第三章叙述统计量

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1、第三章敘述統計量1. 某地區的牛奶經銷站負責人為了要瞭解牛奶在此地區銷售的遠景，特別觀察最近 50 天的銷售記錄，其銷售量如下：23、60、79、32、 57、 74、52、 69、 81、 33、71、77、81、95、40、65、91、 81、 60、55、 53、 76、 15、75、88、26、91、81、67、56、 42、 73、84、 55、 65、 72、89、60、43、96、 35 、 67、 18、 82、 69、 74、 62、 83、 86、 64試求 (1) 平均數， (2) 中位數， (3) 眾數， (4) 變異係數。50xi解： (1)平均數 xi 1= 322

2、3/ 50= 64.4650(2) 先將上表作排序，如下表15 18 23 26 32 33 35 40 42 4352 53 55 55 56 57 60 60 60 6264 65 65 67 67 69 69 71 72 7374 74 75 76 77 79 81 81 81 8182 83 84 86 88 89 91 91 95 96因全部 50 項，所以中間兩個數值的平均數為中位數，即第 50/ 2= 25 項與 50/2+1=26 項兩個位置之數值的平均數為中位數。而中位數Me= (67+ 69)/ 2= 68(3)求眾數由上表發現81 出現次數最多，即知81 為眾數。(4)

3、先求標準差利用未分組標準差之公式( xix)2xi2(xi )2 / nsn 1=n=20.7231變異係數. .s100%=20.723C Vx100% 32.15%64.46精品文档你我共享2. 有 75 位選手參加某次高爾夫球比賽，成績(桿數 ) 如下：桿數666768697071727374人數361322168241試求 (1) 平均數， (2) 中位數， (3) 眾數， (4) 變異係數，(5) 全距， (6) 標準差。解：(1) 平均數66367668136922701671872273474175= 5200/ 75= 69.33(2) 中位數因全部 75 項，所以中間數值即為

4、中位數，即第 (75+1)/ 2= 38 項，由表可知 69 為中位數。(3)眾數由表發現69 出現次數最多，即知69 為眾數。(4)變異係數 cv100% = 1.47100% 2.12%69.33(5) 全距 R=74- 66= 8(6) 標準差= 1 N(xi)2 fi = 1 3( 66 69.33) 2. (74 69.33) 2N i 175= 1.473. 某商學院企管系甲班有女生35 人且知統計學期末考平均成績為86 分，標準差7 分，而男生有16 人其統計學期末考平均成績為82 分，標準差為8 分，試求全班之平均成績及標準差。解：由題意知：x女 =86， s女 =7； x男

5、=82， S男 =8腹有诗书气自华由標準差公式sxi2nx 2xi2(n1)s2nx 2n172+35 862 =260526所以可知xi2女(n女1)s女2n女 x女2 =34x2男(n男1)s男2n男 x男2=1582+16822 =108544i全班之平均成績xn女x女n男x男35 86 1682n女n男5184.75全班成績之標準差s(260526108544)51(84.75) 250=7.434. 有 26 個銷售量如下：97888211585908896869798778195416592855576521064757825試求全距、四分位距、第一四分位數Q1、第二四分位數Q2

6、、第三四分位數 Q3 。解：先將資料由小到大排序10 25 41 52 55 64 65 75 76 77 78 81 82 85 85 86 88 88 90 9295 96 97 97 98 115(1) 全距為 115-10= 105(2) 四分位距為 105 26.25 4(3)第一四分位數的所在位置為1 266.5 ，不為整數，故取第74個位置的數值，即 Q1 = 65。(4)第二四分位數即中位數的所在位置為113 ，為整數，故262取第 13 與第 14 個位置的數值之平均，即Q2 =82 85 = 83.5。2精品文档你我共享(5) 第三四分位數的所在位置為32619 5，不為整

7、數，故取第4.20 個位置的數值，即Q3=92 。5. 全班 50 人參加考試成績是鐘型分佈，平均分數72 分，標準差 8分試問：(1)全班約有多少人不及格？(2)全班約有多少人超過90 分？(3)有一位學生成績 75分請問他排前幾名？解：x 72 ， s= 8(1)P( X 60)P( X726072 )P(Z1.5)0.066888500.0668= 3.34 ，所以約有3 個人不及格。(2)P( X 90)P( X729072 )P(Z2.25)0.012288500.0122=0.61 ，所以沒有人超過90 分。(3)P( X 75)P( X727572 )P(Z0.375)0.353

8、8588500.35385=17.6925 ，所以為第18 名。6. 有一次數分配表如下：組別次數30.25-30.75430.75-31.25231.25-31.75832.25-32.752433.25-33.751434.25-34.75634.75-35.252試求 (1) 平均數， (2) 中位數， (3) 眾數， (4) 標準差， (5) 變異係數，腹有诗书气自华(6) 偏態係數。解：組別組界組中點 (xi )次數 (fi )f i xifi xi2130.25-30.7530.541223721230.75-31.25312621922331.25-31.7531.5825279

9、38432.25-32.7532.52478025350533.25-33.7533.51446915711.5634.25-34.7534.562077141.5734.75-35.25352702450總計nf if i xifi xi2= 60= 1962= 64234(1)f i xi1962。平均數 x32.7n60(2)總次數 n= 60 ，故中位數位置在第60/ 2= 30 項，而第 30 項落於第 4組 (32.25-32.75) 。所以利用分組後之中位數公式得：nn130142中位數Me Lh =32.25+0.5 =32.58 。24f(3) 由次數分配表知，眾數組在32.

10、25-32.75 這一組中 (組次數 24為最多 )，此時利用分組後眾數之公式：金氏插補法：Mo Lmof 1hmo =32.25+140.5 =32.568f 1f 1814克如伯比率法：精品文档你我共享MoLmof0f 124 80.5 =32.5582 f0f 1hmo =32.25+f 1224814皮爾生法： xMo3( xMe )首先必須先求出此次數分配的平均數及中位數，由(1) 可知中位數 Me=32.58 且利用分組後的求法得出平均數 xfixi196232.7n60Mo= x3( xMe )32.73( 32.732.58 ) = 32.34(4)s4(30.532.7) 2

11、. 2(3532.7)2591.139(5)cvs100%1.139 100% 3.483%x32.7(6)偏態係數 Sk3( xMe )3( 32.732.58 )s0.3161.1397. 某高中期末考，某班學生50 人，數學科平均成績為76 分，標準差 7 分；英文科平均成績為80 分，標準差為8.5 分。試比較該班級在數學科與英文科兩科目上的成績表現。解：數學及格人數的比例P(XM60)X M766076P(Z2.286)0.989P()77英文及格人數的比例P(X E60)X E806080P( Z2.353)0.991 ，由 此P()8.58.5可知英文及格人數比例較多，成績較佳。

12、8. 某商學院國貿系甲、乙、丙三個班級的經濟學平均成績分別為73.5分、 75 分、 72.2 分，而甲班人數 42 人、乙班人數 45 人、丙班人數 47 人，試求全部學生的總平均成績。腹有诗书气自华解：4273.545754772.242454773.5489. 最近一項電信特考共有 1000 人報考，要錄取的平均分數為 175 分，而投考人分數標準差90 人，已知投考人11 分，現有一位投考人分數是220 分，請問他是否可以考上。解：設 T 表可考上的最低分數P( ZT 175)900.09 P( Z 1.34 )111000T1751.3411T=189.74， 220189.74 ，

13、故可考上。10. 設某一觀察值的Z 值為 2，標準差為22，且此觀測值為32，請問該組資料的平均數為何？32x12解： 2x2211. 試述何謂變異係數，並敘述其統計意義。解：全距、四分位差、平均絕對差及標準差都帶有與原始資料相同的單位，這些都是所謂的絕對分散度之衡量統計量，僅能表示一組統計資料的分散情形，但如果要比較兩組或兩組以上單位不同或雖然單位相同但其性質差異甚大的統計資料，單用絕對分散度之衡量統計量不能判斷其分散程度到底哪一個大、哪一個小。這時需要用相對分散度之衡量統計量來作比較。所謂的相對分散度之衡量統計量即絕對分散度之衡量統計量與某一中央趨勢之衡量統計量或其它適當數量之比，常以百分

14、比表示，精品文档你我共享且它與原來的單位無關。一般最常用的相對分散度之衡量統計量是變異係數，通常以 cv 表示，變異係數乃標準差與平均數比值的百分數，即：變異係數（ coefficient of variance）或 cvs 100% 。cv100%x12. 簡述平均數、中位數、眾數之意義及應用上之差異。解： (1) 平均數 未分組資料的平均數各個資料數值總和除以資料的項數即平均數。令x1.x2 . xn 為任何統計資料的n 個數值， x 為平均數，則xx1 x2xnxinn 已分組資料的平均數f1 x1f 2 x2f k xkfi xif i xixf 2fkf inf 1其中 xi 為各組

15、組中點，f i 為各組次數。(2) 中位數 未分組資料的中位數若資料項數為奇數，其中間位置即n1的數值為中位數；若2資料項數為偶數，則中間兩個數值的平均數為中位數，即n 與2n1兩個位置之數值的平均數為中位數。2 已分組資料的中位數nn12Me Lh -(4)f腹有诗书气自华nn22或Me Uh -(5)f在以上二式中Me =中位數L =中位數所在組之下限f =中位數所在組之次數h =中位數所在組之組距n1 =小於 L 各組之次數和U =中位數所在組之上限n2 =大於 U 各組之次數和n =總次數(3) 眾數 未分組資料的眾數在未分組的統計資料中尋找眾數可先依數值大小排列，其中出現次數最多的數

16、值即為眾數；若某一數值在全部統計資料中佔最大比例時，不必將資料排列也可找到眾數。 已分組資料的眾數在一次數分配表內，眾數應在次數最多的一組中，這一組通常被稱為眾數組 (Mode class)。眾數組的組中點即為眾數，這是最簡單求得眾數的方法。但眾數組的組中點會隨著組距及組界之變動而變動，非常不確定。眾數是次數曲線最高峰下面一點的數值。因此，如果能確知最高峰的位置就能確定眾數，但配合的曲線不一定能符合事實。又若資料呈對稱分配，眾數組的組中點即為眾數；若資料的分配呈偏態，則眾數組的組中點就不一定是眾數，所以求得的眾數也不能說是真正的眾數。求分組資料之眾數的方法很多，一般最常見的有以下三種計算公式：

17、(1) 金氏 (W.I. King) 插補法(2) 克如伯 (E. Czuber) 比率法(3) 皮爾生 (K. Pearson) 法精品文档你我共享若論應用上之差異：前面介紹的中央趨勢之衡量統計量有平均數、中位數、眾數。這些統計量都各有其不同的優缺點，因此在選用時，必須考量所用的測量尺度及用途。以測量尺度來看：中央趨勢之 類別資料 順序資料 等距資料 比率資料衡量統計量平均數不適用不適用適用適用中位數不適用適用適用適用眾數適用適用適用適用13. 簡述全距、四分位差、平均絕對差之意義及應用上之差異。解： (1) 全距全距為測量分散度之最簡單的方法，計算容易、意義明顯。日常生活中用全距的例子很多

18、，例如，每日氣象報告中均可看到最高溫和最低溫；股價指數行情中也有最高價和最低價；尤其工廠品質管制最常應用全距作管制圖。但全距的缺點為易受極端值影響，未能考慮到全部資料的變動情形，很多時候是資料的全距相同，但中間部分數值差異很大，因此用全距來衡量資料分散程度的結果並不可靠，它也會受抽樣以及樣本大小不同的影響，使用時必須考量資料本身的性質。(2) 四分位差若將統計資料中數值特別大或特別小的去掉，只剩下中間部分的數值來測定分散度，就可以更正全距的缺點，其中最簡單常用的便是四分位差。四分位差是把資料去掉兩端最大值及最小值各 25%的觀察值只剩中間部分 50%的觀察值，再求這 50% 資料的全距。通常先

19、算出第一四分位數和第三四分位數。第三四分位數和第一四分位數的差即所謂的四分位距，通常以符號 IQR ；而四分位距的一半則為四分位差，通腹有诗书气自华常以符號QD 表示QDQ3Q12其中，Q1 為第一四分位數(First Quartile)Q3 為第三四分位數(Third Quartile)(3) 平均絕對差平均絕對差是簡單的分散度之衡量統計量，通常以MAD示，與全距和四分位差不同的是它將統計資料中每一個數值都考慮在內，受極端值的影響又比較小，所以在樣本數不多時，常用平均絕對差來測定資料的分散情況。平均絕對差為一組統計資料各數值與某一中央趨勢之衡量統計量( 通常為平均數或中表位數 )差之絕對值的

20、平均數。由於在計算平均絕對差時討論的是各數值與某一中央趨勢之衡量統計量的距離，不計正負號，因此牽扯到絕對值的計算使得公式的演算變得較為複雜。14. 試說明形狀之衡量統計量的種類及其意義。解：形狀之衡量統計量是衡量一組資料是否對稱，資料分佈形狀峰度有多高等的問題。最常用的是偏態係數及峰態係數。(1) 偏態係數所謂偏態 (skewness)係指次數分配形態不對稱的程度。在對稱分配的統計資料中眾數、平均數與中位數在同一點上；次數分配如有偏斜則眾數、平均數及中位數分離。若次數分配向右偏斜則眾數、平均數及中位數之間的關係是：x Me Mo ；若次數分配向左偏斜則它們之間的關係是：x Me Mo 。次數分

21、配的偏斜度愈大，三個中央趨勢之衡量統計量分離的愈遠。 偏態係數 (coefficient of skewness)3( xMe )Sks精品文档你我共享其中， x 是樣本平均數，Me 是中位數， s 是樣本標準差。(2) 峰度係數次數分配的高峰有高而狹，有低而闊等等，這種高峰的形態叫做峰度。在次數分配中有一種特殊的次數分配叫做常態分配 (Normal distribution) ，而常態分配的高峰叫做常態峰(Mesokurtic) ，若次數分配中較常態峰高而狹者叫做高狹峰(Leptokurtic) ，較常態峰低而闊者叫做低闊峰(Platkurtic) 。峰度是指次數分配的高峰之高聳程度。判斷一

22、組統計資料次數分配峰度的高低常以常態峰為標準。峰度雖為次數分配的特性之一，但用途不多，加上計算繁複，一般只要知道有此形狀之衡量統計量即可。峰度係數的定義為：(一般以 CK 或 ck 表示峰度係數 )峰度係數( xi) 4N ，母體：CK4(xix) 4樣本：ckn4s15. 謝比雪夫不等式與經驗法則在應用上有何差異，用途為何？解： 謝比雪夫定理與經驗法則之比較區間謝比雪夫定理經驗法則( xs, xs)至少 0%約 68%( x2s, x2s)至少 75%約95%( x3s, x3s)至少 89%約99.7% Chebyshev 定理只能讓我們得到一個限制，它是多少比例以上或多少比例以下，但它可

23、適用於任何資料分配。 經驗法則可較具體告訴我們約有多少比例的訊息，但它的限制條件便是只適用於常態分配或者近似於常態分配也可以。腹有诗书气自华16. 試說明共變異數與相關係數間之意義與關係。解： (1) 若 cov(X, Y) 0，則 r XY0 ，表變數 X，Y 具正線性相關。(2) 若 cov(X, Y) 0，則 rXY0 ，表變數X， Y 具負線性相關。(3) 若 cov(X, Y) 0，則 rXY0 ，表變數X， Y 不具線性相關。其中， cov(X, Y) 的值在 (- , )之間，故無法從數值大小判斷其相關程度；相關係數的值在 -1,1 之間，故由 rXY 的大小及正負可知 X， Y

24、 相關程度的大小及方向。17. 以下是一份教育年數 (X)與月薪 (Y)間之調查數據，試計算其共變異數 cov(X,Y)與樣本相關係數r XY 。i教育年數 xi (年 )月薪 yi ( 千元 )11125212333112241541581861028711328122491753101126解：精品文档你我共享xyxyx2y2112527512162512333961441089112224212148415416152251681818144643241028280100784113235212110241224288144576175390128928091126286121676總和

25、 1183023779145010072cov(X,Y)( xix )( yi y)n11xiyin 1xi yin1(118)(302)377910923.933( xix)2( xi )22sx21xi21(118)14506.4n 1nn1910腹有诗书气自华sy2( yiy) 21yi2(yi ) 2n1nn1105.733r =cov( X ,Y )23.933=23.933= 0.92 出师表=6.4 105.733(2.5298)(10.2827)sx sy两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先

26、帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰 “能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，

27、未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。1(3100729精品文档你我共享臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。腹有诗书气自华