《高等数学：3-3 隐函数及参数方程确定函数导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：3-3 隐函数及参数方程确定函数导数（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、3.3 3.3 隐函数的导数隐函数的导数及由参数方程确定函数的导数及由参数方程确定函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数 二、对数求导法二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数定义定义: :( , )( ).0F x yyy x由由方方程程所所确确定定的的数数称称为为隐隐函函数数函函( ).yf x把把形形称称为为显显函函数数式式0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两
2、边求导.一、隐函数的求导法则一、隐函数的求导法则例例1 1d= ( ).dyyexyy y xx求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数 解解( ),yyxyy xexyx把把 看看作作 的的函函数数方方程程两两边边对对 求求导导 移项得移项得ye y yxyx y xy , ddyyyyxex 1yx y.() yex yy() 即即（y看做中间变量），得看做中间变量），得例例200dd,.ddxyxxyeeyyyxx求求由由方方程程所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数 解解( ),yxyy xx 把把 看看作作 的的函函数数方方程程两两边边 求求导导y 解得解得d,dx
3、yyeyxxe 0,0,xy由由原原方方程程知知时时0001d|.dxxxyyyeyxxe ddyxxxeye 0,ddyx例例3 322221(,).22xyM求求圆圆在在点点的的切切线线方方程程及及法法线线方方程程解解,yxx把把 看看作作 的的函函数数方方程程两两边边对对 求求导导xyy220 xyy ，所求切线方程为所求切线方程为y22(,)221 yx 22().22所求法线方程为所求法线方程为22.22yx二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数2(1)(2).3xxxxyxyex ，方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导
4、方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu例例3 设设23)(1)(3)(21)(4xxyxx y求求 解解先将等式两边各因子取绝对值，再取对数，得先将等式两边各因子取绝对值，再取对数，得 231lnln1ln 3ln 21ln 4,2yxxxx 把把y看做看做x的函数的函数y=y(x) ,上式两边对上式两边对x求导，得求导，得11121yyx 233x 221x 434x 解得解得23)231(1)(3)13242(21)(413214.xxyxxxxxx 例例4 4解解sin(0),.xy
5、xxy设设求求 等式两边取对数得等式两边取对数得lnsinlnyxx x上上式式两两边边对对 求求导导得得1coslnyxxy sincoslnxyyxxx sinsincosln.xxxxxx 1sin,xx例例5 5解解2(1)(2)111423123xexxyxxxxx 等式两边取对数得等式两边取对数得 21lnln(1)ln(2)ln(3)2yxxxx 求导得求导得上式两边对上式两边对 x1111122123yxyxxx 2(1)(2),.3xxxyeyx 设设求求一般地一般地0( )( )( )( ( )v xf xu xu x( )(ln ( )v xu x ( )( ) ( )(
6、 )( ) ( ) ln ( )( )v xv x u xfxu xv xu xu x)(ln)()(lnxuxvxf 1( )( )ln ( )( )fxv xu xf x( )ln ( )v xu x 1( )( )( )v xu xu x 三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确定的函数的导数( )( )( )xtyxyf xyt 所所谓谓参参变变量量函函数数是是指指由由参参数数方方程程确确定定 与与 间间的的函函数数例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t1(
7、)( ),xttx设设函函数数具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数 )(1xy ( ),( ),( )0,xtytt再再设设函函数数都都可可导导 且且由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得ddddddyytxtxd1dddyxtt)()(tt ddddddyytxxt即即 ( ),( )xtyt在在方方程程中中 例例6 6解解ddddddyytxxt 求由参数方程求由参数方程 sin ),(02 )(1cos ).xa ttxyat (所表示的函数所表示的函数yy(x)的导数。的导数。 (1cos )at sin )a tt ( sinat(1cos )at sin1
8、costt 例例7 7 求椭圆求椭圆 解解 sin2costt 4d1d2tykx ddddddyytxxt 2cossinxtyt在在 4t相应点处的切线方程相应点处的切线方程. cos2( sin )tt 1cot .2t 曲线上所对应曲线上所对应t=/4的点为的点为 22,2故所求切线方程为故所求切线方程为21(2)22yx 四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; ;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数, ,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导; ;参变量函数求导参变量函数求导: : 实质上是利用复合函数求导法实质上是利用复合函数求导法则则. .
高等数学：3-3 隐函数及参数方程确定函数导数
