+p(A1A3A5)+p (A4AJ+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3A4A5)+

15、 P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 码人5)+ P (A1A2A3 人4人5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5) P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1, A2, A3, A4, A5互相独立。故P (A)= p2+ p3+ p2+ p3 p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4+ p5 + p5+ p5+ p5 p5=2 p2+ 3p3-5p4+2 p5二十六(1)设有4个独立工作的元件1, 2, 3, 4。 它们的可靠性分别为P2, P3, P4，将它们按图(1)的方式联接，求系统的可靠性。记A

16、i表示第i个元件正常工作,234i=1, 2, 3, 4，A表示系统正常。T A=A 1A2A3+ A1A4 两种情况 不互斥P (A)= P (AA2A3)+P (A1A4) - P (A1A2A3 A4)(加法公式)=P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4) - P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)=P1P2P3+ P1P4 - P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4 独立)34. 三一 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币， (次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只，将它投 掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率 为多少？解

17、：设“出现r次国徽面” =B “任取一只是正品”=A由全概率公式，有m1 rnrP(BrP(A)P(Br|A) P(A)P(Br 小荷(2)齐 1P(A|Br)P(A)P(Br I A)P(Br)mm + n4(l)r .亠m n 2 m nmm n 2r(条件概率定义与乘法公式)35. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中 的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的 概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B,，B2， b2分别表示甲、乙、丙击中飞机Hi 二B1B2

18、B3 B1B2B3 B1B2B3，三种情况互斥。 hb1b2B3 - b1 b2b3 - b1 b2b3 三种情况互斥H 3 = B2B2 B3又b,，b2，b2独立。P(HJ =p(bjp(B2)p(B3)p(Bjp(B2)p(B3)P(BjP(B2)P(B3) =0.4 0.5 0.3 0.60.5 0.3 0.6 0.5 0.7 =0.36P(H2P(Bi)P(B2)P(3)P(Bi)P(2)P(B3)又因：P(BJP(B2)P(B3) =0.4 0.5 0.3+ 0.4 5 .7+0.6 5 .7=0.41P (H3)=P (Bi)P (B2)P (B3)=0.4 0.5 0.7=0.

19、14A=H 1A+H 2A+H 3A三种情况互斥故由全概率公式，有P (A)= P(Hi)P (A|Hi)+P (H2)P (A|H2)+P (HJP (AH3) =0.36 02+0.41 0.6+0.14 =0.45836. 三十三设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2% (这一事件记为 A,), 10% (事件A2), 90%(事件 A3)的概率分别为 P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P(A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是 好的(这一事件记为 B)，试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)(这里设物品件数很多，取出

20、第一件以后不影响取第二件 的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地B表取得三件好物品。b=a1b+a2b+a3b三种情况互斥由全概率公式，有P (B)= P(Ai)P (B|Ai)+P (A2)P (B|A2)+P (AJP(BIA3)=0.8 &.98)3+0.15 .9)3+0.05 .1)3=0.8624P(A |B)P(A3 1 B)P(B)-P(B)-P(B)-0.8624 一P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15 (0.9)3一 P(B)-P(B)-0.8624P(AB)P(A3)P(B|A3)0.05 (0.1)3P(B)0.8624P(A |B)0.12683P(A1

21、B) P(A)P(B|AJ0.8 (0.98)30.873137. 三十四将A, B, C三个字母之一输入信道，输 出为原字母的概率为 a,而输出为其它一字母的概率都是(1-a)/2。今将字母串 AAAA, BBBB , CCCC之一输入信道， 输入 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 + P2+P3=1)，已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA的概率 是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)解：设D表示输出信号为 ABCA, B1、B2、B3分别表 示输入信号为 AAAA, BBBB , CCCC ,贝U B1、B2、B3 为一 完备事

22、件组，且 P(Bi)=Pi, i=1,2, 3。再设A发、A收分别表示发出、接收字母A,其余类推， 依题意有P （A 收| A 发）=P （B 收| B 发）=P （C 收| C 发）=a,P （A 收 | B 发）=P （A 收 | C 发）=P （B 收 | A 发）=P （B 收 | C 发）=P （C收| A发）=P （C收| B发）=又 P （ABCA|AAAA）= P （D | Bj = P （A收| A发）P （B收| A发）P（C 收| A发）P （A 收| A 发）同样可得 P （D | B2） = P （D | B3） =a （1 2a）3于是由全概率公式，得3P(D)工為

23、 P(Bi)P(D|Bi)= Pia2(1a)2 +(P2+P3)a1；)3由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D )=卩叫當B1)=2 aR=2 aR (1 - )(P2 * P3)二十九设第一只盒子装有 3只蓝球，2只绿球，2 只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球的概率，(2)求有一只蓝球一只白球的概率，(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一 只蓝球、绿球、白球，BB2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球

24、(1) 记C=至少有一只蓝球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1, 5 种情况互斥由概率有限可加性，得P(C) =P(AB) P(g) P(AB3)P(A2BJ PBJ独立性 P(A)P(BJ P(A)P(B2)P(A)P(B3)P(A2)P(B1)P(A3)P(BJ32333422225=*十* r *十*十*=79797979799(2 )记 D= 有一只蓝球，一只白球，而且知 D=A1B3+A3B1两种情况互斥P(D)二P(AB3 P(A3BJ =P(A)P(B3)P(A3)P(BJ3 4.2 216 !T-I11 7 97 963（3）PM忖器(注意至U CD

25、 =D)三十A, B, C三人在同一办公室工作，房间有三 部电话，据统计知，打给A, B , C的电话的概率分别为2 Z丄。他们三人常因工作外出， A, B, C三人外出的 概率分别为丄，丄1，设三人的行动相互独立，求244（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概 率；若某一时间断打进了 3个电话，求（3）这3个电话打 给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5） 这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。解：记CC2、C3分别表示打给 A, B, C的电话D2、D3分别表示A, B, C外出注意到 C、C2、C3独立，且 p（cj =p（c2）=2, p（c3）551 1

26、P(DJ 詁，P(D2)=P(D3)讨(1) P (无人接电话)=P (。曲3)= P (DJP (D2)P (D3)_ 1 1 1 1一24432(2)记G= “被呼叫人在办公室” ,C1D； C2D； C3D； 三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式P(G)=P(GD1) P(C2D2) P(C3D3)二P(CJP(D1 |G) P(C2)P(D2 IC2) P(C3)P(D3 IC3)由于某人外岀与否和来电话无关逆 p(瓦 |Ck)=P(瓦L(3) H为“这3个电话打给同一个人”P(H)=Z 2 2222 .1 丄卫555555555125(4) R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥

27、情况组成，每种情况为打给A , B , C 的 三个电话，每种情况的概率为2 Z 1二555125于是P(R) =624125125(5)由于是知道每次打电话都给B,其概率是1,所以每一次打给B电话而B不在的概率为丄，且各次情况相4 互独立于是 (3个电话都打给B,B都不在的概率)r1)1464第二章随机变量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5, 在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码， 写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5,分布律为110P(X =3) =P(球为 3号,两球为 1,2号)=1 CC2C5P（X =4） =P（球为4号,再在1,2

28、,3中任取两球）=1 C；C5310610P（X =5） =P（球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）=也可列为下表X:3，4， 5p:136 10 10 103. 三设在15只同类型零件中有 2只是次品，在其 中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以 X表示取出 次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1, 2P(X =0)二ClC35=2235P(X =1)二c； *C351235p(x =2)=2 1C2 C13C5_丄35个。再列为下表X:0,1,2p:丝12丄:35, 35，354. 四进行重复独立实验，设每次成功的概率为p

29、,失败的概率为q =1 - p(Ovpvl)(1) 将实验进行到出现一次成功为止， 以X表示所需 的试验次数，求 X的分布律。(此时称X服从以p为参数 的几何分布。)(2) 将实验进行到出现r次成功为止，以丫表示所需 的试验次数，求丫的分布律。(此时称丫服从以r, p为参数 的巴斯卡分布。)(3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。解：(1) P (X=k)=qk-1pk=1,2,(2) Y=r+n= 最后一次实验前r+n 1次有n次失 败，且最后一次成功P(Y =r n) =Crn.n4qnprp =Crn2qnpr

30、, n =0,1,2,其中 q= 1 p,或记 叶n=k，贝y PY=k= Ckr；pr(1-p)k，k = r,r+1,(3) P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2 1131qQqQP (X 取偶数)=7 P(X =2k)八(0.55)2k40.45k =1k =16.六一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明 在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1,问在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率是多少？P(X =2Cs p2q5 =C2 (0.1)2 (0.9)3 =0.0729(2) 至少有3个设备被使用的概率是多少？P(X _3)(0.1)3 (0.9)2 C5(0.1

31、)4(0.9) Cf (0.1)5 =0.00856(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？P(X 兰3)=C?(0.9)5 +c5 汇 0.1 汉(0.9)4 +C；疋(0.1)2 汇(0.9)3C； (0.1)3 (0.9)2=0.99954(4) 至少有一个设备被使用的概率是多少?P(X _1) =1 - P(X =0) =1 -0.59049 =0.40951五一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇 是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从 开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1) 以X表示鸟为了飞出房间试飞的

32、次数，求X的 分布律。(2) 户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以丫表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求丫的分布律。(3) 求试飞次数 X小于丫的概率；求试飞次数 丫小 于X的概率。解：(1) X的可能取值为1, 2, 3,，n,PX=n=P 前n 1次飞向了另2扇窗子，第n 次飞了出去n=1, 2,(2) 丫的可能取值为1, 2, 3P Y=1= P 第1次飞了出去=P 丫=2= P 第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去P Y= 3= P 第1, 2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去32! 1 3! 一3全概率公式并注意

33、到(PX Y)=P (X=1, 丫=0)+P (X=2, 丫=0)+P (X=2, 丫=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= C3 x0.6x(0.4)2 x(0.3)3 +C x(0.6)2 x0.4x(0.3)8 + C； (0.6)2 0.4 C； 0.7 (0.3)2 (0.6)3x(0.3)3 +(0.6)3xC3x0.7%(0

34、.3)2 +(0.6)3C3(0.7)2 0.3 = 0.2439. 十有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑 4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验 成功一次。(1) 某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多 少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验 10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。)解：(1)P (一次成功)=14 = 1C8470310000(2)P (连续试验 10 次，成功 3次)=c130(X)3(_79)7此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。九有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次 检验

35、：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品 数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取 5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求(1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率(2) 需作第二次检验的概率(3) 这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4) 这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验 时被通过的概率(5) 这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，丫表示5件中次品的 个数，由于产品总数很大，故 XB( 10，0.1)，丫B(5, 0.1)(近似服从)(1) P X=0=0.9 100.3492) P X 2= P X=2+ PX=1= c

36、!0O.12O.98 +C10O.1O.99 锵0.581(3) P Y=0=0.9 50.590(4) P 0X 2, 丫=0(0X 2与 Y=2独立)=P 0X 2P Y=0=0.581 .590 0.343(5) P X=0+ P 0 X 8) - P (X 9)(查入=4 泊松分布表)。=0.051134-0.021363=0.029771(2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率。P (X 10)= P (X 11)=0.002840 (查表计算)十二（2）每分钟呼唤次数大于3的概率。PX 3 = PX _ 4 =0.566530十六以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一 顾客到达的等待

37、时间（以分计），X的分布函数是Fx(x) = d；x _0x 0(2)求下述概率：（1）P至多3分钟 ；（ 2）P 至少4分钟 ；（ 3）P3 分钟至4分钟之间；（4）P至多3分钟或至少4分钟 ；（ 5）P恰好2.5 分钟解：（1） P至多 3 分钟= P X4） =i-Fx（4）d63 ） P3分钟至4分钟之间= P 3X 4= Fx（4） - Fx （3） d-2 e 丄6（4）P至多3分钟或至少 4分钟= P至多3分 钟+ P至少4分钟= 1_e42 心6（5）P恰好 2.5 分钟= P （X=2.5）=018.十七 设随机变量 X的分布函数为0,x1,Fx (x) = In x,1 乞

38、 x ： e,1,xe.求(1) P (X2), P 0X 3, P (2X 52) ； (2)求概率 密度fx (x).解：(1) P (X 2)=Fx (2)= ln2 , P (0X 3)= Fx Fx (0)=1 ,P(2 x=Fx(2)-Fx (2) =l nj -l n2 =l n|1_ 、匸，/、 j 一，1 x e f (x) =F(x) x20.十八（2）设随机变量x的概率密度f（x）为2(1 X21 E X 兰 1JI0其它X(2)f(x) = 2 x 100 _x ：1 乞x乞2 其他求X的分布函数F (x)，并作出(2)中的f (x)与F (x) 的图形。解：当一1 x

39、 1时：F (x) = ( 0 dx + ( Z J1 -x2 dx =2 丄 xj1 -xF-1 nn 22 11-xarcs in x n2二1 2 i2F (x)二 0 dx - ： 一 1 - x2dx“ n当11500)=1 P(X 勻500)=1 警dx =1 1000(*) 1000 fx_八wI 3丿3令丫表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时 的 个 数”。 则 丫B(5,2)，3P(Y _2) =1 _P(Y ：2) =1 _8(丫 =0) P(Y =1) ； = 1 _ (I)5 C5 (-) (-)4I 333,15 2,11232=15123.35243243

40、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布，其概率密度为：L xFx (x) =j 5Fx(x)詔 5e，x00,其它某顾客在窗口等待服务，若超过 10分钟他就离开。他一个月要到银行 5次。以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出丫的分布律。并求P (Y 1)。心上_xe 5 dx = -e 5 0亠. 210 =e解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为-.j1P(X .10) = 10fx(x)dx 二壬 d因止匕 丫B(5,e).即 P(Y=k)=f *山(1)5七伙=1,2,3,4,5P(Y _1) =1 P(Y ：1) =1 P(Y =0) =1 (1 e)5 =1 (11)5 =1 (1 0.1353363)57.3895=1 -0.86775 =1 -0.4833 =0.5167.24. 二十二 设K在(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4x2 4xK K 2 =0有实根的概率1K的分布密度为：f(K)= 0。 解不等式，得K2时，方程有实根。-be枕325P(K 启2) = J f(x)dx = J 丄dx + J 0dx=-L 2L 2 5L 5525. 二十三 设 XN (3.22)(1)求 P (