六年级金牌奥数培优-第5讲：立体几何综合

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1、第五讲几何-一立体部分教学目标：对于小学几何而言， 立体图形的表面积和体积计算 ，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.知识点拨：、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.）长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：So体 2（ab bc ca）;长方体的体积：V长方体abc .正方体是各棱相等的长方体 ，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.如果它的棱长为

2、a,那么：量方体6a2, Me方体 a .、圆柱与圆锥立体图形表面积体积hL rV圆柱S圆柱侧面积2个底向租 2 7rh 2 /V圆柱2hA / h jFXr 一 圆锥二一二S圆锥侧面积底面积 Tt22360注：l是母线，即从顶点到底面圆上的线段长12V圆锥体一口h3例题精讲：【例1】 如右图，在一个长为10的立方体上截取一个长为 8,宽为3, 高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10 10 6 600.【例2】 右图是一个边长为 4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下 各面的中心位置才g去一个边

3、长l厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米 ？（图中只画出了前面、 右面、 上面挖去的正方体）【解析】原正方体的表面积是 4 4 6 96 （平方厘米）.每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了 5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分.总的来看，每一个面都增加了 4个边长是1厘米的正方形.从而，它的表面积是： 96 4 6 120平方厘米.5厘米的小正方体，问剩下【巩固】在一个棱长为 50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为的立体图形的表面积是多少?【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑.变化前后的表面积不

4、变：50 50 6 15000（平方厘米）.【例3】下图是一个棱长为 2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞1 一接着在小侗的底面正中向下挖一个棱长为-厘米的正万形小2洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为-厘米，那么最4后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】我们仍然从 3个方向考虑.平行于上下表面的各面面积之和：1 4 1（平方厘米），这个立体图2 2 2 8（平方厘米）；左右方向、前后方向：2 2 4 16 （平方厘米），114 4（平方厘米），11 4 1（平方厘米），1224形的表面积为：8 16 4 11291（平方厘米）.44【例4】一

5、个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成 2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块,共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少?2增加的面数.锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数原正方体表面积：1 1 6 6 （平方米），一共锯了（2 1）（3 1） （4 1）6次, 6 1 1 2 6 18 （平方米）.2 cm【巩固】（2008年走美六年级初赛）一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积 增加到原来

6、的3倍，即表面积的和为 56 3 168(cm2).【例5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少?25块积木【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小。设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个 3 3 3的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2块小 积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为 54.例6要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当b 2h时，如何打包？当b 2h时,如何打包？当b 2h时,如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，

7、侧面面积正面周长 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图 2的正面周长是 8h 6b,图3的周长是12h 4b。两者的周长之差为 2 (b 2h)。当b 2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b 2h时，按图2打包；当b 2h时，按图3打包。【巩固】【解析】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？考虑所有的包装方法，因为 6 12 3,所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1 1 6拼接,重叠面有三种选择，共 3种包装方法。第二种按长宽高1 2 3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6

8、种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例71如图，在一个棱长为 5分米的正方体上放一个棱长为 4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积.【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面。这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两 部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面.上下方向：5 5 2 50（平方分米）侧面：5 5 4 100（平方分米），4 4 4 64 （平方分米）.这个立体图形的表面积为：50 10

9、0 64 214 （平方分米）.【例8】（2008年“希望杯”五年级第 2试）如图，棱长分别为 1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体 紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是 平方厘米.【解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：（12 22 32 52） 6 39 6 234 （平方厘米），222222222.重叠部分的面积为：13 （22 1 ） （3 21 ） （3 21 ） 3 9 14 14 40 （平方厘米）,所以,所得到的多面体的表面积为：234 40 194（平方厘米）.（法2）三视图法.从前后面观察到的面积为52 32 22 38平方厘米，从左右两个面观察到的面积为52 3

10、2 34平方厘米，从上下能观察到的面积为52 25平方厘米.表面积为 38 34 25 2 194 （平方厘米）.例9把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形。，求这个立体图形的表面积.2个上从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示.因此，这个立体图形的表面积为: 面2个左面2个前面.上表面的面积为： 9平方厘米，左表面的面积为： 8平方厘米，前表面的面积(9 8 10) 2 54(平方厘米).为:10平方厘米.因此，这个立体图形的总表面积为:上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析

11、】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成.该图形的表面积等于（9 7 7） 2 46个小正方形的面积，所以该图形表面积为 46平方厘米.【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色.求被涂成 红色的表面积.【解析】4 4 （1 2 3 4） 4 56 （平方米）.【例11棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是 1厘米的小正方体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12,此时m的最小值是多少？【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有m3个，由于其中至少有一面是红色的小

12、正方体与没有红色面的个3数之比为13:12，而13 12 25,所以小正万体的总数是25的倍数，即m是25的倍数，那么m是5的倍数当 m 5 时，要使得至少有一面的小正方体有65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色,此时至少一面涂红色的小正方体有5 5 5 4 2 65个，表面没有红色的小正方体有125 65 60个，个数比恰好是13:12 ，符合题意。因此， m 的最小值是512】 有 64 个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体, 其中 34 个为白色的 , 30 个为黑色的现将它们拼成一个 4 4 4 的大正方体, 在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？要 使大正方体的

13、表面上白色部分最多,相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来3在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有（4 2）8 （个 ） ，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 （4 2）2 6 24 （个），其中30 8 22个用黑色这样，在表面的 4 4 6 96 个 1 1 的正方形中，有22 个是黑色， 96 22 74（个）是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是74 平方厘米13】 三 个完全一样的长方体， 棱长总和是288 厘米， 每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数 ,给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面,一个涂三面涂色

14、后把三个长方体都切成棱长为 1 厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？每个长方体的棱长和是288 3 96厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96 4 24 厘米因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是 9 厘米、 8 厘米、 7 厘米要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少所以，涂一面的长方体应涂一个8 7 面，有 8 7 56个；涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个8 7 面，有 8 7 2 112 个；若两面相邻，应涂一个8 7面和一个

15、9 7面，此时有7 8 9 2105个，所以涂两面的最少有105 个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻,应涂两个8 7 面、一个 9 7 面，有 7 8 8 9 4147个；若三面两两相邻， 有 7 18 17 19 18 19 1146个， 所以涂三面的最少有146 个那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56 105 146 307个14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后,分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上【解析】【例15】红色的小正方体恰好是 100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？设小正方体的棱长为1,考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高

16、中有一个是 1的情况，另 一种是长方体的长、宽、高都大于 1的情况.当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些.因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100 a b ,那么分成的小正方体个数为a 2 b 21ab 2ab 42ab 104，为了使小正方体的个数尽量少，应使 a b最小, 而两数之积一定，差越小积越小，所以当 a b 10时它们的和最小，此时共有10 210 2144个小正方体.当长方体的长、宽、高都大于 1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小

17、正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是100 4 2 3 31.由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令31 2 2 27,此时共有 2 2 27 108个小正方体.因为108 144,所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体.把正方体的六个表面都划分成 9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有 公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个 ？【解析】一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）.因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对,所以至多有两个面可以染成 5个红色方格.

18、日三殳其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）.因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格.最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）.所以，红色方格最多有 5 2 4 2 2 2 22（个）,（另解）事实上上述的解法并不严密，如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明 22是红色方格数的最大值.对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半

19、的格子可以染成红 色.但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地 方： 如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有 8个方格染成红色.如图，阴影部分是首尾相接由 9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色（如 果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两 两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格），像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色.剩下6 3 3 8 3 9

20、2 12个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色.综上所述，能被染成红色的方格最多能有 8 8 6 22个格子能染成红色，第一种解法中已经给出 22个 红方格的染色方法，所以 22个格子染成红色是最多的情况.【例16】一个长、宽、高分别为 21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方 体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下 一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长。由于21:15:12 7:5: 4,为了方便起见。我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4

21、厘米的长方体。因为7 5 4 ,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求。第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是应是：21 15 12 123 93 63 1107 （立方厘米）。【例17】有黑白两种颜色的正方体积木 ，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块?【解析】分层来看，如下图（切面平行于纸面）共有黑色积木17块.【巩固】这个图形，是否能够由1 1 2的长方体搭构而成？【解析】每一个1

22、1 2的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块,白色积木有15块，所以该图形不能够由1 1 2的长方体搭构而成。【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字）2的立方体相邻（见先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着左下图）.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1（见下图）.上面的9个数之和是27,由对称性知,上面、前面、右面的所有数之和都是27.同理，下面的9个数(27 45) 3 216 .之和是

23、45,下面、左面、后面的所有数之和都是45.所以六个面上所有数之和是【例18】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5 5 5的立方体，在一个方向上开有 1 1 5的孔，在 另一个方向上开有 2 1 5的孔，在第三个方向上开有 3 1 5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积 为多少？Kl K xz X X 【解析】求体积:开了 3 1 5的孔，挖去3 1 5 15,开了 1 1 5的孔,挖去1 1 5 1 4;开了 2 1 5的孔，挖去 2 1 5 （2 2） 6 ,剩余部分的体积是：5 5 5 （15 4 6） 100 .（另解）将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图:

24、得到总体积为：22 4 12 100.求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分.外部的表面积为5 5 6 12 138,内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为2 2 5 1 5 1 2 1 3 20、2 1 5 3 5 1 3 132、2 151511214 ,所以总的表面积为138 20 32 14 204.（另解）运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：401122111212222112111221112111212221I21111211112111222222.22222.222211211总表面积为2

25、 32 30 40204 .【总结】“切片法”：全面打洞（例如本题，五层一样），挖块成线（例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖），这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考 ！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分.请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层

26、的体积或小正方体数目，最后再把它们相加.采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分.从图中可以看出，第 1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有 22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22 11 11 6 22 72（个）小正方体.【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5 5 25个，由侧面图形抽出的小正方体有5 5 25个，由底面图形抽出的小正方体有4 5

27、20个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1 2 2 1 2 2 8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有1 3 2 2 7个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有121122 7个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个.根据容斥原理，25 25 20 8 7 7 4 52,所以共抽出了 52个小正方体.125 52 73,所以右图中剩下的小正方体有 73个.注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事.但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”这里，化虚为实的思想方法很重要.解法二：（用“切片法”来解）可以从上到下切

28、五层，得：从上到下五层，如图：或者，从右到左五片，如图:请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向.比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即一如果挖第二层：第（1）步,把中间这些位置的四块挖走如图：第（2）步，把从右向左的两块成线地挖走.（请注意挖通的效果就是成线挖去 ），如图:第（3）步，把从前向后的一块（请注意跟第二层有关的只是一块！）挖成线！如图【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边 长为的2倍，（10）是同样的等腰直角三角形，（11）是正方形.那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的 倍.【

29、解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图:其中左图是以为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以 （11）为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是（11）,四个侧面是，两个斜面是.对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分.由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套.对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到（如下左图，切去ABDAi、CBDG、DiACQ、

30、BACiB）；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去 2个角后得到（如下右图，切去BACBi、DACDi）.BC假设左图中的立方体的棱长为a，右图中的立方体的棱长为b,则以为平面展开图的立体图形的体积为： a3 - a2 a -23/1 34 3a，以(10)(11)为平面展开图的立体图形的体积为 b3 lb2 b 1 2 -b3 . 233由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形(11)的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是 正三角形的边长，通过将等腰直角三角形分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即b 2a.那么以为平面展开图的立体

31、图形的体积与以(11)为平面展开图的立体图形的体积.13231323的比为：-a :b -a :- 2a 1:16，也就是说以为平面展开图的立体图形的体积3333是以为平面展开图的立体图形体积的 16倍.【例20】图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同. 请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？图图【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图:对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面, 那么可以

32、从这个模型入手.我们把图中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图与图的图形位置的微妙关60和图3 一致!图由图可见，图这个立体的体积与图这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等.111111 1 - 1 2，所以切掉8个角后的体积是, -12 2 2 2 3 48假设立方体的1条边的长度是1,那么一个角的体积是 - 85486再看图中的正四面体，这个正四面体的棱长与图中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为的立方体来套.如果把图的立体图形放入边长为-的立方体里的话是可以放进去的. 2这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为二，所以图的体积48是：1 11工4 1，

33、那么前者的体积是后者的-20倍.2 224824624【例21如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米？（兀取3.14）【解析】从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为2 3.14 1,52 14.13 （立方米），侧面积为2 3.14 （0.5 1 1,5） 1 18.84 （立方米），所以该物体的表面积是 14,13 18.84 32.97（立方米）.【例22】有一个圆柱体的零件，高 10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直 径是4厘米，孔深5厘米（见右图）.如果将这个零件接触空气的部分涂

34、上防锈漆，那么一共要涂多 少平方厘米？【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为6 26兀10 兀（一）2 4兀5 60兀18兀20兀98兀307.72 （平万厘米）. 2【例23（第四届希望杯2试试题）圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为 么这个圆柱体的体积是 立方厘米.（结果用兀表示）10厘米和12厘米的长方形，那【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为 兀（10）2 122兀300兀（立方厘米）当圆柱的高是12厘米时体积为兀（）2 10 360 （立方厘米）.所以圆柱体的体积为 2兀兀3004乂方厘米或兀360 、五万厘米.【例24】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分

35、，刚好能做成一个油桶 （接头处忽略不计），求这个油桶的容积.（汽3.14）【解析】圆的直径为：16.56 1 3.144（米），而油桶的高为2个直径长，即为：4 2 8（m）,故体积为100.48立方米.【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（汽3.14）【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2支10 62.8 （厘米），原来的长方形的面积为：（10 4 62.8） （10 2） 2

36、056 （平方厘米）.【例25】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面 积减少12.56平方厘米.原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 2 6.28厘米,底面半径为6.28 3.14 2 1厘米，所以原来的圆柱体的体积是兀12 8 8兀25.12（立方厘米）.【例26】一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是2厘米.将它的底面平均分成若干个扇形后，再截 开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积

37、增加了多少平方厘米？（支3.14）【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积.（法1）这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径.可知，圆柱体的高为 50.24 3.14 22 4（厘米），所以增加的表面积为 2 4 2 16（平方厘米）；（法2）根据长方体的体积公式推导.增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积.由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3

38、.14 2 6.28厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.28 8平方厘米，所以增加的表面积为8 2 16平方厘米.【例27】（2008年“希望杯五年级第2 i一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图），由图中的数据可推知瓶子的容积是 立方厘米.（兀取3.14）（单位：厘米）【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的4 2容积为： 兀（-）（6 2） 3.14 32 100.48 （立万厘米）. 2【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括

39、瓶颈），如图.已知它的容积为 26.4汽立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米.问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【解析】由题意，液体的体积是不变的， 瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3 、.6 2 3倍.所以酒精的体积为26.4兀 62.172立万厘米，而62.172立万厘米 62.172毫升3 10.062172升.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，（如下图所示），请你根据图中标明的由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为5 2cm,从而水与空着的部分的比为4:2 2:1 ,由【例

40、28】图1知水的体积为10 4,所以总的容积为一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为402 1 60立方厘米.5厘米，深20厘米，水深15厘米.今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米?若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为:22_5一詈一17 17.72（厘米）.它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中.于是所求的水深便是17.72厘米.【例29】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 溢.问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米10厘

41、米、20厘米，杯中盛有适量的水.甲杯中沉没着2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外两个圆柱直径的比是1:2,所以底面面积的比是1:4.铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的1r一1一，一,即 2 0.5 （厘米）.44【例30】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的-,乙容器中水的高度是锥高的 _2，比较甲、 33乙两容器，哪一只容器中盛的水多 ？多的是少的的几倍?设圆锥容器的底面半径为r ,高为h,则甲、乙容器中水面半径均为V容器V乙水82121/ 2、2 h , V 甲水 irh 兀(r)813331981VV乙水1981“h81

42、19 、一 . 一 、一.一 、一 .,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的819尸倍.8【例31】（2008年仁华考题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米.208兀一兀一100 8400兀22缠绕在一起时塑料薄膜的体积为:（立方厘米），薄膜展开后为个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400 n 0.04 659400平方厘米 65.94平方米.另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积.由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为兀220

43、22-84兀（平方厘米），展开后为一个2所以展开后薄膜的面积为 6594 100 659400长方形，宽为0.04厘米，所以长为84支0.04 6594厘米,平方厘米 65.94平方米.【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸， 纸卷直径为20厘米，中间有一直径为 6厘米的卷轴.已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长?【解析】将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽.这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积.因此，纸的长度纸卷侧面积纸的厚度一2 一 ，3.14 103.14 30.043.14 100 90.047143.5 （厘米）所以，这卷纸展开

44、后大约 71.4米.【例32如图，ABC是直角三角形， AB、AC的长分别是3和4.将 ABC绕AC旋转一周，求 ABC扫出的立体图形的体积.（ 式3.14）【解析】如右上图所示，ABC扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为1_ 2_ _体积为：兀34 12兀37.68.3【例33】已知直角三角形的三条边长分别为3cm, 4cm, 5cm ,分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？（兀取3.14）【解析】以3cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4 cm ,高是3cm的圆锥体，体积为123-3.14 4 3 50.24 （cm ）以4 cm的边为轴旋转

45、周所得到的是底面半径是3 cm ,高是4 cm的圆锥体，体积为1_2_ _33.14 3 4 37.68(cm )33 4 5 2.4 cm的两个圆锥，高之和是以5 cm的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高1235 cm的两个圆的组合体，体积为 -3.14 2.45 30.144 (cm )如图，直角三角形如果以 BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 16n，以AC边为轴旋转周，那么所形成的圆锥的体积为12支，那么如果以 AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？设BC a, AC b,那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为 生，以AC边为轴旋转一周， 32那

46、么所形成的圆锥的体积为包油此可得到两条等式：3ab48b4a32,两条等式相除得到 -4,将这条比例式再代入原来的方程中就能得到，根据勾股a b36a3b4定理，直角三角形的斜边AB的长度为5,那么斜边上的高为 2.4.底面半径为2.4,如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起,2 42 开 5高的和为5,所以体积是5 9.6兀.3【例34】如图，ABCD是矩形，BC 6cm, AB 10cm,对角线 AC、BD相交O . E、F分别是 AD与BC 的中点，图中的阴影部分以 EF为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ （兀取3）【解析】扫

47、出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形.A ._, 八，一一一、一19、.两个圆锥的体积之和为 2 -兀3 5 30兀90（立万厘米）;3圆柱的体积为 兀32 10 270 （立方厘米），所以白色部分扫出的体积为270 90 180（立方厘米）.（2006年第H届华杯赛决赛试题 ）如图，ABCD是矩形，BC 6cm, AB 10cm,对角线AC、BD 相交O .图中的阴影部分以 CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V,则V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥，减去2个高为5厘米

48、，底面半径是3厘米的圆锥的体积后得到. ,121所以，V 兀6 10 2 332兀35 90兀（立万厘米），那么阴影部分扫出的立体的体积是2V 180n540（立方厘米）.【例35】（人大附中分班考试题目）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体边长为 10厘米，侧面上的洞口是边长为 4厘米的正方形上下底面的洞口是直径为 4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积.先求表面积.表面积可分为外侧表面积和内侧表面积.外侧为6个边长10厘米的正方形挖去 4个边长4厘米的正方形及 2个直径4厘米的圆，所以，外侧2表面积为：10 10 6 4 4

49、 4 兀2 2 536 8 % （平万厘米）；内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：4 3 16 2 4 4 n 222 支 2 3 2 192 32 8 n 24 n 224 16 武平方厘米），所以，总表面积为：224 16n536 8n760 8n785.12 （平方厘米）.再求体积.计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原 立方体的体积减去这个体积即可.2挖出的几何体体积为：4 4 3 4 4 4 4 兀2 3 2 192 64 24兀256 24兀（立

50、万厘米）；所求几何体体积为:10 10 10256 24兀668.64 （立方厘米）.加归课后练习练习1.（小学生数学报邀请赛）从一个棱长为高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少?10厘米的正方形木块中挖去一个长（写出符合要求的全部答案）10厘米、宽2厘米、按图1所示沿一条棱挖，为 592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为 632平方厘米;按图3所示在某面上斜着挖，为 648平方厘米;按图4所示挖通两个对面，为 672平方厘米.练习2. 一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm.酒瓶的容积是多少？（兀取3）【解析】302

51、5当酒瓶倒过来时酒深25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高 5cm的圆柱，再加上原来 15cm高的酒即为酒瓶的容积.酒的体积:15兀瓶中剩余空间的体积10 10(30 25)兀 22125兀酒瓶容积：375兀125兀500兀1500（ml）观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变.练习3.如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米,要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是 12 22 42 21平方米，从上面观察到的面积是 42 16平方米，由于下面不涂油

52、漆，所以涂刷油漆的面积是 21 4 16 100平方米.练习4.（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分.已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2 ,则这个圆柱体木棒的侧面积是 cm2.（兀取3.14）第2题【解析】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面.设圆柱体底面半径为r ,高为h,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大:2 2rh 2008(cm2),所以r h 502(cm2),所以，圆柱体侧面积为:_. 2、（纸卷得很紧，没有空隙），它的外直径是180厘2 71rh 2 3.14 502

53、 3152.56(cm2).练习5.如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱米，内直径是50厘米.这卷铜版纸的总长是多少米?【解析】卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2180712250一、一， ，一 ，一一 一 一5 507475兀（平方厘米），如果将其展开，展开后2横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米（即0.025厘米），所以长为7475 n 0.025 938860厘米 9388.6米.所以这卷铜版纸的总长是9388.6米.本题也可设空心圆柱的高为 h,根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h在计算过程将会消掉.月测备选【备选1】如右图，一个正方体形状的木块

54、，棱长 l米，沿水平方向将它锯成 3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体 60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？【解析】我们知道每切一刀 多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.现在一共切了（3 1） （4 1）（5 1） 9刀，而原正方体一个面的面积 1 l 1（平方米），所以表面积增加了 9 2 1 18（平方米）.原来正方体的表面积为 6 1 6 （平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6 18= 24（平方米）.【备选2】一个透明的封1盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12厘米.其内有一些水，正放时水面离容

55、器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(汽3)【解析】设圆锥的高为x厘米.由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有:25 兀 611 x2126 6 % 6 x,斛得 x 9 ,3所以容器的容积为：V212兀6 12 - 兀6 9 540兀1620 （立万厘米）. 3【备选3】如图，有一个边长为 方体后，表面积变为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【解析】大立方体的表面积是 20 20 6 2400平方厘米.在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3个面，但里面又多出3个面；在

56、棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面;在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1个面，但里面多出 5个面.所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多 出了 6个面，可以计算出每个面的面积：(2454 2400) 6 9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米.【备选4】一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短4厘米，表面积就减少 50.24平方厘米.求这个圆柱体的表面积是多少?【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形.高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米.阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24 4 12.56 （厘米），侧面积是：12.56 12.56 157.7536（平方厘米），两个底面积是：23.14 12.56 3.14 22 25.12 （平方厘米）.所以表面积为：157.7536 25.12 182.8736 （平方厘米）.50升，水面高度是圆锥高度的一半，这【备选5】（2009年“希望杯 一试六年级）如图，圆锥形容器中装有水个容器最多能装水 升.【解析】圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的 8倍，即50 8 400升.