简述数学期望的性质和应用

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1、.编号：XX师范学院2012届毕业生毕业论文设计题 目： 简述数学期望的性质及其应用完 成 人： xxx班 级： 2008-01学 制： 4年 专 业：数学与应用数学 指导 xxx 完成日期： 2012-03-31 目录摘要关键词 0引言 1 数学期望的定义2 数学期望的性质2.1一维随机变量数学期望的性质2.2多维随机变量数学期望的性质3数学期望的应用3.1数学期望在农业中的应用3.2数学期望在生活中的应用3.3数学期望在经济中的应用3.4数学期望在数学中的应用参考文献 Abstract.简述数学期望的性质及其应用作 者：xxx指导xxx摘要：在概率论及数理统计中,数学期望是随机变量最重要的

2、数字特征之一,许多随机变量的分布都与他的期望有关,文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活.关键词：随机变量；风险概率；数学期望0引言概率论同其他数学分支一样,是在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广泛应用于各个领域,已成为一棵参天大树,枝繁叶茂,硕果累累.人类认识到随即现象的存在是很早的,从太古时代起,估计各种可能性就一直是人类的一件要事.早在古希腊,哲学家就已经注意到必然性和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词

3、语辞海；即使提到数学家记事日程上的可考记载,也至少可推到中世纪.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念,当时研究的概率问题大多于赌博有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟,明白了数学期望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要指导意义的问题,加深对数学期望的性质及其应用的理解,对于学生学习数学期望具有启发意义,结合生活实际和当今金融社会动荡不安的情形,运用数学期望的性质综合分析,解决问题.1数学期望的定义数学期望是最基本的数学特征之一,它反映随即变量平均取值的大小,又称期望或均值,随即变量可分为连续型随即变量和离散型随即变量,其定义如下：广义定义：一次随机抽样中

4、所期望的某随机变量的取值. 数学定义：设为随机变量,其分布函数为,若,则记,并称为的数学期望.2数学期望的性质2.1一维随机变量数学期望的性质性质：设随机变量有数学期望,则=+,均为常数的数学期望是=+,特别当=0时有=,即常数的数学期望就是他自己本身. 例均匀分布 设随机变量的密度函数为试求与.解=.= 故 性质：设唯一随机变量,则及存在且证 由R-S积分的性质,利用熟知得不等式有 故E存在.另一方面： =最后由即得. 性质：设随机变量的分布函数为,方差存在,则的方差特别当=0则有=0.证 由性质1得=性质：函数=,R,当= 时达到最小值.例 设与相互独立,且都服从求解 有对称性,得 = =

5、性质：若=0,则以概率为1地等于它的数学期望,即= =1.2.2多维随机变量数学期望的性质 性质：数学期望具有单调性.性质：设n维随机变量的数学期望存在,则有1线性性质：对任意常数有2若相互独立,则证 1由R-S积分的性质得 =2仅证n=2并设为连续性的情形.设及为及的密度函数,按性质71,并有的独立性,有 性质：设为常数,为随机变量,且则1其中特别,若相互独立,则=0当,且2施瓦兹不等式3数学期望的应用 3.1数学期望在农业中的应用 案列1 某农场种植某种蔬菜,根据以往经验,这种蔬菜的市场需求量Xt服从500,800上的均匀分布.每售出一t此种蔬菜,农场可获利2.0万元；若销售不出去,则农场

6、每吨亏损0.5万元.问该农场应该生产这种蔬菜多少吨才能使平均收益最大？解析：该农场种植此种蔬菜m t,则有500m800,设Y为在生产m t蔬菜条件下的收益额万元,则收益额Y和蔬菜需求量X的函数关系为Y=fX.有所设条件知,当Xm时,则此m t蔬菜全部售出,获利2.0 m；当Xm时,则售出X,获利2.0 X,还有m-Xt卖不出去,获利-0.5m-X,因此共获利2.5X-0.5m,故有：由定理可得： =根据极值定理,易知当m=740 t时,能使E 达到最大值,即该农场生产此种蔬菜740 t. 案列2 某农产拟投资2个项目：生产西红柿和辣椒,其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好,中,差三个

7、等级,根据市场调查研究,其发生的概率分别为0.3,0.5,0.2,生产西红柿的收益X万元分别为12,7,-4时,对应的P值分别为0.3,0.5,0.2；生产辣椒的收益Y万元分别为9,5,-2时,对应的P值分别为0.3,0.5,0.2.该农场是生产西红柿还是生产辣椒好呢?解析：先考察数学期望万元万元 从数学期望来看,生产西红柿收益大,比生产辣椒多收益1.5万元.再考察它们各自的方差于标准差. 因为方差于标准差越大,收益的波动越大,从而风险也越大.因此,从方差于标准差来看,种植辣椒较稳妥,减少风险约32,但少收入1.5万元.若农场的负责人敢于冒险,就选择种西红柿,成功后可以增加收益1.5万元.3.

8、2数学期望在生活中的应用 求职决策问题 设想某大学生甲在求职过程中收到了三个公司的面试结果,如果按照面试时间的顺序来划分,我们将其标记为A公司,B公司,C公司.假定这三个公司每个公司有三种不同的职位：极好,好及一般.估计能得到这些职位的概率为0.2,0.3,0.4,被拒绝的可能性为0.1,按规定,双方在面试后要立即作出决定提供,接受或是拒接某种职位,那么应该遵循什么策略应答呢？三家公司的工资承诺如下表：我们的方案是采取最大期望收益最大原则. 按照面试顺序的规则来看,我们先从A公司开始面试,这样甲在面试A公司时必然会权衡考虑B,C公司的机会和待遇.同样道理,在选择面试B公司时自然也会考虑C公司的

9、机会和待遇.通过三个公司机会和待遇的横向和纵向比较,从而选择一个效益最大化的公司.一般来说,从第三次的面试期望值来看,也就是从C公司来看,其工资的期望值表现为：2700元.而B公司的职位工资是2500元,这样经过横向比较,往往会选择去C公司.而第二次面试的期望值可有以下数据求出：极好的职位工资3900元,好的职位工资2950元,接受第三次面试期望工资2700.所以在最后考虑A公司时,只有极好的职位工资超过3015元,甲才会接受. 这样,对于三次面试应采取的策略是：A公司只接受极好的职位,否则去B公司,在B公司可接受极好的和好的职位,否则去C公司,在C公司可接受任何可能提供的职位.在这一策略下甲

10、工资总的期望值为元.因此,当我们在求职时如果得到多份面试时,应该进行横向纵向的衡量比较,遵循效益期望最大化原则,从而提高决策的满意度和期望值. 风险投资问题 假设这样的情形：一个人想用10万元进行一年的短期投资.常见的做法往往是进行购买股票和存入银行.股票的收益要取决于经济的运行趋势,如果经济运行较好则获利较多,运行一般则获利中等,运行不好则要损失许多.当时如果存入银行,假定年利率为5,则利息为5000元.我们假定经济运行情况的良好,中等,较差的概率为20,40,10,那么我们该选择哪种方案才能获得利益最大呢? 我们可以看出,如果在经济运行良好的情况下,显然购买股票时最划算的.但如果经济运行较

11、差的话,存入银行有比较合适.然而,在现实情况中,我们无法估计这种不确定性,就要估计二者直接的获利期望大小.通过二者期望值的综合比较,发现购买股票的获利收益更大,因此,选择购买购买股票这一方案更为合适. 彩票概率问题 我们首先假设福利彩票每张为2元钱,每张彩票对应一个中奖号码,每售出一百万张设置一个开组奖项.中奖号码为一个6位数可以认为从000000到999999中的每一个数出现的可能性相同,兑奖股则如下：如果兑奖号码与中奖号码的最后一位是一致的,则获六等奖,奖励为4元钱中奖概率为0.1,以此类推,如果最后两位一致,则获五等奖,奖励为20元中奖概率为0.01,最后三位如果一致,则获四等奖,奖励为

12、200元中奖概率为0.001,最后四位一致,则获三等奖,奖励为2000元中奖概率为0.0001,接着后五位相同,则获二等奖,奖励为20000元中奖概率为0.00001,同时规定,奖项不叠加,只取最高奖励,那么每张彩票的平均所得应该是多少？ 我们可以算出,彩民对每张彩票的期望值为：元.而同样我们也可以算出一个开组奖项在得到200万元的销售中,其中140万元作为奖励返还为彩民,但是剩余的60万元却作为剩余所得用于福利事业等其他费用的支出,实际而言,就是将多数人的钱以一种概率的形式转移给某些少数人.因此,我们可以看出,谁中奖虽然是随机的,但是彩票得期望所得却是可以预算出来的,这也是彩票事业生存下来的

13、条件和原因.3.3数学期望在经济中的应用 保险公司获利问题 一年中一个家庭万元被盗的概率是0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者需缴纳保险费100元,若在一年内,万元以上财产被盗,保险公司赔偿a元,试问a如何确定,才能是保险公司期望获利？ 解析：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况,设表示保险公司对任一参保家庭的收益,则的取值为100或100-a,其分布为根据题意, =100-0.01a解得,又,所以时保险公司才能期望获利. 机器故障问题 一部机器一天内发生故障的概率是0.2,机器发生故障则全天停工,如果一周5个工作日均无故障,工厂可获利润10万元,发生一次故障可获利5万

14、元,发生两次故障不获利也不亏损,而发生三次或三次以上的故障,则要亏损2万元,求这个工厂每周的期望利润. 解：以表示一周内机器发生故障的天数,则是n=5的二次分布B5,0.2,以表示工厂一周内所获利润,则的概率分布为：故工厂一周的期望利润是5.216万元. 进货问题 设某种商品每周的需求是取从区间上均匀分布的随机变量,经销商进货量为区间中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利5000元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元.若供不应求,则可以外部调剂供应,此时一单位商品可多获利300元.为使商品所获利润期望不少于9280元,试确定进货量.解：设进货量为a,则利润为期望利润为以题意

15、有：解得：故利润期望值不少于9280元的最少进货量为21单位.3.4数学期望在数学上的应用 例 向上抛一颗制造均匀对称的骰子,当它落地时,其向上的表面出现的点数是一个随机变量,求E. 解：随机变量可能取值为1,2,3,4,5,6的概率分布为 = 从以上内容我们可以看出,生活中的方方面面都有着概率的影子,小到天气预报,大到火箭升天,并且随着农业产业化和现代化的发展,农业生产对数学的依赖会越来越密切,保险业,金融业的风险预测更适于概率论休戚相关,在理性决策中多运用概率论可以让我们的生活更明智.参 考 文 献1 XX大学,概率论及数理统计M.高等教育出版社,2009：213-235.2 赵舜仁,一个

16、数学期望性质的推广J.XX建筑工程学院学报,1997,04：86.3 studa20,开发学生数学潜能优化学生数学能力结构J.中国教育资源网,2006,11,27：201.4 陈洪波 谭桂艳,高中数学教师新课改下的新角色J.维普中文期刊,2012,02,14：196.5 侯文 高洋,有关数学期望计算的一个典型错误J.高等数学研究,2011,03：10.6 张志强,随机置换的有关概率问题J.通信学报,2006,27：18.7 王妍,概率统计在实际问题中的应用举例J.中国传媒大学学报自然科学版,2010,24：28.8 张慧,条件概率与条件数学期望及其在期权定价中的应用J.XX师范大学学报,200

17、9,02：69.9 徐丽君,浅谈数学期望的计算与应用J.XX学院学报,2005,06：108.10 姚仲明,条件数学期望与随机变量独立性的一个冲要条件J.计算机教与学,2007,03：23.Brief mathematical expectation Properties and ApplicationsZhai Zhong-liangAbstract：In the theory of probability and mathematical statistics,Mathematical expectation is random variable of the most important

18、 one of digital features,Many of the random variables and the expectations of his distribution related, the article analyzes the mathematical expectation in daily life application, such as job decision making problems, investment, the lottery, etc, so as to constantly motivating students to learn mathematics the enthusiasm and initiative, get them interested in learning to explore, and applied to life, let math changes life.Key words：Random variable, Probability; Mathematical expectation.