《高二数学选修2-1(B版)_拓展资料：用向量表示三角形的四心》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学选修2-1(B版)_拓展资料：用向量表示三角形的四心（3页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量知识出发，利用定比分点的向量表达式，可以简 捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式.【例】 如图，在 ABC中，F是AB上的一点，E是AC上的一点，且AF m AE n亩二7,氏=(通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数 )，连结CF、BE 交于点D.求D点的坐标.解：在平面上任取一点 O,连结OA、OB、OC、OD、OE、OF,由定比分 点的向量表达式，得：OF =(OA+ l QB)+l)l ?OA m?OBl m n -OA ?OCl“ n l?OA n?OC 一 1 -OE = l = 1nOF ?OC OB u?OE又
2、 OD=1=1 uFD BD(其中 DC = ,DE U).n整理、式得 =ml.lmn - 所以 OD=l m n OA+l m n OB +1 m n OC 由式出发，可得三角形四心的向量表达式:(1)若BE、CFMAABC两边上的中线，交点G为重心.由式可得重心G的向量表达式:10G=3(0A + 0B + oC).(2)若BE、CF是 ABC两内角的平分线，交点I是内心.AF b AE c因为 FB = a , EC = a ,由式可得内心I的向量表达式:abcOI = a b c OA + a b cOB+a b c OC(3)若BE、CF是AABC两边上的高，交点 H是垂心.cco
3、sCAE c?cosA aEC = a ? cosC = cosA . b cosB AF a同理 FB = cosA .由式可得垂心H的向量表达式：aaOA bOB cOC ccosC bcosC bcosC bcacaOH 二=cosAcosBcosC +cosAcosBcosC+ cosAcosBcosC(4)若BE、CF的交点。是4ABC的外心，即三边中垂线交点，则O，A=，BO，C.根据正弦定理：BEsin A?sinAE BEEC = sin C?sin1 EBA sinC?sin ( 2_1CBE sin A?sin ( =2AO B)BOC)sin C ?cosC=sin A?cosA 二sin 2c=sin2AAF sin2B同理 FB = sin2A .由式可得外心O的向量表达式:sin 2Asin2BOO = sin2A sin2B sin 2C OA+sin 2A sin2B sin2C OBsin2C+ sin2A sin2B sin 2COC.好记，好这四个向量表达式，都由式推出，都有着各自轮换对称的性质用 !新教材的优越性,由此可见.
高二数学选修2-1(B版)_拓展资料：用向量表示三角形的四心
