解析几何第四版课后习题答案第三章

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1、第三章平 面 与 3.1 面的方程1 .求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：(1)通过点Mi(3,1, 1)和点M2(1, 1,0)且平行于矢量1,0,2的平面(2)通过点Mi(1, 5,1)和M2(3,2, 2)且垂直于 xoy坐标面的平面；(3)已知四点A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4) D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线 AB且与ABC平面垂直的平面。解：(1) MM； 2, 2,1,又矢量 1,0,2平行于所求平面，故所求的平面方程为：一般方程为：4x 3y 2z 7 0(2)由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即0,0

2、,1与所求的平面平行，又M1M2 2,7, 3,平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：一般方程为：7(x 1) 2( y 5) 0,即 7x 2y 17 0。(3) ( i )设平面通过直线AB,且平行于直线 CDAB 4,5, 1 , CD 1,0,2从而的参数方程为：一般方程为：10x 9y 5z 74 0。(ii)设平面通过直线AR且垂直于 ABC所在的平面AB 4,5, 1 , AB AC 4,5, 1 0, 1,1 4,4,4 41,1,1均与 平行，所以的参数式方程为：一般方程为：2x y 3z 2 0.2 .化一般方程为截距式与参数式：:x 2y z 4 0.解：与三个坐

3、标轴的交点为：(4,0,0),(0 2,0),(0,0,4),所以，它的截距式方程为：H 上孑1.42 4又与所给平面方程平行的矢量为：4, 2,0, 4,0,4,所求平面的参数式方程为：3.证明矢量V X,Y,Z平行与平面Ax By Cz D 0的充要条件为：AX BY CZ 0.证明：不妨设A 0,则平面Ax By Cz D 0的参数式方程为：故其方位矢量为： -,1,0, C,0,1, A A从而V平行于平面Ax By Cz D 0的充要条件为：V, -,1,0, C,0,1共面 A AAX BY CZ 0.4 .已知连接两点A(3,10, 5), B(0,12,z)的线段平行于平面7x

4、 4y z 1 0,求B点 的z坐标.解：AB 3,2,5 z而AB平行于7x 4y z 1 0由题 3 知：(3) 7 2 4 (z 5) 0从而z 18.5 .求下列平面的一般方程.通过点1 2, 1,1和2 3, 2,1且分别平行于三坐标轴的三个平面过点 3,2, 4且在X轴和y轴上截距分别为2和3的平面；与平面5x y 2z 3 0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面；已知两点 i3, 1,2, 2 4, 2, 1，求通过i且垂直于1, 2的平面；原点在所求平面上的正射影为 2,9, 6 ;求过点1 3, 5,1和2 4,1,2且垂直于平面x 8y 3z 1 0的平面.x 2 y 1 z

5、 1解：平行于X轴的平面方程为 1100.即z 1 0.1 00同理可知平行于y轴，z轴的平面的方程分别为z 1 0,x y 1 0.设该平面的截距式方程为工工 Z 1,把点 3,2, 4代入得c 丝2 3c19故一般方程为12x 8y 19z 24 0.若所求平面经过x轴，则0,0,0为平面内一个点，5,1, 2和1,0,0为所求平面的方位矢量，x 0 y 0 z 0.，点法式方程为5120100一般方程为2y z 0 .同理经过y轴，z轴的平面的一般方程分别为2x 5z 0,x 5y 0.1 21, 1, 3. 1 2垂直于平面，.二该平面的法向量n 1, 1, 3，平面 通过点1 3,

6、1,2 ,因此平面的点位式方程为x 3 y 1 3z 20.化简得x y 3z 2 0. op 2,9, 6 .cos2一,cos 119一,cos 11g11则该平面的法式方程为：296x y z111111110.既 2x 9y 6z 121 0.(6)平面 x 8y 3z 10的法向量为1,8,3)M1M 21.6,1，点从4,1,2写出平面的点位式方程为2,C则一般方程Ax0,则26,14,D262874,By Cz D0,即：13x7z 370.6.将下列平面的一般方程化为法式方程。解： D 3.将已知的一般方程乘上专得法式方程高2y.305z.300. 301.已知的一般方程乘上.

7、得法式方程12x3. D2.1.将已知的一般方程乘上1.得法式方程0.0.将已知的一般方程乘上.得法式方程为义49y447cxyz0.9997.求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。解：1 .D123635.7.化为法式万程为7x ：y 5 0原点指向平面的单位法矢量为U2,翡，它的方向余弦为8s-,cos- , cos 9 .原点o到平面777的距离为P D 5.2 .D 21.3.化为法式方程为- 3x |y 3z 7 0原点指向平面的单位法矢量为n01,3, |，它的方向余弦为8s12-,cos- ,cos33!.原点。到平面的距离p D 7.第20页8.

8、已知三角形顶点A 0, 7,0 , B 2, 1,1 ,C 2,2,2 .求平行于 VABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。uuur umrrrr解：设ABa, ACb.点A0, 7,0 .则a2,6,1 ,b2,9,2写出平面的点位式方程x y 7 z2610292设一般方程 Ax By Cz D 0. A 3.B 2,C 6,D14 0.则 Ip D 2. 7相距为2个单位。则当p 4时D28.当p 0时D 0.所求平面为3x 2y 6z 28 0.和3x 2y 6z 0.9.求与原点距离为 6个单位，且在三坐标轴 ox,oy与oz上的截距之比为 a:b:c 1:3: 2 的平面

9、。解：设a x,b 3x,c 2x.Q abc 0.设平面的截距方程为 -y - 1. a b c即 bcx acy abz abc.又Q原点到此平面的距离d 6.1Lbc 6.,2 22 22, 22b c a c a b x1所求方程为10.平面x ay zx 7.3 2A(a,0,0)B(0,b,0)unnC(0,0, c) AB a,b,0uuurACa,0,cuun uurAB AC bc,ca,ab ;uuuruurAB AC R2 22 22. 2c c a a b .2ABe = 2 E2E11.设从坐标原点到平面的距离为。求证证明：由题知:P.111p a2 b2从而有4 4

10、p2 a2 b2 3.2平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离:(1)M ( 2,4,3) ,: 2x y 2z0；(2)M (1,2, 3),:5x 3y0.解:的方程法式化，得:故离差为:32(M)(-)的距离d13y(2)(M)2z3131.30,(2)类似(1),可求得5(M).35.35. 35- 350,M至J 的距离d(M)0.1分别与三个坐标轴交于点 A, B, C.求VABC的面积。2 .求下列各点的坐标:(1)在y轴上且到平面2 2y 2z 2 0的距离等于4个单位的点；(2)在z轴上且到点M(1, 2,0)与到平面3x 2y 6z 9 0距离相等的点；(3)

11、在X轴上且到平面12x 16y 15z 1 0和2x 2y z 1 0距离相等的点。解：(1)设要求的点为M (0, y。,。)则由题意y0 1 6 y 5或 7.即所求的点为(0, -5, 0)及(0, 7, 0)。(2)设所求的点为(0,0,Z0)则由题意知：由此，Z02 或-82/13。故，要求的点为(0,0, 2)及(0,0, 82)。13(3)设所求的点为(X0,0,0),由题意知：由此解得：X0 2或11/43。所求点即(2, 0, 0)及(11/43, 0, 0)。3 .已知四面体的四个顶点为S(0,6,4),A(3,5,3),B( 2,11, 5),C(1, 1,4),计算从顶

12、点S向底面ABC所引的高 解：地面ABC的方程为:6 2 45 c所以，局h 334 .求中心在C(3, 5,2)且与平面2x y 3z 11 0相切的球面方程。解：球面的半径为 C到平面 ：2x y 3z 11 0的距离，它为:2 3 5 6 11142814所以，要求的球面的方程为:_ 22- 2 一(x 3) (y 5) (z 2)56.即：x, 8. 48B 104BC 105C 0.因此 12B 35C 4B 3C 0.B2 C2从而得 12B 35C 0 或 4B 3C 0.于是有 B:C 35:12 或 B:C 3: 4 .所求平面为35y 12z 0或3y 4z 0.6.求与下

13、列各对平面距离相等的点的轨迹. 3x6y 2z 70和 4x3y 50 ; 9xy 2z 140和 9xy 2z60. 解：1 : 1 3x 6y 2z 70人11 .令一3x 6y 2z 7 4x 3y 575化简整理可得：13x 51y 10z 0与 43x 9y 10z 70 0.对应项系数相同 ，可求DD2 -4-64,从而直接写出所求的方 2程：9x y 2z 4 0.9判别点M (2 -1 1)和N (1 2 -3 )在由下列相交平面所构成的同一个二面角内，还是在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？(1) 1 : 3x y 2z 3 0 与 2:x 2y z 4 0(2) 1:2x

14、 y 5z 1 0 与 2 : 3x 2y 6z 1 0解：(1)将 M (2 -1 1), N (1 2 -3)代入 1,得: y2 z2 6x 10y 4z 18 0.5 .求通过x轴其与点M 5,4,13相距8个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为By Cz 0.它与点M 5,4,13相距8个单位，从而4B 13CI22则M, N在i的异侧再代入2，得:2 2 1 4 7 0143440MN在2的同侧MN在相邻二面角内将 M (2 -1 1) N (1 2 -3)代入1,得:4 1 5 1 9 02 2 15 18 0则MN 1的异侧。再代入2，得:6 6 2 1 13 03 4 18

15、 120 0则MN 2的异侧MN在对顶的二面角内10试求由平面1: 2x y 2z 3 0与2： 3x 2y 6z 1 0所成的二面角的角平分方程，在此二面角内有点(1, 2 , -3 )解：设p (x y z )为二面角的角平分面上的点，点p至J 1 2的距离相等2x y 2z 3 3x 2y 6z 1 化简得 5x 3y 32z 19 0(1)J22 12 22,32 2262寸 23x y 4z 24 0(2)把点p代入到1 2上，102 0在(1)上取点(处0 0)代入12,1 0 2 0 o5在(2)上取点(0 0 -6)代入12, i 0 2 0(2)为所求，解平面的方程为：3x

16、y 4z 24 03.3两平面的相关位置1 .判别下列各对直线的相关位置：(1) x 2y 4z 1 0与冬z 3 0;4 22xy 2z 5 0 与 x 3y z0；(3) 6x2y 4z 5 0与 9x 3y6z解：(1)11,八1:2:( 4) - :-：( 1)4 29-002(1)中的两平面平行(不重合)(2)2:( 1):( 2) 1:3:( 1),(2)中两平面相交;(3)6:2:( 4) 9:3:( 6),(3)中两平面平行(不重合)2.分别在下列条件下确定l ,m, n的值:(1)使(l 3)x (m 1)y(n 3)z 8 0和(m 3)x (n 9)y (l 3)z 16

17、0表示同平面;(2)使 2x my 3z 50与lx 6y 6z 2 0表示二平行平面;(3)使lx y 3z 1 0与7x 2y z 0表示二互相垂直的平面。解：(1)欲使所给的二方程表示同一平面，则: 即:71337从而.l,m, n o999(2)欲使所给的二方程表示二平行平面，则:所以：l 4, m 3。(3)欲使所给的二方程表示二垂直平面，则:所以：l L 73 .求下列两平行平面间的距离:(1) 19x 4y 8z 21 0 , 19x 4y 8z 42 0;(2) 3x 6y 2z 7 0, 3x 6y 2z 14 0。解：(1)将所给的方程化为:所以两平面间的距离为:2-1=1

18、(2)同(1)可求得两平行平面间的距离为1+2=3。4 .求下列各组平面所成的角：(1)x y 11 0,3x8 0; 2x 3y 6z 12 0, x 2y 2z 7 0。解：(1)设x y 11 0,2： 3x 8 02x 3y 6z 12 0,2y 2z 7 01 8cos - o211 81 , 2 ) cos 或 ( 1 , 2)215 .求下列平面的方程：通过点M1 0,0,1和M2 3,0,0且与坐标面xOy成600角的平面；(2)过z轴且与平面2x y遥z0成600角的平面设所求平面的方程为-y3 b1.1 1-0-01又xoy面的方程为z=0,所以cos6012 33b解得b

19、所求平面的方程为1,即 x 26y 3z 3 0设所求平面的方程为Ax By0 ;则 cos602A BA2 B2.4 1 52_2_23A 8AB 3B 0, AB .八 一或A33B所求平面的方程为x3y 0或 3x y 0.1 .求下列各直线的方程:(1)通过点A( 3,0,1)和点B(2, 5,1)的直线；(2)通过点M 0(x0, y0, Z0)且平行于两相交平面(i 1,2)的直线；(3)通过点M(1 5,3)且与x,y,z三轴分别成60 ,45 ,120的直线；垂直的直线;(4)通过点M(1,0, 2)且与两直线 上上三和?上三 111110(5)通过点M (2, 3, 5)且与

20、平面6x 3y 5z 20垂直的直线。解：(1)由本节(3.46)式，得所求的直线方程为:即：。工二J,亦即550y1(2)欲求直线的方向矢量为:所以，直线方程为:x x0B1C1B2 C2V。A1zz0oC2A?AB1A2B2(3)欲求的直线的方向矢量为:cos60,cos45 ,cos1201 _22 , 2故直线方程为：千y25(4)欲求直线的方向矢量为:1,1, 11, 1,01, 1,所以，直线方程为:x 116, 3, 5 ,(5 )欲求的直线的方向矢量为：所以直线方程为：x 2 y 3 z 5o2 .求以下各点的坐标:(1)在直线 上 上与原点相距2 5个单位的点； 213(2)

21、关于直线x y 4z 12 0与点P(2,0, 1)对称的点。2x y 2z 3 0解：(1 )设所求的点为M(x,y,z),则:又 x2 y2 z2252即：(1 2t)2 (8 t)2 (8 3t)2252,解得：t 4或627所以要求的点的坐标为：(9,12,20),( 117, 6, 130)0(2)已知直线的方向矢量为：1, 1, 42,1, 26, 6,3 ,或为2, 2,1 ,过P垂直与已知直线的平面为：2(x 2) 2y (z 1) 0,即 2x 2y z 3 0,该平面与已知直线的交点为(1,1,3),所以若令P (x,y,z)为P的对称点，则:x 0, y 2,z 7,即

22、P (0,2,7)。3 .求下列各平面的方程:(1)通过点p(2,0, 1),且又通过直线 工工 工二的平面; 213(2)通过直线 小 2 二且与直线 151平行的平面；(3)通过直线(4)通过直线二2且与平面3x 2y z 5 0垂直的平面;22x 4y3z19 00向三坐标面所引的三个射影平面解：(1)因为所求的平面过点p(2,0, 1)和p ( 1,0,2),且它平行于矢量2, 1,3 ,所以要求的平面方程为: 即 x 5y z 1 0 o(2)已知直线的方向矢量为2, 1,11,2, 11,3,5 ,平面方程为：即 11x 2y z 15 0(3)要求平面的法矢量为2, 3,2 3,

23、2, 11,8,13 ,平面的方程为：(x 1) 8(y 2) 13(z 2) 0,即 x 8y 13z 9 0。5x 8y 3z 9 0(4)由已知万程y2x 4y z 1 0分别消去x, y, z得到：36y 11z 23 0, 9x z 7 0, 11x 4y 6 0此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦: 2x y z 1 03x y 2z 3 0(2)x z 6 02x 4y z 6 0(3)(3):1:( 5)解：(1)直线的方向数为:32z 射影式方程为:5519 -z 5532z 5519 z55标准方程为：5)方向余弦为

24、：cos35. 355cos15.355cos4:3:( 4),(2)已知直线的方向数为:射影式方程为:4z43-z424418，4z 63 z4标准方程为:61方向余弦为:cos1. 414441cos34. 414cos4144- 41(3)已知直线的方向数为:0: ( 1): ( 1) 0:1:1,射影式方程为：xy标准式方程为：-方向余弦为：cos 0, cos2.即5. 一线与三坐标轴间的角分别为,.证明sin2 sin2 sin2证cos2cos2cos21 ,1 sin21 sin21 sin21sin2 sin2 sin22.3.5直线与平面的相关位置1 .判别下列直线与平面的

25、相关位置：x 3 y 4 z 上(1) 一与4x 2y 2z 3;2 73xyz-(2)一工-与 3x 2y 7z 8；3 27/c、 5x3y2z5 0 -(3) 7与 4x 3y 7z 7 0;2x y z 1 0x t(4) y 2t 9 与 3x 4y 7z 10 0。z 9t 4解：(1)( 2) 4 ( 7) ( 2) 3 ( 2) 0,而 432( 4) 20 3 17 0,所以，直线与平面平行。3 3 2 ( 2) 17 7 0所以，直线与平面相交，且因为 3 7,3 2 7直线与平面垂直。(3)直线的方向矢量为：5, 3,22, 1, 15,9,1 ,4 5 3 9 7 1

26、0,而点M( 2, 5,0)在直线上，又4 ( 2) 3 ( 5) 7 0,所以，直线在平面上(4)直线的方向矢量为1, 2,9 ,直线与平面相交。2 .试验证直线1: 三与平面 ：2x y z 3 0相交，并求出它的 112交点和交角。解： 2 ( 1) 1 1 1 23 0直线与平面相交。x t又直线的坐标式参数方程为：y 1 tz 1 2t设交点处对应的参数为t0 ,t01 ,从而交点为(1 , 0, -1 )。又设直线1与平面的交角为，则：2 ( 1) 1 1 1 2 sin J660 63 .确定1,m的值，使：(1)直线二 匕二 z与平面lx 3y 5z 1 0平行;431 x 2

27、t 2(2)直线 y 4t 5与平面lx my 6z 7 0垂直。z 3t 1解：(1)欲使所给直线与平面平行，则须:即l 1。(2)欲使所给直线与平面垂直，则须:所以：l 4, m 8。4.决定直线A1xB1y1z 0 和平面(A1A2)x(B1B2)y(C1C2)z0 的相A2x B2y C2z 0互位置。解：在直线上任取M 1 (x1, y1, z1),有：这表明Mi在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。5.设直线与三坐标平面的交角分别为证明设直线与X,Y,Z轴的交角分别为次为一.那么，一，一，22.222一 cos cos cos 一222,.证明 cos2cos2cos22.,，

28、.而直线与yoz,zox,xoy 面的交角依一 .而 cos2 cos2cos21 .21.从而有 cos2cos2cos22.6.求下列球面的方程与平面x+2y+3=0相切于点M 1,1, 3且半径r=3的球面;(2)与两平行平面 6x-3y-2z-35=0 和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于点M 5,1, 1的球面.1 1t 3解：y1 2t为过切点且垂直与已知平面的直线，33 2t3显见1,2 2是这条直线的方向余弦.3 3 3取t 3,则得x 2, y 3;取t3,则得 x 0,y1,z5.故所求球面有两个：x22 y 3 2 z 1 2 9,与x2y 1 2 z 5

29、 2 9.x 5 6t,y 1 3t,z 1 2t为过点且垂直于两平面的直线，将其代入第二个平面方程，得t 2,反代回参数方程，得x 7,y 5,z 3.设球之中心为C,半 径为r,则C 1,2,1, r25 1 21 2 21 1 2 49 .故所求球面方程为 x12 y 2 2 z 1 2 49.3.7空间直线的相关位置1 .直线方程A乂 B1y C1z D2 0的系数满足什么条件才能使： A2x B2 y C2z D20（1）直线与x轴相交； （2）直线与x轴平行；（3）直线与x轴重合。解：（1）所给直线与x轴相交x0使A1x0 D1 0且庆2*0 D2 0A1 D1 0且A, A2不全

30、为零。A D22 2） x轴与平面A1x By Gz D10平行又x轴与平面A2x B2y C2z D2 0平行，所以即A1 A2 0,但直线不与x轴重合，D1,D2不全为零。（3）参照（2）有 A1 A2 0,且 D1 D2 0。2.确定值使下列两直线相交：（1） 3x y 2z 6 0 与z轴；x 4y z 15 0/o、 x 1 y 1 z 1 匕解：（1）若所给直线相交，则有（类似题1）：（2） 1 与 x 1 y 1 z o从而 5。(2)若所给二直线相交，则从而： 5043.判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面；如果是异面直线，求出它们之间的距离(

31、1)x 2y 2z 0j x 2yz 11 03x 2y 6 0 2x z 14 0(2)(3)2t 1 与二y 4 z 2175解：(1)将所给的直线方程化为标准式，为:(-2): 3: 4=2: (-3): (-4)二直线平行。3 3又点(,-,0)与点(7, 2, 0)在二直线上，2 4矢量7 3,2 -,011,5,0平行于二直线所确定的平面，该平面的法矢量242 4为：11 52,3,4-,-,05,22, 19 ,2 4从而平面方程为：5(x 7) 22(y 2) 19(z 0) 0,即 5x 22 y 19z 9 0。3 3 8 7 3 6(2)因为 311270 0,4二直线是

32、异面的二直线的距离：d15123, 1,13,2,4270 。丁 V270 外国。62 152 32(3)因为0,但是:1: 2: (-1 )士 4: 7: (-5)所以,两直线相交，二直线所决定的平面的法矢量为1,2 14,7, 53,1, 1 ,平面的方程为：3x y4.给定两异面直线：口2,试求它们的公垂线方程。解：因为2,1,01,0,11,2,公垂线方程为:即 x 2y 5z 82x 2y 2z 2 0亦即 x 2y 5z 8 。x y z 1 05.求下列各对直线间的角3Xx4yy2z2z:与4x y6zy 3z 2cosX1X2y1y22222X1y1乙.x2z/222yz254

33、 12.9 36 4% 4 81 367277arccos72 或arccos72.77773x 4y 2z 0的对称式方程为:-y -,2x y 2z 010211(2) 直线4z4x y 6z 2 0的对称式方程为：2 L_6 -3y 3z 2 03124.98 -98一 arccos或arccos .1951956.设d和d分别是坐标原点到点M (a,b,c)和M (a ,b ,c)的距离，证明当aa bb cc dd时，直线MM通过原点uuur uuuLr OM OM aabb cc、uuuruLuur证OMa,b,c , OMa,b,cuuuu uuuurOM OMuuuu uuuu

34、ruuuu uuuurOM OM , cos(OM ,OM ) dd, q uuuu uuuur时，必有 cos(OM ,OM )uuuu uuuur 1，.二 OM /OM.二当aa bb cc dd时，直线MM通过原点.7.求通过点1,0, 2且与平面3x y 2z 1 0平行，又与直线上-y- -421相交的直线方程.解 设过点1,0, 2的所求直线为它与已知平面3x y 2z 1 0平行，所以有3x y 2z 0(1)又二直线与已知直线相交，那么必共面. 又有即 7x+|8y-12z=0/八小、/曰1223由(1),(2)得 X:Y:Z 。仆： 81212 7而 4:50 :31 4:

35、2 :1.所求直线的方程为左、U450318.求通过点4,0, 1且与两直线 x y2x y(2)314:50:317 8z 2,与2x ;y z 4都相交的直线方程.解 设所求直线的方向矢量为则所求直线可写为* Yv x,y,z,z 1.Z直线 li 平行于矢量 n1n21,1,12, 1, 10,3, 3 矢量v 0,3, 3为直线11的方向矢量.1 1由于11 0因此令y=o解方程组得1 2x=1,z=o点(1,o,o) 为直线11上的一点.直线11的标准方程为1与11,12都相交且11过点M1 1,0,0 .方向矢量为 v 0,3, 3.3 01二有 m1 p,v1, v0 33 0X

36、 Y Z即 X+3Y+3Z=0.即 X-13Y-3Z=0.得 X:Y:Z=30:6:-16又 30:6: 16 0:3: 3,即 v不平行V1 .30:6: 16 5:1:6,即 v不平行v2.所求直线方程为：9.求与直线 L 平行且和下列两直线相交的直线z 5x 6 z 2x 4z4x3,z3y5x2t3x5t10y3t5,y4t7z t z t解 在两直线上分别取两点M1 9,0,39 ,M2 0, 3, 4 ,第一条直线的方向矢量为vi 0,1,0 , 第二条直线的方向矢量为 V2 3,2,6 , 作两平面： 即 x 8z 303 0;8x 9y z 31 0,将其联立即为所求直线的方程

37、x 3 y 5 z 231 0,即 2x 3y 5z 21 0( 1 )871x 10 y 7 z5410,即 x y z 17 0871(2)(2)联立:2x 3y 5z 21 0x y z 17 0这就是所要求的直线方程10.求过点刈0且与直线l:彳宝垂直相交的直线方程解 设所求直线的方向矢量为 v0则所求直线可写为T VX Y Z, ,z 0.Z3X+2Y-2Z=0由,(2)得 X:Y:Z 120:131:311二所求直线10为: 3.6空间直线与点的相关位置1.直线 Ax B1y C1z A2x B2y C2zD1D20通过原点的条件是什么?0解：已知直线通过原点故条件为D1D20o2

38、 .求点p(2,3, 1)到直线2x3x2y z2y 2z3 0 AA 口匚*的距离。17 0解：直线的标准方程为:所以，p到直线的距离为:224922229 321.202545 “ 15 o33 3.8 平面束1.求通过平面4x y 3z 10和x 5y z 2 0的交线且满足下列条件之一的平面:(1)通过原点；(2)与y轴平行;(3)与平面2x y 5z 3 0垂直。解：(1)设所求的平面为：(4x y 3z 1) (x 5y z 2) 0欲使平面通过原点，则须：120,即 -,2故所求的平面方程为： 即：9x 3y 5z 0。(2)同(1)中所设，可求出 105故所求的平面方程为：5(

39、4x y 3z 1)(x 5yz 2) 0即：21x 14z 3 0。(3)如(1)所设，欲使所求平面与平面2x y 5z 3 0垂直，则须:从而： 3,所以所求平面方程为：7x 14y2.求平面束(x 3y 5) (x y2z4)两轴上截距相等的平面。解：所给的方程截距式为:据要求：5士 5-所以，所求的平面为:2x2y2z1 003.求通过直线 x 5y x z且与平面x4y8z 120成一角的平面。4解：设所求的平面为:(x5yz) (x z4)则：() 5.()2(5 )2(4) ()(8)- 2)2 ,12( 4)2 ( 8)22从而，0:1 或 4:3所以所求平面为：x z 4或

40、x 20y 7z4.求通过直线 025且与点p(4,1,2)的距离等于3的平面。解：直线的一般方程为:设所求的平面的方程为 (x1)(3y 2z 2) 0,据要求，有:6:1 或 3:8即所求平面为： 6( x 1) (3y 2z 2) 0或 3(x 1) 8(3y 2z 2) 0即：6x 3y 2z 4 0 或 3x 24y 16z 19 0。5.求与平面x 2y 3z 4 0平行且满足下列条件之一的平面.通过点1, 2,3 ；y轴上截距为3 ；与原点距离为1.解：设所求的平面为x 2y 3z 0,将点1, 2,3的坐标代入方程得14,则所求平面方程为x 2y 3z 14 0.设所求的平面为

41、x 2y 3z .工- 1,令一3,得6._223故所求平面为x 2y 3z 6 0 .设所求的平面为x 2y 3z0,将其法化为2y 3z0,将原点的坐标代入得0.11胃，故所求平面为x 2y 3zy14146.设一平面与平面x+3y+2z=0平行，且与三坐标平面围成的四面体体积为6,求这平面的方程。解设所求平面方程为：x+3y+2z+0原点到该平面的距离为dD.A2 B2 C2,1,1分别叫做平面在三坐标轴上的截距32四面体体积V 1Sh613)(3)(6.，这个平面的方程为 x 3y 2z 6 0XOZ8.直线AlX B1y Clz D10的系数满足什么条件才能使直线在坐标平面A2X B2y C2Z D2 0内？解坐标平面XOZW于平面束化简为 1Al mA2 x lB1 mB2 y 1cl mC2 z lD1 mD20设平面XOZ面y 0,x 0,z 0.1Al mA20有 1cl mC2 01D1 mD20AiCiA2C2DD222113b