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1、-数学模型-狼追击兔子的问题一、 问题重述与分析（一） 问题描述 神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。 狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？ 为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。
2、二问题分析1、此题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。 2、通过运用欧拉公式及改良欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进展求解。3、将数学求解用Matlab程序语言进展实现得出方程的近似解。 4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。 二、 变量说明：兔子的速度单位：码/秒：狼与兔子速度的倍数；：狼的速度单位：码/秒，显然有：狼追击兔子的时刻t=0时，表示狼开场追兔子的时刻：在时刻t，兔子跑过的路程单位：码，：在时刻t，狼跑过的路程单位：码，Q：表示在时刻t时，兔子的坐标P：表示在时刻t时，狼子的坐标三、 模型假设1、 狼在追击过
3、程中始终朝向兔子；2、 狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为。3、 当猎狗与兔子之间的距离相当小时认为猎狗已经追上了兔子。四、 模型建立一建模准备以t0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为*轴正向；则显然有兔子位置的横坐标。对狼来说，当*100，y0，即在t0刚开场追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即*轴负方向，则有 二建立模型1、追击方向的讨论由于狼始终朝向兔子，则在狼所在位置P点过狼的轨迹处的切线方向在y轴上的截距为。设切线上的动点坐标为*，Y，则切线方程为 1在1中，令*0，则截距。此时。则此时截距等于兔子所跑过的路程，即：，从
4、而可得 22、狼与兔子速度关系的建模在t时刻，兔子跑过的路程为 3由于狼的速度是兔子的r倍，则狼跑的路程为 4狼跑过的路程可以用对弧长的曲线积分知识得到，如下。 5联立2、4、5得 6对6两边求对*的导数，化简得 7微分方程7式的初始条件有：3、是否追上的判断要判定狼是否追上兔子，可以通过7式判定。对7式，当*0，如果计算求解得到，则视为没有追上；当*0，如果计算求解得到，则视为兔子被追上；五、 模型求解由微分方程得到其Matlab函数function yy=odefunlt(*,y)%以狼在追击过程中的横坐标为自变量yy(1,1)=y(2);yy(2,1)=sqrt(1+y(2).2)./(
5、2.*);主程序：tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的*坐标为自变量y0=0 0;%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离T,Y = ode45(odefunlt,tspan,y0);n=size(Y,1);disp(狼的坐标(*=0.1)disp(Y(n,1)%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标六、模型结果与分析运行结果：狼的坐标(*=0.1) 62.1932通过上面运行结果可知，狼并没有追上兔子。七、 思考题通过上面的结果已经知道狼并没有追上兔子。则兔子跑回窝边时，狼与兔子之间的距离是多少？上面的程序不能
6、解决此问题，则用什么方法解决呢？一解决思路可以对狼与兔子的追击过程通过计算机进展模拟，然后从模拟结果获取。模拟程序如下，程序文件名sim_langtu.m：function sim_langtu%狼兔追击问题%离散模拟%这里没有具体考虑狼、兔的具体速度%主要通过二者的速度倍速关系及方向向量奔跑过程Q=0 0;%兔子坐标P=100 0;%狼坐标PQ=Q-P;%狼兔方向向量 step =1;%模拟步长：兔子奔跑的距离，step越小就越准确count = 60/step;%以兔子的奔跑距离划分PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量trackP=P;trackQ=Q;for k=1
7、:count; P = P + 2*PQ;%2倍速度Q = Q + step*0 1;%0 1为兔子奔跑方向的单位方向向量PQ = Q - P; trackP(1+k,:)=P; trackQ(1+k,:)=Q; PQ=PQ/norm(PQ)*step;%归一化，单位向量 dis= sqrt(sum(P-Q).2); plot(trackP(:,1),trackP(:,2),*,Q(1),Q(2),rp,0,60,r+); pause(0.5)end%fordis%兔子到达窝边时，狼兔之间的距离P %兔子到达窝边时，狼的坐标Q %兔子到达窝边时，兔子的坐标二模拟程序运行结果dis =7.061
8、9P =1.6805 53.1410Q = 0 60注：如果修改程序中的step赋值，则结果稍有不同。程序完毕后，输出狼兔的位置图如下。通过下列图可以直观的看到，当兔子回到窝边时，狼还与兔子有一段距离，这表示兔子成功逃脱。八、 模型评价1、优点可以熟练的运用Matlab解决一些问题，对用Matlab编程有了更加深刻的了解。懂得了使用数学软件求解极限,积分等问题的方法。对于追击问题的数学模型有了一定的了解，并能简单的运用。对遇到的一些编程问题有了切身的解决方法提高了自己的编程能力。2、缺点许多数学公式的符号十分难输入，致使数学理论表述十分困难。需要输入的数据太多，容易出现输入错误，特别是容易遗漏标点符号。 3、改良方向应考虑向简单模型优化，现有的模型还是很复杂，尤其是一些数学的计算要能非常熟练的运用微积分知识。所以应考虑更加简便易懂的模型。. z.
数学模型--狼追击兔子的问题
