动力弹塑性分析滞回模型迈达斯

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1、第9章 弹塑性动力分析9-1 概要非线性抗震分析方法可分为非线性静力分析方法和非线性动力分析方法。其中非线性静力分析方法(静力弹塑性分析)因其理论概念易于理解、计算效率高、整理结果较为容易等原因为设计人员所广泛使用。但是由于静力弹塑性分析存在反映结构动力特性方面的缺陷、使用的能力谱是从荷载-位移能力曲线推导出的单自由度体系的能力谱、不能考虑荷载往复作用效应等原因，在需要精确分析结构动力特性的重要结构上的应用受到了限制。近年因为计算机硬件和软件技术的发展，动力弹塑性分析的计算效率有了较大的提高，使用计算更为精确的动力弹塑性分析做大震分析正逐渐成为结构非线性分析的主流。9-1-1 动力弹塑性分析的

2、运动方程包含了非线性单元的结构的运动方程如下。单元的非线性特性反映在切线刚度的计算上，且非线性连接单元的单元类型必须使用弹簧类型的非弹性铰特性值定义。(1)其中，M ：质量矩阵C ：阻尼矩阵KS ：非线性单元和非线性连接单元以外的弹性单元的刚度矩阵 ：节点的位移、速度、加速度响应p ：节点上的动力荷载fI ：非线性单元沿整体坐标系的节点内力fN ：非线性连接单元上的非线性弹簧上的沿整体坐标系的节点内力弹塑性动力分析属于非线性分析不能象线弹性时程分析那样使用线性叠加的原理，所以应使用直接积分法进行分析。程序中提供的直接积分法为Newmark-法，Newmark-是通过计算各时间步骤上位移增量并进

3、行累加的方法。在各时间步骤上产生的残余力使用Newton-Raphson法通过迭代计算消除。使用时刻上的加速度和位移计算时刻的速度和位移的公式如下：(2)(3)将上述公式可重新整理成如下形式： (4)(5)位移、速度的增量可表现为如下形式。 (6)(7)(8)使用Newton-Raphson法迭代计算时的各迭代计算的增量为： (9)(10)因此，在时刻上的第(i)次迭代计算的位移、速度、加速度可按下面公式表示。 (11)(12)(13)在时刻的第(i)次迭代计算的运动方程如下。(14) 将式(14)代入式(12)、(13)可得关于增量位移的平衡方程。 (15)其中， : 有效刚度矩阵， ：各迭

4、代计算步骤的有效荷载向量 ：非线性单元的切线刚度矩阵 ：各迭代计算步骤的位移增量向量：Newmark-法的参数9-1-2 静力法在时程荷载工况中选择“静力法”时表示在动力弹塑性分析中排除质量和阻尼的影响。该方法可用于计算初始荷载作用下初始状态分析或Pushover分析。需要注意的是动力弹塑性分析中要考虑重力荷载作用下的初始状态的作用，而重力荷载作用下的初始状态也需要考虑非线性效果。静力法中也将使用Newton-Raphson法，增量控制方法有荷载控制法和位移控制法。 静力法也支持不同的静力法时程荷载工况的接续分析，但是需要注意的是不同的静力法虽然可以采用不同的增量控制法，但是在下列两种情况下会

5、发生不正确结果。1) 两个荷载控制法的静力法时程荷载工况的接续分析2) 位移控制法的静力法时程荷载工况后面接续荷载控制法的静力法时程荷载工况时整理可行与不可行的接续分析类型如下： 荷载增量法 位移增量法 (O) 荷载增量法 荷载增量法 (X) 位移增量法 位移增量法 (O) 位移增量法 荷载增量法 (X)荷载可以使用时变静力荷载(Time Varying Static Load)加载，此时时程函数的数据类型要选择“无量刚”。荷载增量法中的荷载因子由0到1线性增加。位移增量法中通过位移增量自动计算荷载因子。采用动力弹塑性分析功能中的静力法做Pushover分析的原因是程序中提供的梁、柱截面的纤维

6、模型只支持动力弹塑性分析。9-1-3 初始内力状态程序中考虑重力荷载作用下的初始内力状态的方法有下面两种：1) 通过“静力法”非线性时程分析获得重力荷载作用下的非线性内力状态2) 通过初始内力表格输入初始内力 程序中考虑初始内力状态的方法是通过计算初始内力作用下的假想的变形，并通过假想的变形判断非线性构件的状态来实现的。详细的操作步骤如下(参见图2.9.1)1. 使用初始刚度计算初始内力作用下非线性铰的假想变形。a) 当在屈服面内时(弹性范围)直接使用初始内力。b) 当在屈服面外时通过滞回曲线计算对应的恢复力，且和仅计算一步。2. 解动力平衡方程计算位移增量。初始内力按内力输入并不包含在动力方

7、程中。3. 使用位移增量利用数值积分方法计算。然后使用位移计算非线性铰的变形和恢复力。4. 为了判断非线性构件的内力状态使用滞回曲线，此时将铰的变形和初始内力考虑初始内力的结果进行修正：、。5. 使用修正的变形计算刚度和恢复力。6. 输出非线性铰的分析结果。7. 为了生成新的动力平衡方程，将变形和恢复力重新修正：、8. 生成新的动力平衡方程后重新回到步骤2重复上述步骤直到完成整个时间增量。(a) 初始内力在弹性范围内时 (b) 初始内力超过弹性范围时图2.9.1 对初始内力的处理方法9-1-4 非线性单元的初始刚度在动力弹塑性铰特性中定义非线性构件的初始刚度的方法有下列三种： 弹性：将弹性刚度

8、作为初始刚度，集中型铰的弯矩成分初始刚度有6EI/L、3EI/L、2EI/L三个选项。 用户：用户可直接输入非线性构件的初始刚度。 骨架曲线：按输入的屈服强度和屈服变形计算初始刚度。弹性和用户两个选项的(+)、(-)区域具有相同的初始刚度。骨架曲线因为对(+)、(-)区域输入不同的屈服变形，所以可以具有不同的初始刚度，在原点指向型、弹性双折线、弹性三折线、弹性四折线铰类型中(+)、(-)区域的初始刚度直接按输入的值取不同的值，对于其它铰类型程序分析中取(+)、(-)区域的初始刚度的较大值。 9-1-5 牛顿-拉普森法在非线性时程分析的各时间步骤中因为非线性单元的刚度和内力的变化将产生残余力(R

9、esidual Force)，非线性分析中需要通过迭代计算消除残余力直至满足分析的精度要求。1. 进行迭代计算时使用Newton- Raphson法迭代计算直至消除残余力。2. 不进行迭代计算时将残余力作为荷载作用到下一个时间步骤中如图2.9.2所示程序中使用完全牛顿-拉普森法进行迭代计算消除残余力。迭代计算的收敛条件使用位移范数、荷载范数、能量范数，用户可选择多个范数作为收敛条件。各范数的计算公式如下： 、其中， ：位移范数 ：荷载范数 ：能量范数 ：第n次迭代计算阶段的有效荷载向量 ：第n次迭代计算阶段的位移增量向量 ：第n次迭代计算阶段累计的位移增量向量当结构的非线性特性比较显著时，按用

10、户设定的最大迭代次数计算也有可能不能满足收敛条件，此时程序会重新回到初始状态细分时间步长重新分析。图2.9.2 牛顿-拉普森法9-2 非线性单元9-2-1 非线性梁单元梁单元公式使用了柔度法（flexibility method），在荷载作用下的变形和位移使用了小变形和平截面假定理论（欧拉贝努利梁理论，Euler Bernoulli Beam Theory），并假设扭矩和轴力、弯矩成分互相独立无关联。程序中可以考虑非线性梁单元的初始几何刚度矩阵的影响，但是不考虑几何刚度矩阵再分析过程中的变化。考虑初始几何刚度矩阵的方法是在荷载初始单元内力小位移初始荷载控制数据对话库中勾选考虑初始轴力对几何刚度

11、的影响选项。结构的非线性分析要计算构件屈服后的变形，如果使用基于刚度法的单元非线性分析时的变形形状会与形函数产生差异。基于柔度法的单元不仅对单元形状而且对单元内力也使用形函数，所以使用柔度法的单元构件的内力变化会与实际相吻合。柔度法中内力使用线性形函数，刚度的变化为抛物线形状，这与为获得线性变化的曲率使用三次方程形函数的刚度法相比，柔度法可以使用较少的单元获得较为精确的结果，并且可提高计算效率。如下图所示，非线性梁单元根据铰的位置分为集中型铰模型和分布型铰模型。 (a) 集中型铰模型 (b) 分布型铰模型图2.9.3 铰位置集中型铰模型用于模拟地震作用下梁两端产生铰的情况，弯矩铰和剪切铰位移位

12、于梁两端、轴力铰位于单元中央。弯矩铰的滞回曲线使用弯矩-旋转角关系曲线。 分布型铰是假设构件内有多个铰，然后对各位置是否进入弹塑性进行判断，对进入弹性塑性的铰更新铰的刚度，然后通过数值积分获得单元的刚度。分布型铰模型的滞回曲线使用截面的弯矩-曲率关系定义。 集中型铰相对于分布型铰具有计算量少的优点，但是如图2.9.4所示集中型铰需要事先假定铰的分布位置，当实际情况与假设情况不符时(如弯矩最大位置不是在假定位置)，计算结果有可能出错。另外集中型铰位于构件的两端，不能考虑非线性区域的扩展(只能通过分割单元后给很多单元分配铰实现)。分布型铰虽然计算量较大但是可以相对准确的反映铰的实际分布情况，因此可

13、以得到更准确的分析结果。 程序中规定在同一个单元内各位置的铰使用相同的铰特性。因此在程序中虽然对单元的i、j端可以指定不同的铰特性，程序内部也是取的平均值计算的。所以对于变截面构件适当分割后取平均截面模拟时，分析结果也不会有太大差异。集中型铰模型集中型铰模型(Lumped Type Hinge Model)是将没有塑性铰长度的平动或旋转方向的非线性弹簧连接到单元的两端的方法。梁单元中除了端部弹簧以外的其它位置均处于弹性状态。集中型铰的轴力成分铰位于构件中央，弯矩和剪力成分铰位于构件两端。图2.9.4 集中型铰模型定义铰特性值时，轴力铰使用轴力-位移关系定义，弯矩铰使用弯矩-旋转角关系定义。具有

14、集中型铰的梁柱单元的刚度矩阵可通过单元的柔度矩阵取逆获得。梁单元的柔度矩阵可使用铰的柔度矩阵和弹性梁的柔度矩阵相加而得。铰的柔度矩阵由用户定义的集中型铰的切线柔度矩阵和初始柔度矩阵的差计算，屈服前铰的柔度为零。铰的切线柔度矩阵可通过单轴或多轴滞回模型中获得(参见后面的说明)。其中，FH : 铰的切线柔度矩阵FH0 : 铰的初始柔度矩阵FS : 铰的柔度矩阵FB : 弹性梁的柔度矩阵F : 非线性梁柱单元的柔度矩阵K : 非线性梁柱单元的刚度矩阵图2.9.5 集中型铰的柔度弯矩铰的弯矩-旋转角的关系曲线不仅受端部弯矩的影响同时也受构件跨中的弯矩影响。因此为了准确定义弯矩铰的弯矩-旋转角关系需要事

15、先假设弯矩在构件的分布状态。图2.9.6是各种弯矩假设和对应的构件初始刚度。图2.9.6 各种弯曲变形对应的初始刚度(单元长度=L、截面抗弯刚度=EI)分布型铰模型分布型铰模型(Distributed Type Hinge Model)的柔度矩阵由沿单元轴向分布的积分点位置的柔度构成。分布型铰的柔度矩阵使用高斯-罗贝托(Gauss-Lobbato)积分方法计算 。积分点位置的柔度使用单轴或多轴滞回模型的状态决定。分布型铰模型的各铰可使用纤维模型模拟。铰的轴力成分使用力-应变关系定义，弯矩成分使用弯矩-曲率关系定义。 在此，f(x) : 在位置x处的截面的柔度矩阵b(x): 在位置x处的构件内力

16、分布函数矩阵F : 单元柔度矩阵K : 单元刚度矩阵L : 构件长度x: 截面的位置图2.9.7 分布型铰模型梁柱单元的弹塑性特性主要发生在构件端部，而高斯-勒让德(Gauss-Legendre)积分法无法将构件端部作为积分点，所以程序中使用了高斯-罗贝托(Gauss-Lobatto)积分法计算单元的柔度矩阵。积分点的数量意味着单元内的弹塑性铰的数量，可指定的数量为120个。如图2.9.8所示，积分点的位置与积分点的数量相关，离端部越近积分点的间距越小。因为高斯-罗贝托积分法无法处理两个积分点的情况，所以当积分点为两个时，程序内部使用了古典高斯积分法(Classical Gauss Integ

17、ration)构建了柔度矩阵。 分析结果的准确性与积分点的数量没有必然的联系，而积分点数量的增多会增加分析时间。经大量的分析比较当积分点的数量等于5个及以上时，分析结果的差异不大，所以一般可取5个积分点。.(a) 积分点数=1(b) 积分点数=2(c) 积分点数=3(d) 积分点数=4(e) 积分点=5(f) 积分点数=6图2.9.8 高斯-罗贝托积分法的积分点位置9-2-2 非线性一般连接单元一般连接单元(General Link)由沿单元坐标系三个平动方向和三个旋转方向的六个弹簧构成。程序中在定义一般连接单元的特性值时，在单元类型中选择“弹簧”类型后可定义弹簧的铰特性值。此时一般连接单元具

18、有各方向的弹性刚度，其弹簧的非线性特性由其铰特性值决定。非线性一般连接可以用于模拟结构的特定部位的塑性变形或者地基的塑性变形。因为一般连接没有具体的截面形状，因此需要用户直接输入各成分的刚度值，这些刚度值将作为非线性分析时的初始刚度。图2.9.9 一般连接单元的弹簧刚度9-2-3 非线性桁架单元非线性桁架单元只有轴向的刚度，因此仅具有轴向的非线性特性。单元的轴向刚度由单轴铰模型的滞回曲线的状态决定。非线性桁架单元与非线性梁柱单元一样可以考虑初始轴力对其几何刚度的影响，此时在初始单元内力中输入初始内力后在“初始内力控制数据”命令中勾选在几何刚度中考虑初始轴力的选项即可。动力弹塑性时程分析过程中将

19、不更新初始的几何刚度。图2.9.10 非线性桁架单元的轴向刚度9-3 非线性滞回模型简介结构受到地震作用这样的随机的往复荷载作用时，构件将产生裂缝和屈服，这些裂缝和屈服对结构的荷载-位移关系都会产生影响。构件的单向内力的荷载和变形的关系叫做骨架曲线，基于骨架曲线并考虑往复荷载作用下的卸载和加载时的荷载-位移关系称为滞回模型。动力弹塑性分析中一般使用滞回模型模拟构件的恢复力特性。因为滞回模型对非线性分析结果的影响较大，因此需要选择能够正确反映使用材料和构件的恢复力特性的滞回模型。下面表2.9.1中列出了程序中提供的滞回模型类型。9-3-1 非线性铰特性非线性铰特性分为集中型、分布型、弹簧型、桁架

20、型。 梁单元一般定义除扭转外的其它五个内力成分的非线性特性，一般连接单元可以定义六个内力成分的非线性特性，桁架单元只能定义轴向的非线性特性。根据各内力成分间的相互关系，滞回模型可分为单轴铰模型和多轴铰模型。表2.9.1 程序提供的滞回模型的类型分类滞回模型适用构件内力相关关系主要用途简化模型随动硬化三折线模型(Kinematic hardening/Trilinar)梁柱支撑P-M-M钢材标准双折线模型(Normal Bilinear)P-M钢材标准三折线模型(Normal Trilinear)P-M钢材指向原点三折线模型(Origin-oriented/Trilinar)P-M桥梁上部结构指

21、向极值点三折线模型(Peak-oriented/Trilinar)P-M桥梁上部结构指向原点极值点三折线模型(Origin Peak-oriented/Trilinear)P-M桥梁上部结构退化模型克拉夫双折线模型(Clough/Bilinear)P-M钢筋砼构件刚度退化三折线模型(Degrading Tri-linear)P-M武田三折线模型(Original Takeda Triliear)P-M武田四折线模型(Original Takeda Tetralinear)P-M修正武田三折线模型(Modified Takeda Trilinear)P-M修正武田四折线模型(Modified T

22、akeda Tetralinear)P-M非线性弹性模型弹性双折线模型(Elastic Bilinear)P-M桥梁上部结构弹性三折线模型(Elastic Trilinear)P-M弹性四折线模型(Elastic Tetralinear)P-M滑移模型滑移双折线模型(Slip Bilinear)P-M钢材、橡胶支座滑移双折线只受拉模型(Slip Bilinear/Tension)P-M滑移双折线只受压模型(Slip Bilinear/Compression)P-M滑移三折线模型(Slip Trilinear)P-M滑移三折线只受拉模型(Slip Trilinear/Tension)P-M滑移三

23、折线只受压模型(Slip Trilinear/Compression)P-M特殊模型Ramberg Osgood弹簧非线性地基(日文版模块)Hardin Drnevich弹簧9-3-2 梁单元的屈服强度铰的滞回模型由屈服强度和屈服后刚度折减率定义。单元的屈服强度可由用户直接输入也可以使用程序提供的自动计算的特性值。屈服标准参见图2.9.11，钢材截面的第一屈服的标准为最外侧纤维的弯曲应力达到钢材的屈服强度时，第二屈服强度的标准为全截面都达到钢材的屈服强度时；钢筋砼截面的第一屈服强度的标准为边缘砼纤维的弯曲应力达到砼抗拉强度时，第二屈服强度的标准为砼的受压端最外侧纤维达到砼抗压强度时，假设此时的

24、钢筋的应力不大于钢筋的屈服应力。钢管砼截面(方钢管、圆钢管)的屈服强度标准与钢材截面相同，型钢砼截面的屈服强度标准与钢筋砼截面相同。 考虑轴力和弯矩的相关作用时，需要考虑轴力变化引起的中和轴的变化带来的屈服面的变化，程序会自动考虑轴力的影响。 (a) 钢结构截面屈服强度标准示意图(b) 钢筋砼截面屈曲强度标准示意图图2.9.11 梁柱单元屈服强度标准示意图9-4 单轴滞回模型(Hysteresis Model for Uni-axial Hinge)单轴模型是指三个平动方向和三个旋转方向的内力成分相互独立。除了随动硬化模型不支持正负区域非对称特性外，其它单轴滞回模型均支持正负区域的特性值为非对

25、称。本文说明中的响应点(response point)为滞回模型路径上的荷载-变形坐标点，加载是指荷载的绝对值的增加，卸载是指荷载的绝对值的降低，重新加载是指卸载过程中加载方向变化且荷载的绝对值增加，卸载点指从加载变为卸载的响应点。钢筋混凝土构件混凝土发生裂缝、钢筋发生屈服时，其刚度会退化；另外在往复荷载作用时，截面屈服后卸载过程中刚度也会发生退化，且加载方向发生变化时，荷载-位移曲线具有指向过去发生的位移最大点的特性。钢筋混凝土构件的恢复力模型有很多，但考虑刚度退化和指向最大值的两个特性是必须考虑的。钢筋混凝土的滞回模型中最具代表性的是武田模型、克拉夫模型、刚度退化三折线模型。 钢材具有在某

26、个方向发生屈服后卸载且反向加载时，反向的屈服应力有降低的特性，同时正向的屈服应力会加大，这样的特性被称为包辛格效应(Bauschinger Effect)，当某个方向屈服强度提高的值和相反方向降低的值相等时，被称为理想包辛格效应；另外钢材还具有应力随应变增加而增加的特性，即应变硬化(Strain Hardening)特性。常用的钢材滞回模型有随动硬化型的标准双折线模型，也有可以使用标准三折线模型。 型钢混凝土的滞回模型使用武田模型的较多，也有使用在屈服点刚度会发生变化的随动硬化型标准双折线模型的，标准双折线模型不能考虑刚度退化。下面对各种滞回模型做简要说明。9-4-1 标准双折线型滞回模型概要

27、初始加载时的响应点沿着双折线的骨架曲线移动，卸载刚度使用弹性刚度，对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.12 标准双折线滞回模型定义骨架曲线滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数。标准双折线滞回模型的路径移动规则1. 时，为线弹性状态，沿着经过原点斜率为K0的直线移动 2. 变形D第一次超过D1(

28、+)时或者超过以往发生的最大变形时，沿第二条直线上移动。3. 在D1(+)D, DD1(-)区段内卸载时，遵循玛辛(Masing)准侧，以弹性刚度为斜率卸载，继续反向加载时到达第二条折线和卸载线的延长线的交点后，将沿第二条折线移动。9-4-2 随动硬化型滞回模型概要 初次加载时沿着三折线骨架曲线移动，卸载刚度使用弹性刚度，随着荷载的加大强度也加大，因此可以用于模拟钢材的包辛格效应(Bauschinger effect)。对于钢筋混凝土构件有可能夸大截面的耗能能力，使用时应注意。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数（随动硬化模型的正向和负向的刚度折减系数相同），适用于梁、柱、支撑构件。图

29、2.9.13 随动硬化型滞回模型定义骨架曲线滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数。随

30、动硬化型滞回模型1. 时按常规的双折线移动。 2. 时按三折线移动。 3. 卸载时遵循玛辛准则按弹性刚度为斜率卸载。 9-4-3 指向原点型滞回模型 概要初次加载时沿着三折线骨架曲线移动；第一屈服或第二屈服后卸载时，卸载路径指向原点；重新加载时，以卸载时的斜率移动。遇到骨架曲线时，重新沿着骨架曲线移动。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.14 指向原点型滞回模型定义骨架曲线 滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；

31、D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数。 9-4-4 指向极值点型滞回模型 概要初次加载时沿着三折线骨架曲线移动；第一屈服或第二屈服后卸载时，卸载路径指向反向的最大变形点；反向没有发生第一屈服时，第一屈服点为最大变形点；卸载后再加载时，以卸载时的斜率移动遇到骨架曲线

32、时重新沿着骨架曲线移动。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.15 指向极值点型滞回模型定义骨架曲线滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)

33、、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数。9-4-5 克拉夫型滞回模型概要初次加载时沿着双折线骨架曲线移动，屈服后卸载路径沿着退化后的斜率移动；当反向加载时，指向反向最大变形点；反向没有发生屈服时，屈服点为最大变形点。克拉夫模型中认为全截面处于开裂状态，截面的刚度由受拉钢筋的受弯屈服状态决定。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.16 克拉夫滞回模型定义骨架曲线滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；K0初始刚

34、度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；Kr(+)、Kr(-)正向和负向卸载时的刚度，其中，Dmax(+)、Dmax(-)：正向和负向的最大变形，没有屈服的区段使用最大变形；计算卸载刚度的幂阶。 克拉夫滞回模型的路径移动规则 1. 时沿斜率为的直线移动。2. 变形第一次超过时或者超过当前的最大变形点时，沿着斜率为、的第二折线移动。 3. 在、状态下卸载时，沿着卸载刚度、的斜率移动。4. 卸载过程中荷载的符号发生变化时，将沿着指向反向最大变形点的直线移动。 9-4-6 退化三折

35、线型滞回模型 概要骨架曲线为三折线，第一屈服后且第二屈服前沿双折线移动，第二屈服后随着变形的增加卸载刚度将逐渐减小。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.17 退化三折线型滞回模型 定义骨架曲线滞回模型的骨架曲线由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-

36、)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数。退化三折线型滞回模型 1. 时沿斜率为的直线移动。2. 变形第一次超过时或者超过当前的最大变形点时，沿着斜率为、的第二折线移动。 3. 在、状态下卸载时，沿着直线卸载，在第二屈服前沿着双折线移动。4. 第二屈服后卸载的刚度如下。 ,9-4-7 武田三折线型滞回模型概要武田模型是根据构件试验结果整理的恢复力模型，卸载刚度由卸载点在骨架曲线上的位置和反向是否发生了第一屈服决定。对正向和负向可定义不同的屈服后的刚度

37、折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.18 武田三折线模型定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正

38、向和负向第二屈服后刚度折减系数；计算卸载刚度的幂阶；内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减，。武田模型的路径移动规则 1. 时，为线弹性状态，沿着经过原点斜率为K0的直线移动(Rule:0)。2. 变形D初次超过D1()时，沿着第二条折线的斜率K2(+)、K2(-)移动(Rule:1)；在第二条折线移动时卸载，将沿着指向反向最大变形点移动，反向没有发生屈服时，反向第一屈服点为最大变形点(Rule:2)；在到达反向变形最大点之前重新加载时，将沿着相同的卸载直线移动(Rule:3)；当达到骨架曲线位置时，重新沿着斜率为K2(+)、K2(-)的骨架曲线移动(Rule:4)。3. 变形D初

39、次超过D2()时，沿着第三条折线的斜率K3(+)、K3(-)移动(Rule:13)；此时卸载时，将沿着斜率为Kr(+)、Kr(-)的直线移动(Rule:15)；反向为发生第一屈服前时斜率Kr()的范围为P1，超过P1时将向第二屈服点移动(Rule:17)。，其中，：计算卸载刚度的幂阶(=0.4，Default) 4. 超过恢复力为0的点时将向反向最大变形点移动(Rule:18)；在向反向最大变形点移动时卸载，则开始进入内环(Rule:20)；在内环中到恢复力为0的点之前按照斜率为Kun(-)、Kun(+)的直线卸载，超过恢复力为0的点后将向反向的之前卸载点移动(Rule:21)9-4-8 武田

40、四折线型滞回模型概要 武田四折线模型可以模拟强度退化，即第四条折线随着变形的加大强度将减小，其它特性可参考武田三折线模型。图2.9.19 武田四折线滞回模型定义骨架曲线滞回模型的特性由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2

41、(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数；计算卸载刚度的幂阶；内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减。 4(T武田四折线类型的路径移动规则1. 初次加载时沿着四折线骨架曲线移动。2. 变形超过前的移动路径与武田三折线相同。3. 变形超过后沿着斜率为、的直线移动。4. 在第四折线上卸载时的移动路径与武田三折线模型相同。9-4-9 修正武田三折线型滞回模型概要修正武田三折线模型对武田三折线模型的内环的卸载刚度计算方法做了修正。图2.9.20 修正武田滞回模型 定义骨架曲线滞回模型的特性值由下列参数决定。 P1(+

42、)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数；计算卸载刚度的幂阶；内环卸载刚度折减系数，用于对内环的卸载刚度进行折减。修正武田三折线模型

43、的路径移动规则1. 时，为线弹性状态，沿着经过原点斜率为K0的直线移动(Rule:0)。2. 变形D初次超过D1()时，沿着第二条折线的斜率K2(+)、K2(-)移动(Rule:1)；在第二条折线移动时卸载，将沿着指向反向最大变形点移动，反向没有发生屈服时，反向第一屈服点为最大变形点(Rule:2)；在到达反向最大变形点之前重新加载，将沿着相同的卸载直线移动(Rule:3)；当到达骨架曲线位置时，重新沿着斜率为K2(+)、K2(-)的骨架曲线移动(Rule:4)。3. 变形D初次超过D2()时，沿着第三条折线的斜率K3(+)、K3(-)移动(Rule:10)；此时卸载时，将沿着斜率为Kr(+)

44、、Kr(-)的直线移动(Rule:11)；反向没有发生过第二屈服时，反向的第二屈服点为最大变形点。其中， ：计算卸载刚度时的幂阶4. 超过恢复力为0的点时，将向反向最大变形点移动(Rule:14)；在向反向最大变形点移动时卸载，则开始进入内环(Rule:15)；在内环中到恢复力为0的点之前，沿斜率为Kun(-)、Kun(+)的直线卸载，超过恢复力为0的点后，将向反向的最大变形点移动(Rule:16)9-4-10 修正武田四折线型滞回模型概要修正武田四折线模型对武田四折线模型的内环时的卸载刚度计算方法做了修正，参见武田四折线模型和修正武田三折线模型。图2.9.21 修正武田四折线滞回模型定义骨架

45、曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数；计算卸载刚度的幂阶；内环卸载刚度折减系数

46、，用于对内环的卸载刚度进行折减。9-4-11 弹性双折线型滞回模型概要非线性弹性双折线模型的卸载、重新加载路径和加载路径相同，在滞回过程中基本上没有耗能能力。对正向和负向可定义不同的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.22 弹性双折线滞回模型定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数。 9-4-12 弹性三折线型滞回

47、模型概要非线性弹性三折线模型的卸载、重新加载路径和加载路径相同，在滞回过程中基本上没有耗能能力。对正向和负向可定义不同的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.23 弹性三折线滞回模型定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚

48、度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数。9-4-13 弹性四折线型滞回模型概要非线性弹性四折线模型的卸载、重新加载路径和加载路径相同，在滞回过程中基本上没有耗能能力。对正向和负向可定义不同的刚度折减系数，适用于梁、柱、支撑构件。图2.9.24 弹性四折线滞回模型 定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；P3(+)、P3(-)正向和负向的第三屈服强度；D1(+)、D1(-)

49、正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；D3(+)、D3(-)正向和负向的第三屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；K4(+)、K4(-)正向和负向的第四条折线的刚度，K4(+)=3(+)K0，K4(-)=3(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数；3(+)、3(-)正向和负向第三屈服后刚度折减系

50、数。弹性四折线滞回类型的路径移动规则 1. 加载、卸载、再加载的路径相同。2. 在第四折线段移动到恢复力为0的点时，将沿着变形轴移动，卸载时沿原路径返回。 9-4-14 滑移双折线型滞回模型概要滑移双折线的骨架曲线以及移动路径规则基本上与标准双折线相同，但是可以定义初始间隙。滑移模型仅用于模拟单轴铰模型中的轴力成分的非线性特性，一般是为了考虑支撑连接有滑动的情况。对正向和负向可定义不同的刚度折减系数和初始间隙，适用于梁、柱、支撑构件。(a) 滑移双折线滞回模型(b) 滑移双折线/只受压 (c) 滑移双折线/只受压图2.9.25 滑移双折线滞回模型定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数定义。

51、 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第一屈服后刚度折减系数；gap(+)、gap(-)正向和负向初始间隙。9-4-15 滑移三折线型滞回模型概要滑移三折线的骨架曲线以及移动路径规则基本上与标准三折线相同，但是可以定义初始间隙。滑移模型仅用于模拟单轴铰模型中的轴力成分的非线性特性，一般是为了考虑支撑连接有滑动的情况。对正向和负向可定义不同的刚度折减系数和初始间隙，适用于梁、柱、支撑构件。(a

52、) 滑移三折线 (b) 滑移三折线/只受拉 (c) 滑移三折线/只受压图2.9.26 滑移三折线滞回模型 定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数定义。 P1(+)、P1(-)正向和负向的第一屈服强度；P2(+)、P2(-)正向和负向的第二屈服强度；D1(+)、D1(-)正向和负向的第一屈服变形；D2(+)、D2(-)正向和负向的第二屈服变形；K0初始刚度；K2(+)、K2(-)正向和负向的第二条折线的刚度，K2(+)=1(+)K0，K2(-)=1(-)K0；K3(+)、K3(-)正向和负向的第三条折线的刚度，K3(+)=2(+)K0，K3(-)=2(-)K0；1(+)、1(-)正向和负向第

53、一屈服后刚度折减系数；2(+)、2(-)正向和负向第二屈服后刚度折减系数；gap(+)、gap(-)正向和负向初始间隙。9-4-16 兰贝格-奥斯古德(Ramberg-Osgood)滞回模型概要兰贝格-奥斯古德滞回模型原来是用于金属材料的非线性分析，滞回曲线遵循玛辛法则。模拟地基时的滞回曲线定义如下。骨架曲线： 滞回曲线：, 其中， : 剪切应变 : 剪切应力 : 剪切模量: 基准剪切应变, : 本构模型参数定义骨架曲线滞回曲线的非线性特性由下列参数决定。 ,: 初始刚度(剪切模量) : 基准应变 : 最大阻尼系数图2.9.27 兰贝格-奥斯古德滞回模型9-4-17 Hardin-Drnevi

54、ch滞回模型概要Hardin-Drnevich滞回模型主要用于计算土在地震作用下的等效静力应力-应变响应，骨架曲线形状为双曲线。骨架曲线：滞回曲线：(下降曲线)(上升曲线)其中， : 剪切应变 : 剪切应力 : 剪切模量 : 基准剪切应变 : 滞回曲线上的反向点 定义骨架曲线滞回模型的非线性特性由下列参数决定。 : 初始刚度(剪切模量): 基准应变图2.9.28 Hardin-Drnevich滞回模型 9-5 多轴铰模型(Hysteresis Model for Multi-axial Hinge)一般来说柱构件的轴力和两个方向的弯矩之间是相关的，虽然可以用实体单元模拟柱以反映柱的复杂的受力状

55、态，但是仿真分析的耗时较多。为了提高计算效率一般采用多轴铰模型多轴铰模型来模拟柱的非线性状态。多轴铰模型不仅可以像单轴铰模型那样分别定义各方向的非线性特性，还可以考虑轴力和弯矩以及两个弯矩之间的相关性。程序中提供的多轴铰模型有纤维模型(Fiber Model)和多轴滞回模型。 纤维模型(Fiber Model)纤维模型是按梁单元建模后将梁截面分割为多个纤维，通过纤维的非线性特性来模拟构件的非线性特性的分析方法。对于较大的模型如果所有构件都采用纤维模型时分析时间会很长，为了提高分析效率建议用户仅对重要部位的重要构件采用纤维模型。 多轴铰滞回模型多轴铰滞回模型的轴力和两个方向的弯矩内力相关，两个方

56、向的弯矩之间也可以内力相关。因为多轴铰模型相对于纤维模型的计算效率要高，所以一般用于较大模型的动力弹塑性分析中。程序中提供纤维模型和随动硬化型多轴铰模型。 9-5-1 随动硬化特性多轴铰类型使用的具有随动硬化特性的滞回模型，在随动硬化特性中假定卸载刚度与弹性刚度相同，且两个屈服面（第一和第二屈服面）的位置可以移动，但是其形状和大小没有变化。铰状态和柔度矩阵是由加载点（荷载大小）在屈服面的位置决定的。当荷载点在图2.9.29中的第一屈服面内部时表示处于弹性状态，继续加载荷载到达第一屈服面时，意味着处于第一屈服状态，到达第二屈服面时，表示处于第二屈服状态。(a) 弹性状态 (b) 开裂后状态 (c) 屈服后状态 (d) 卸载图2.9.29 屈服面的移动和刚度变化 铰的柔度矩阵由一个弹性弹簧和两个非线性弹簧(两个屈服面)的柔度组成，初期加载时只有弹性柔度，加载点到达各屈服面时才会激活相关非线性弹簧的柔度。第N次屈服时的柔度矩阵公式如下：其中，i当前荷载点所在的屈服面的阶数(第一或第二)； Fs铰的切线柔度矩阵； a(i)第i屈服面的加载点位置的法线向量；kn,(i)第n个成分的第i个弹簧的刚度(i=0时表示为弹性刚度)；rn,(i)第n个