jacobi迭代法

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1、基州火堂GUIZHOU UNIVERSITY实验报告实验课程名称计算机数值方法实验工程名称年级专业学生姓名学号理学院实验时间： 2021年 月 日学生所在学院：专业：班级姓名学 号实验组1实验时间指导教师成绩实验工程名称Jacobi迭代法实验目的及要求：用Jacobi迭代法解线性方程组Ax = b.实验(或算法)原理：迭代法的根本思想是对n元线性方程组 Ax=b, AWRn,bWRn.将其变形为等价方程组x =Bx + f ,其中B W Rn* f W Rn, x W Rn. B成为迭代矩阵。从某一取定的初始向量x(0)出发，按照一个适当的迭代公式，逐次计算出向量x(k+ =Bx(k)+f (

2、 k =0,1)，使得向量序列x(k)收 敛于方程组的精确解.设n元线性方程组为：Xa112X2 a 十X1 a222 a 十12b b-n nX Xn n1 222n a+5k 4 k 1(k)X = Xi (bi - aijXj ) aiij i设矩阵A =(aj)n沌非奇异，且aH #0,(i =1,2n),上式变形为(k =0,1,2；i =1,2n),该式称为jacobi迭代法。写成矩阵形式:设 D =diag (a11, a22，ann),00-a12-a1 j一a1n一 a 210+ . * . aL =a a j1*-a - a 口 j, j 工0,U=0_ a j 1, j*

3、- a j,n9a*0-an,nan1 一an, j 工 an,n _L0 ;0那么A=D-L -U =Dx=(L +U ) x +b =x =D，(L +U )x + Db。令 BJ =D,(L +U ), f =D，b 那么有 x = BJx+f其迭代格式为x(k 1) BJ x(k) f ,(k =0,1,2)这就是jacobi迭代法的矩阵形式。根据计算公式编程即可求解线性方程组。实验硬件及软件平台：PC机，vc+6.0 , Internet 网实验步骤：1 .根据算法事先写出相应程序。2 .启动PC机，进入vc集成环境，输入代码3 .编译调试。4 .调试通过，计算出正确结果。实验内容(

4、包括实验具体内容、算法分析、源代码等等) ：1 .算法设计(1) 输入 A , b, x(0)，名，n, k =1 .1 n x：1)：工(b aux；。)( i=0,n)aiii 土y 判断max K)-Xi(0)|，假设是，输出X1x21),x：,假设否，置k = k+1 0 _L777x；0) =x) (i =1,2n) o2 .编写相应的程序上机调试。/jacobi迭代法程序：#include#include#define N 3方程阶数void jacobi(double aNN,double bN,double xN,double e) int i,j；double p,x1N,e

5、p,sub;最大范数 dofor(i=0;iN;i+)x1i=xi；for(i=0;iN;i+)P=0；for(j=0;jN;j+)if(j!=i)P=P+aij*x1j；xi=(bi-p)/aii;ep=0;for(i=0;iN;i+)sub=fabs(xi-x1i);if(epe);void main()double aNN尸4,1,1,1,4,1,1,1,4；double bN=7,10,7;double xN=0,0,0;double e;int i;e=1e-4;jacobi(a,b,x,e);for(i=0;iN;i+)printf(x%d=%fn,i,xi);7用上述程序验证线性

6、方程组1JX17-l、10的解为X14(0),=0.999980,x2 =1.999980,x3 =0.999980,； =10, x = (0,0, 0)T3运行结果：rD es lctopDe b u(jaebi送去)e01=0.99998g 11=1.999980 2J=0.999980 j*ess any key to centInue，1012 )7.2、4、用上述程序解线性方程组-1 10-2X28.3,8=10-, X(0)=(0, 0, 0)T oL -15 JG3)4题运行结果：r D；mDesktopDebugS (jacobijft) ,exe=回 汉，x01=l_099

7、998 xtl1=1-199998 XC2J=1 .299997 Press any key to continue实验结果与讨论：解线性方程组有直接法和迭代法，直接法计算量较小，但需较大的储 存量，且程序复杂，而迭代法恰与直接法相反，对于迭代法我们需要讨论 其收敛性及误差估计：假设所求的迭代序列 Xk 收敛于解线性方程组Ax = b的解X ,即irnXk = x* , 那么迭代法收敛，否那么称为发散。迭代法收敛的充要条件是：jacobi迭代法U P(B)1;假设 II Bll 1 jacobi 代法收敛；称e(k) =x* - 4 为迭代 法的第k步误差向量，假设迭代法收敛，当k充分大时，如k=n时，取xn作为 解x*的近似向量，即线性方程组Ax=b的近似解。指导教师意见签名：年 月 日