多元微积分知识点总结

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1、.一、多元函数的微分学二元函数的定义 设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中,任取一组数值时,第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应,那末变量z称为变量x与y的二元函数。 记作：z=f. 其中x与y称为自变量,函数z也叫做因变量,自变量x与y的变域D称为函数的定义域。 关于二元函数的定义域的问题 我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域。 如果一个区域D中任意两

2、点之间的距离都不超过某一常数M,则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示： 例题：求的定义域. 解答：该函数的定义域为：x,y0.二元函数的几何表示 把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标,先在xOy平面内作出函数z=f的定义域D；再过D域中得任一点M作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与对应的函数值z； 当M点在D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f的几何图形.它通常是一张曲面, 其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。二元函数的极限及其连续性 在一元函数中,我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f我们同样可以学习

3、当自变量x与y趋向于有限值与时,函数z的变化状态。 在平面xOy上,趋向的方式可以时多种多样的,因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点以任意方式趋向点时,f总是趋向于一个确定的常数A, 那末就称A是二元函数f当时的极限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用-语言给出二重极限的严格定义：二重极限的定义 如果定义于的某一去心邻域的一个二元函数f跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数,无论怎样小,相应的必有另一个正数,凡是满足 的一切都使不等式 成立, 那末常数A称为函数f当时的二重极限。 正像一元函数的极限一样,二重极限也有类似的运算法则：二重极限的运算法则 如果当x,y时

4、,fA,gB. 那末：fgAB； ：f.gA.B； ：f/gA/B；其中B0 像一元函数一样,我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：二元函数的连续性 如果当点趋向点时,函数f的二重极限等于f在点处的函数值f,那末称函数f在点处连续.如果f在区域D的每一点都连续,那末称它在区域D连续。 如果函数z=f在不满足连续的定义,那末我们就称是f的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似,但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂,它除了有间断点,还有间断线。 二元连续函数的和,差,积,商分母不为零和复合函数仍是连续函数。 例题：求下面函数的间断线 解答：x=0与

5、y=0都是函数的间断线。偏导数 在一元函数中,我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的变化率。然而,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多.在xOy平面内,当变点由沿不同方向变化时,函数f的变化快慢一般说来时不同的,因此就需要研究f在点处沿不同方向的变化率。 在这里我们只学习沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f的变化率。偏导数的定义 设有二元函数z=f,点是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量x,相应地函数z=f有增量 xz=f-f. 如果xz与x之比当x0时的极限 存在, 那末此极限值称为函数z=f在处对x的偏导数。 记作：fx或 关于对x的偏导

6、数的问题 函数z=f在处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f在x0处的导数 同样,把x固定在x0,让y有增量y,如果极限 存在, 那末此极限称为函数z=在处对y的偏导数. 记作fy或偏导数的求法 当函数z=f在的两个偏导数fx与fy都存在时, 我们称f在处可导。如果函数f在域D的每一点均可导, 那末称函数f在域D可导。 此时,对应于域D的每一点,必有一个对x的偏导数,因而在域D确定了一个新的二元函数, 称为f对x的偏导函数。简称偏导数。 例题：求z=x2siny的偏导数 解答：把y看作常量对x求导数,得 把x看作常量对y求导数,得 注意：二元函数偏导数的定义和求法可

7、以推广到三元和三元以上函数。 例题：求的偏导数。 解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。 把y和z看成常量对x求导,得. 把x和z看成常量对y求导,得. 把x和y看成常量对z求导,得.高阶偏导数 如果二元函数z=f的偏导数fx与fy仍然可导, 那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f的二阶偏导数。 二元函数的二阶偏导数有四个：fxx,fxy,fyx,fyy. 注意：fxy与fyx的区别在于：前者是先对x求偏导,然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当fxy与fyx都连续时,求导的结果于求导的先后次序无关。 例题：求函数的二阶偏导数. 解答：,全微分 我们已经学习了一

8、元函数的微分的概念了,现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量,从而把微分的概念推广到多元函数。 这里我们以二元函数为例。全微分的定义 函数z=f的两个偏导数fx,fy分别与自变量的增量x,y乘积之和 fxx+fyy 若该表达式与函数的全增量z之差, 当0时,是 的高阶无穷小, 那末该表达式称为函数z=f在处的全微分。 记作：dz=fxx+fyy 注意：其中z=fxx+fyy+, 注意：在找函数相应的全增量时,为了使z与偏导数发生关系,我们把由变到的过程分为两部：先由点变到点,再变到点.其过程如下图所示： 例题：求的全微分 解答：由于, 所以关于全微分的问题 如果偏导数fx,fy连续,

9、那末z=f一定可微。多元复合函数的求导法 在一元函数中,我们已经知道,复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用,对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式 链导公式： 设均在处可导,函数z=F在对应的处有连续的一阶偏导数, 那末,复合函数在处可导,且有链导公式： 例题：求函数的一阶偏导数 解答：令 由于 而 由链导公式可得： 其中 上述公式可以推广到多元,在此不详述。 一个多元复合函数,其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中,项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。全导数 由二元

10、函数z=f和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数. 这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数. 此时的链导公式为: 例题：设z=u2v,u=cosx,v=sinx,求 解答：由全导数的链导公式得： 将u=cosx,v=sinx代入上式,得： 关于全导数的问题 全导数实际上是一元函数的导数,只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。多元函数的极值 在一元函数中我们看到,利用函数的导数可以求得函数的极值,从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题,这里我们只学习二元函数的极值问题。二元函数极值的定义 如果在的某一去心邻域内的一切点恒有等式： ff 成立,那末就称函

11、数f在点处取得极大值f；如果恒有等式： ff 成立,那末就称函数f在点处取得极小值f. 极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点称为极值点. 二元可导函数在取得极值的条件是：. 注意：此条件只是取得极值的必要条件。 凡是使的点称为函数f的驻点.可导函数的极值点必为驻点,但驻点却不一定是极值点。二元函数极值判定的方法 设z=f在的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果,那末函数f在取得极值的条件如下表所示：=B2-ACf0A0时取极大值A0时取极小值0非极值=0不定 其中 例题：求的极值。 解答：设,则 ,. . 解方程组,得驻点,. 对于驻点有,故 B2-AC=2-6.6=-270,A=60 因

12、此,在点取得极小值f=-1. 对于驻点有,故 B2-AC=2-0.0=90 因此,在点不取得极值.多元函数的最大、最小值问题 我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤,对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下： a：根据实际问题建立函数关系,确定其定义域； b：求出驻点； c：结合实际意义判定最大、最小值. 例题：在平面3x+4y-z=26上求一点,使它与坐标原点的距离最短。 解答：a：先建立函数关系,确定定义域 求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方 最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4

13、y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系: ,-x+,-y+ b：求驻点 解得唯一驻点x=3,y=4.由于点P在所给平面上,故可知 z=-1 c：结合实际意义判定最大、最小值 由问题的实际意义可知,原点与平面距离的最小值是客观存在的,且这个最小值就是极小值.而函数 仅有唯一的驻点.所以,平面上与原点距离最短的点为P. 从上例我们可以看出,上面函数关系也可看成是：求三元函数 , 在约束条件 3x+4y-z=26 下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。二、多元函数的积分学二重积分的定义 设z=f为有界闭区域上的有界函数： 把区域任意划分成n个子域k=1,2,3,n

14、,其面积记作kk=1,2,3,n； 在每一个子域上任取一点,作乘积； 把所有这些乘积相加,即作出和数 记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n且d0时的极限存在,那末称此极限为函数f在区域上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量,函数f称为被积函数,fd称为被积表达式,称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f0的限.容易看出,当f0时,二重积分在几何上就是以z=f为曲顶,以为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数f在积分区域上连续,那末二重积分必定存在。二重积分的性质 .被积函数中的常数

15、因子可以提到二重积分符号外面去. .有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. .如果把积分区域分成两个子域与,即=+,那末: .如果在上有fg,那末: .设f在闭域上连续,则在上至少存在一点,使 其中是区域的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量,对y进行积分,然后在对x进行积分,或者是先把y看成常量,对x进行积分,然后在对y进行积分。为此我们有积分公式,如下： 或 在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？ 累次积分上下限的确定方法 我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域内任意一点作平行于y轴的直线

16、,且此直线交的边界不超过两点,那末称为沿y轴方向的正规区域.如果即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末就称为正规区域.下图所示的即为正规区域: 关于累次积分上下限的取法如下所述: .如果为沿y轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是的下部边界曲线所对应的函数y1,积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2.对x的积分下限与上限分别是的最左与最右点的横坐标a与b. .如果为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是的左部边界曲线所对应的函数x1,积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2.对y的积分下限与上限分别是的

17、最低与最高点的横坐标c与d. .如果为正规区域,那末累次积分可以交换积分次序。 .如果既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分. 例题：求二重积分,其中是由所围成的区域。 解答：因为是正规区域,所以我们可先对y后对x积分,也可先对x后对y积分。这里我们采用前者 先对y后对x积分： 极坐标系中的计算法 如果二重积分的被积函数和积分区域的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式. 如果极点O在的外部,区域用不等式表示为R1R2,则积分公

18、式如下: 如果极点O在的内部,区域的边界方程为=R,02,则积分公式如下: 如果极点O在的边界上,边界方程为=R,12,则积分公式如下: 有了上面这些公式,一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数,我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可,反之依然。 注：直角坐标与极坐标的转换公式为： 例题：求,其中是圆环a2x2+y2b2 解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式,显然,这个二重积分化为极坐标计算比较方便。 把,d=dd代入,即可转化为极坐标系的积分形式。如下： 在对其进行累次积分计算： 三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数,它的积分域是平面区域.如果考虑

19、三元函数f在一空间区域上的积分,就可得到三重积分的概念。三重积分的概念 设函数u=f在空间有界闭区域任意划分成n个子域,它们的体积分别记作Vk.在每一个子域上任取一点,并作和数 如果不论Vk怎样划分,点怎样选取,当n+而且最大的子域直径0时,这个和数的极限都存在,那末此极限就称为函数在域上的三重积分,记作： 即： 如果f在域上连续,那末此三重积分一定存在。 对于三重积分没有直观的几何意义,但它却有着各种不同的物理意义。直角坐标系中三重积分的计算方法 这里我们直接给出三重积分的计算公式,具体它是怎样得来的,请大家参照有关书籍。 直角坐标系中三重积分的计算公式为： 此公式是把一个三重积分转化为一个

20、定积分与一个二重积分的问题,根据我们前面所学的结论即可求出。 例题：求,其中是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域. 解答：把I化为先对z积分,再对y和x积分的累次积分,那末应把投影到xOy平面上,求出投影域,它就是 平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域. 我们为了确定出对z积分限,在固定点,通过此点作一条平行于z的直线,它与上下边界的交 点的竖坐标：z=0与z=1-x-y,这就是对z积分的下限与上限,于是由积分公式得： 其中为平面区域：x0,y0,x+y1,如下图红色阴影部分所示： 再把域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分,得： 柱面坐标系

21、中三重积分的计算法 我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。 平面上点P可以用极坐标来确定,因此空间中的点P可用数组来表示.显然,空间的点P与数组之间的对应关系是一一对应关系,数组称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为： 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为： =常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族, =常数：通过z轴的半平面族, z =常数：与z轴垂直的平面族. 因此,每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点,由于利用了圆柱面,所以称为柱面坐标。 柱面坐标系下三重积分的计算公式为： 三 曲线积分与曲面积分3.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲

22、线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点处的线密度为m. 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n小段,Ds1,Ds2,Dsn;任取Dsi, 得第i小段质量的近似值mDsi; 整个物质曲线的质量近似为; 令l=maxDs1,Ds2,Dsn0, 则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为Dsi,又为第i个小段上任意取定的一点,作乘积fDsi,并作和,如果当各小弧段的长度的最大值l0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f在

23、曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f叫做被积函数,L叫做积分弧段. 设函数f定义在可求长度的曲线L上,并且有界. 将L任意分成n个弧段:Ds1,Ds2,Dsn,并用Dsi表示第i段的弧长; 在每一弧段Dsi上任取一点,作和; 令l=maxDs1,Ds2,Dsn,如果当l0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f在L上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其

24、中m为线密度.对弧长的曲线积分的推广:. 如果L是分段光滑的, 则规定函数在L上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 .对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数, 则; 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则; 性质3设在L上fg, 则.特别地, 有二、对弧长的曲线积分的计算法 根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f, 则曲线形构件L的质量为. 另一方面,若曲线L的参数方程为x=j,y=y ,则质量元素为,曲线的质量

25、为.即.定理设f在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x=j,y=y ,其中j、y在a,b上具有一阶连续导数,且j2+y20,则曲线积分存在,且a.证明略应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限b.讨论: 若曲线L的方程为y=y,则=?提示:L的参数方程为x=x,y=y,. 若曲线L的方程为x=j,则=?提示:L的参数方程为x=j,y=y,. 若曲G的方程为x=j,y=y,z=w,则=? 提示:.例1计算,其中L是抛物线y=x2上点O与点B之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2 ,因此.例2计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I.解取坐标系如图所示,则.曲线L的参数方程

26、为x=Rcosq,y=Rsinq -aq.于是=R3.例3 计算曲线积分,其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧.解 在曲线G上有x2+y2+z2=2+2+2=a2+k 2t 2,并且,于是 .小结:用曲线积分解决问题的步骤: 建立曲线积分; 写出曲线的参数方程 ,确定参数的变化范围; 将曲线积分化为定积分; 计算定积分.3. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面内在变力F=Pi+Qj的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F所作的功.用曲线L上的点A=A0,A1,A2,An-1,An

27、=B把L分成n个小弧段,设Ak=,有向线段的长度为Dsk,它与x轴的夹角为tk,则.显然,变力F沿有向小弧段所作的功可以近似为;于是,变力F所作的功,从而.这里t=t, cost, sint是曲线L在点处的与曲线方向一致的单位切向量.把L分成n个小弧段:L1,L2, Ln;变力在Li上所作的功近似为:FDsi=PDxi+QDyi; 变力在L上所作的功近似为:; 变力在L上所作的功的精确值:,其中l是各小弧段长度的最大值.提示: 用Dsi=Dxi,Dyi表示从Li的起点到其终点的的向量.用Dsi表示Dsi的模.对坐标的曲线积分的定义: 定义 设函数f在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段

28、L1,L2, Ln;小弧段Li的起点为,终点为,Dxi=xi-xi-1,Dyi=yi-yi-1; 为Li上任意一点,l为各小弧段长度的最大值.如果极限总存在,则称此极限为函数 f在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即,如果极限总存在,则称此极限为函数 f在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作,即.设L为xOy面上一条光滑有向曲线, cost, sint是与曲线方向一致的单位切向量,函数P、Q在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义,前者称为函数P在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广:设G

29、为空间内一条光滑有向曲线, cosa, cosb, cosg是曲线在点处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P、Q、R在G上有定义.我们定义,.,.对坐标的曲线积分的简写形式:;.对坐标的曲线积分的性质: 如果把L分成L1和L2,则. 设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,则.两类曲线积分之间的关系: 设costi, sinti为与Dsi同向的单位向量,我们注意到Dxi,Dyi=Dsi, 所以Dxi=costiDsi,Dyi=sintiDsi,.即 ,或.其中A=P,Q,t=cost, sint为有向曲线弧L上点处单位切向量,dr=tds=dx,dy.类似地有,或 .其中A=P,Q,

30、R,T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点处单们切向量,dr=Tds=dx,dy,dz ,At为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P、Q是定义在光滑有向曲线L:x=j,y=y,上的连续函数,当参数t单调地由a变到b时,点M从L的起点A沿L运动到终点B,则,.讨论:=？提示:.定理: 若P是定义在光滑有向曲线L: x=j,y=y上的连续函数,L的方向与t的增加方向一致,则.简要证明: 不妨设ab.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为j,y,所以,从而.应注意的问题:下限a对应于L的起点,上限b对应于L的终点,a不一定小于b.讨论:若空间曲线G由参数方程

31、x=j(t,y =y ,z=w给出,那么曲线积分=？如何计算?提示:,其中a对应于G的起点,b对应于G的终点.例题:例1.计算,其中L为抛物线y2=x上从点A到点B的一段弧.解法一:以x为参数.L分为AO和OB两部分:AO的方程为,x从1变到0;OB 的方程为,x从0变到1.因此 . 第二种方法:以y为积分变量.L的方程为x=y2,y从-1变到1.因此.例2.计算.L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2;从点A沿x轴到点B的直线段.解 L 的参数方程为x=a cosq,y=a sinq,q从0变到p.因此.L的方程为y=0,x从a变到-a.因此.例3计算. 抛物线y=x2上从O到B的一

32、段弧; 抛物线x=y2上从O到B的一段弧; 从O到A, 再到R 的有向折线OAB. 解 L:y=x2,x从0变到1.所以.L:x=y2,y从0变到1.所以.OA:y=0,x从0变到1;AB:x=1,y从0变到1.=0+1=1.例4. 计算,其中G是从点A到点B的直线段.解: 直线AB的参数方程为x=3t,y=2t,x=t,t从1变到0.所以所以 .例5.设一个质点在M处受到力F的作用,F的大小与M到原点O的距离成正比,F的方向恒指向原点.此质点由点A沿椭圆按逆时针方向移动到点B,求力F所作的功W.例5.一个质点在力F的作用下从点A沿椭圆按逆时针方向移动到点B,F的大小与质点到原点的距离成正比,

33、方向恒指向原点.求力F所作的功W.解:椭圆的参数方程为x=acost,y=bsint,t从0变到.,其中k0是比例常数.于是.三、两类曲线积分之间的联系由定义,得,其中F=P,Q,T=cost, sint为有向曲线弧L上点处单位切向量,dr=Tds=dx,dy.类似地有.其中F=P,Q,R,T=cosa, cosb, cosg为有向曲线弧G上点处单们切向量,dr=Tds=dx,dy,dz .3.3 格林公式及其应用一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向如下:

34、当观察者沿L的这个方向行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成,函数P及Q在D上具有一阶连续偏导数,则有,其中L是D的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D即是X型的又是Y型的区域情形进行证明.设D=|j1yj2,axb.因为连续,所以由二重积分的计算法有.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有.因此.设D=|y1xy2,cyd.类似地可证.由于D即是X型的又是Y型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得.应注意的问题:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.设区域D的边界

35、曲线为L, 取P=-y,Q=x,则由格林公式得, 或.例1.椭圆x=a cosq,y=b sinq所围成图形的面积A.分析:只要, 就有.解: 设D是由椭圆x=acosq,y=bsinq所围成的区域.令, 则.于是由格林公式,=pab.例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明.证:令P=2xy,Q=x2,则.因此,由格林公式有. 例3.计算,其中D是以O,A,B为顶点的三角形闭区域.分析: 要使,只需P=0,.解:令P=0,则.因此,由格林公式有.例4 计算,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.解: 令,.则当x2+y20时,有.记L所围成的闭区域为D

36、.当D时,由格林公式得;当D时, 在D内取一圆周l:x2+y2=r 20.由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得,其中l的方向取逆时针方向.于是=2p.解记L所围成的闭区域为D.当D时,由格林公式得.当D时, 在D内取一圆周l:x2+y2=r20.由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得,即,其中l的方向取顺时针方向.于是 =2p.分析: 这里, 当x2+y20时,有.二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关:设G是一个开区域,P、Q在区域G内具有一阶连续偏导数.如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2,等式恒成立,就说

37、曲线积分在G内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分在G内与路径无关,L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线,则有,因为,所以有以下结论: 曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零.定理2 设开区域G是一个单连通域,函数P及Q在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零的充分必要条件是等式在G内恒成立. 充分性易证: 若,则,由格林公式,对任意闭曲线L,有.必要性:假设存在一点M0G,使,不妨设h0,则由的连续性,存在M0的一个d邻域U,使在此邻域内有. 于是沿邻域U边界l 的闭曲线积分,这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此

38、在G内.应注意的问题:定理要求,区域G是单连通区域,且函数P及Q在G内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点.例5 计算, 其中L为抛物线y=x2上从O到B的一段弧.解:因为在整个xOy面内都成立,所以在整个xOy面内,积分与路径无关.讨论: 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向, 问是否一定成立？提示: 这里和在点不连续.因为当x2+y20时, 所以如果不在L所围成的区域内,则结论成立,而当在L所围成的区域内时, 结论未必成立.三、二元函数的全微分求积 曲线积分在G内与路径无关,

39、表明曲线积分的值只与起点从点与终点有关. 如果与路径无关,则把它记为即.若起点为G内的一定点,终点为G内的动点,则u为G内的的函数. 二元函数u的全微分为du=uxdx+uydy. 表达式Pdx+Qdy与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式Pdx+Qdy是某个二元函数u的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3 设开区域G是一个单连通域,函数P及Q在G内具有一阶连续偏导数,则Pdx+Qdy在G内为某一函数u的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立.简要证明:必要性:假设存在某一函数u,使得du=Pdx+Qdy,则有,. 因为、

40、连续, 所以,即.充分性: 因为在G内, 所以积分在G内与路径无关.在G内从点到点的曲线积分可表示为考虑函数u.因为 u,所以 . 类似地有,从而du=Pdx+Qdy.即Pdx+Qdy是某一函数的全微分.求原函数的公式:,.例6 验证:在右半平面0内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解: 这里,. 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有,所以在右半平面内,是某个函数的全微分. 取积分路线为从A到B再到C的折线, 则所求函数为.问:为什么不取? 例6 验证:在整个xOy面内,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解这里P=xy2,Q=x2y. 因为P、

41、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数, 且有,所以在整个xOy面内,xy2dx+x2ydy是某个函数的全微分. 取积分路线为从O到A再到B的折线, 则所求函数为.思考与练习:1.在单连通区域G内,如果P和Q具有一阶连续偏导数,且恒有,那么在G内的曲线积分是否与路径无关?在G内的闭曲线积分是否为零? 在G内Pdx+Qdy是否是某一函数u的全微分? 2.在区域G内除M0点外,如果P和Q具有一阶连续偏导数,且恒有,G1是G内不含M0的单连通区域,那么在G 1内的曲线积分是否与路径无关?在G 1内的闭曲线积分是否为零? 在G 1内Pdx+Qdy是否是某一函数u的全微分? 3. 在单连通区域G内,如果P

42、和Q具有一阶连续偏导数,但非常简单,那么如何计算G内的闭曲线积分? 如何计算G内的非闭曲线积分? 计算,其中L为逆时针方向的上半圆周2+y2=a 2,y0,3.4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质 物质曲面的质量问题:设S为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为r,求其质量: 把曲面分成n个小块:DS1,DS2 ,DSn; 求质量的近似值:是DSi上任意一点;取极限求精确值:.定义设曲面S是光滑的,函数f在S上有界.把S任意分成n小块:DS1,DS2 ,DSn, 在DSi上任取一点, 如果当各小块曲面的直径的最大值l0时, 极限总存在, 则称此极限为函数f在曲面S上对面积的曲面积分或

43、第一类曲面积分, 记作,即.其中f叫做被积函数,S叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性: 我们指出当f在光滑曲面S上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定f在S上连续. 根据上述定义面密度为连续函数r的光滑曲面S的质量M可表示为r在S上对面积的曲面积分:如果S是分片光滑的我们规定函数在S上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设S可分成两片光滑曲面S1及S2就规定.对面积的曲面积分的性质:设c 1、c 2为常数, 则;若曲面S可分成两片光滑曲面S1及S2, 则;设在曲面S上fg, 则;, 其中A为曲面S的面积. 二、对面积的曲面积分的计算面密度为f的物质曲

44、面的质量为.另一方面,如果S由方程z=z给出,S在xOy面上的投影区域为D, 那么 曲面的面积元素为,质量元素为.根据元素法, 曲面的质量为.因此. 化曲面积分为二重积分:设曲面S由方程z=z给出,S在xOy面上的投影区域为Dxy,函数z=z在Dxy上具有连续偏导数,被积函数f在S上连续, 则. 如果积分曲面S的方程为y=y,Dzx为S在zOx面上的投影区域, 则函数f在S上对面积的曲面积分为.如果积分曲面S的方程为x=x,Dyz为S在yOz面上的投影区域,则函数f在S上对面积的曲面积分为.例1计算曲面积分,其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h0h截出的顶部. 解S的方程为,Dxy:

45、x2+y2a2-h2.因为 ,所以 .提示:.例2 计算,其中S是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面. 解整个边界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次记为S1、S2、S3及S4,于是.提示:S4:z=1-x-y,.3.5 对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面:通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如由方程z=z 表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=为曲面上的法向量,在曲面的上侧cosg0,在曲面的下侧cosg0.闭曲面有内侧与外侧之分.类似地,如果曲面的方程为y=y,则曲面分为左侧与右侧,在曲面的右侧cosb0,在曲面的左侧cosb0. 如果曲面的方程为x=x,则曲面分为前侧与后侧,在曲面的前侧cos a0,在曲面的后侧cosa0