浅谈函数解析性的判断方法

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1、-专业代码：070101学号：3贵 州 师 大 学本科毕 业 论 文题 目：浅谈函数解析性的判断方法学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学年 级：2010级姓 名：游延超指导教师：罗永贵完成时间：2014年04月01日目 录摘要3引言4一、 解析函数的概念 4二、 函数解析的判断 51、 根据解析函的定义判断 5例：15例：2 52、 根据CauchyRiemann条件证明函数的解析性6定理1： 6例：37定理2： 8定理2的证明 83、 根据初等函数的解析性判断 94、 利用积分形式的等价定理 10例：45、 关于幂级数形式的等价定理 106、 根据导函数的解析性 10例：511

2、7、 根据级数来判断函数的解析性 11三、总结11参考文献 12浅谈函数解析性的判断方法游延超摘 要：解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数，解析函数可分成实解析函数和复解析函数。二者有类似之处，同时也有重要的差异。此外在超度量域上也可以定义解析函数，这套想法在当代数论与算术代数几何中有重要的应用。解析函数也是复变函数的一个研究的重要对象。解析函数理论在数论、电学、工程等方面都有重要的应用，解析函数的涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了奉献。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对他们的开展有极其深远的影响。本

3、文的主要工作如下：第一 根据解析函数的定义判断，第二 根据 CauchyRiemann 条件证明函数的解析性，第三 根据初等函数的解析性判断，第四 利用积分形式的等价定理，第五 关于幂级数形式的等价定理，第六 根据导函数的解析性判断，第七 根据级数判别函数的解析性。关键词：解析函数；连续性定义；CauchY-Riemann；积分；初等函数；幂级数；导函数；级数；实解析函数；复解析函数。Abstract: Theanalytic function islocally givenby theconvergent power series. Theanalytic functioncan be di

4、vided intoreal analyticfunctions and plexanalytic function.Both of them have something in mon, butthere are alsoimportant differences.In addition, itcan be also defined in theultrametricdomain. Thisidea hasimportant applicationin modernnumber theory andarithmetic algebraicgeometry.Animportant object

5、 of the plex variableanalytic functionis theanalytic function.Analytic function theoryhas important applications innumber theory,electrical,engineering and other aspects. The usageof analytic functionis very wide,and there are many plicatedcalculationssolved by it.In theapplication ofthe solution of

6、 fluid mechanicsand aviationmechanicsproblem, it has madethe important contribution.It has depth to thedifferential equation,integral equation,probability theory,andnumber theoryand other disciplines, and thathas afar-reaching influence on thedevelopment of them. The main work of this paperare as fo

7、llows:firstly, the definition of analytic function is used to makejudgment;secondly, according to Cauchy Riemannsconditions, I use it to prove the analyticfunction;thirdly, I will make analyticjudgment by elementary function; fourthly, I do theequivalence theoremin integral form;fifthly,aboutthe for

8、m of power series;sixthly, according toguidefunction I will make theanalyticjudgment; seventhly,according to the analysis ofseriesof discriminant functions.Keywords:analytic function;continuity definition;Cauchy-Riemann;integration;elementary function;power series;derivative;series;real analytic fun

9、ctions; plex analytic functions.引言：解析函数是局部上由收敛幂级数给出的函数，解析函数可分成实解析函数和复解析函数。二者有类似之处，也存在重要的差异。另外也在超度量域上也是可以定义为解析函数，这套想法在现代数论与算术代数几何中有作重要的应用。解析函数也是复变函数研究的一个重要对象，解析函数理论同时也在数论、电学、工程等多方面都有作重要的应用价值，解析函数的涉及面很广，在很多复杂的计算过程都是用它来解决的。在运用复变函数论解决航空力学和流体力学等方面的问题上也是做出了巨大奉献的。它已经深入我们学习的积分方程、微分方程、数论和概率论等学科，对这些学科的开展是有极其深

10、远的影响的。解析函数也是复变函数论主要研究的对象，在复变函数和数学的整个开展的历史时期都占据着很重要的地位，它在不断延续和开展的同时也影响了很多学科的开展。一、解析函数的概念在。如果函数f(z)在区域D任一点解析，那么称fz在区域D解析。注：1如果函数f(z)在区域D的解析，那么D每一点都是它的点，从而D是开区域。2如果函数f(z)是闭圆盘上包含该圆盘的某个区域解析。 3fz在z解析，那么fz在z可导；fz在z可导，那么fz在z不一定解析。但是fz在区域D解析和可导是等价的。 4一个解析函数不可能仅有一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。定理：在区域D解析的两个函数fz与gz的和、

11、差、积、商除去分母为零的点在D解析。所以由此定理可以知道：A：所有的多项式在复平面是处处解析；B: 任何一个有理分式函数在不含分母为零的点的区域是解析的，使分母为零的点是它的奇点。二、函数解析的判定1 根据解析函数的定义判定 要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点极其领域是否可导。定义：1fz在z解析：fz在z的某领域可导。z称为解析点，否那么称为奇点。例1：讨论函数fz=1/z的解析性。解：，故fz=1/z在z时处处解析；z=0是它的一个奇点。2 fz在区域D解析：fz在D处处解析。函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域：解析可导例2：因为fz=Z

12、在整个复平面上处处可导；且那么由解析的定义可知。假设函数 w= f (z)在区域 D 可微, 那么称 f (z) 为区域D 的解析函数, 或称 f (z) 在区域D 解析.例如： 复变函数 f (z)= u(x, y)+ iv( x, y)，如何判别其解析性？设函数w=fz= u(x, y)+ iv( x, y)在D解析。 即存在于是：称为Cauchy-Riemannf方程即w=fz=u(x, y)+iv(x, y)在D一点x，y解析u(x,y) 与v(x,y) 在该点可微, 并且满足柯西黎曼Cauchy-Riemann)方程。设u(x, y)与vx，y在点x，y，并且满足柯西黎曼Cauchy

13、-Riemann方程。于是有=(即函数f (z)在点z = x + iy 处可导，由z 的任意性可知：w=f(z)=u(x , y)+iv(x , y)在D解析。2、根据 CauchyRiemann 条件证明函数的解析性由于复变函数的表示法的不同, 下面给出三个相互等价的定理. 其在应用中可根据题目中的函数而灵活运用复变函数 f (z)= u(x, y)+ iv( x, y)在区域 D 有定义, 那么在区域 D 解析的充要条件: 在D 连续; (b)u( x, y), v(x, y) 在 D 满足 C- R 条件 .这种方法在证明复变函数的解析性中有最广泛的应用, 是5复变函数论6中最重要的方

14、法之一. 另外, 应用 CauchyRiemann 条件证明函数解析性还有另外两种等价的定理.定理1：设函数 f ( z)= u(r, H)+ iv( r, H) 在区域 D 有定义, 那么 f ( z) 在 D 解析的充要条件为：在D 连续, 且满足 C- R 条件例3：判断函数fz=的解析性。解：令z=那么处处不满足C-R条件，所以fz在z平面上处处不解析。由上例可看出这两种形式的 CauchyRiemann 条件各有其方便之处, 在做题目时, 可以选择适当的形式, 从而简化证明过程. 下面再介绍另一种形式的 CauchyRiemann 条件.定理 2：设函数 f (z)定义在区域 D 上

15、, 对于 D 任一点上的两个相互垂直的方向 s 与 n, 其中由 s到n 是按逆时针方向, 那么函数 f (z)在 D 解析的充要条件是: f (z)的实部与虚部在 D 可微并且在D每一点满足证明 必要性：由 f (z)解析显然有 f (z)的实部与虚部可微设 s与正实轴交角为H, n 与正实轴交角为。在s方向上，对任意点z，： = = 1在n方向2可得充分性：由 f (z)的实部与虚部可微得, 存在使3令故 两边除以t，取极限后得到4同样，假设令在式3的两边除以t，取极限后得5由4，5可解出同样对v(x, y)用完全一样的过程且设无穷小量为E，E得由条件利用在上式两边同时除以后再取极限就得到

16、这说明了函数3、根据初等函数的解析性判定假设复变函数是初等函数，那么我们可以根据初等函数的解析性来进展判定1指数函数在整个复平面上解析；指数函数： 定义对任意的复数，规定函数为z的指数函数，记做2对数函数lnz的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析； 对数函数定义为指数函数的反函数。我们把满足方程的函数称为对数函数，记作 设由于是多值的，于是对于每个非零z，复对数也就是多值的。 3幂函数，数在除去原点以外的整个复平面上解析；，在除去原点和负实轴的复平面上解析；在各自的定义域解析。定义：设z为不为零的复变数，为任意一个复数，我们定义当z为正实数、为整数时，上式与微积分中的乘幂的定义

17、一致；当z为复变数、为复数时， k为整数 4sinz，cosz在整个复平面上解析；4、利用积分形式的等价定理复变函数 f ( z)在区域 D 解析的充要条件为: f (z)在 D 连续并且对任一围线 c, 只要 c 及其部全含于D，就有。例4：。解：由+ie在z平面上连续对于z平面上任一围线c，有，。那么 。所以fz在z平面上解析。5、关于幂级数形式的等价定理函数f (z) 在 D 解析的充要条件是: f ( z)在D任一点a 的邻域可以展开成(z- a)的幂级数.由于此种方法的要在任一点都可以展开成幂级数， 可以用来求在一点的可微性。6、 根据导函数的解析性(1)设 函数f (z)在区域 D

18、 是解析的, 那么在 D 是具有各阶导函数的, 且在 D 解析.这种判别方法一般可以用在已经知道原函数是解析函数的情况下. 下面我们再给出一种判别的方法, 其本质上还是运用解析函数的各阶导数的存在并且解析而得到的。(2) 设f (z)在单连通区域D 连续, 并且沿区域D 任一围线的积分为零(从而与路径无关)，那么函数F(z)=为任意一点在D解析。例5：试判断。解：由(z)=又在z平面上连续，且由例 4知对任一闭曲线 c 有所以在z平面上解析。此方法比拟适合于原函数较好判别的情况。7、根据级数来判别函数的解析性。利用级数判别解析区域的方法：设双边幂级数的收敛圆环为H ：r，0。那么在H绝对收敛且

19、闭一致收敛于fz，并且fz在H解析。三、总结：以上是我对函数解析性的判断的几种证明方法的归纳，在我们的学习中学会对已学过的知识点进展归纳总结是一种重要的学习方法。这种方法不仅让我们对学过的知识加以稳固，获得新知识；还能是我们的学习思维起到举一反三，触类旁通的作用。因此在大力倡导新课改的今天，怎样教会学生自我学习已然成为了教育的重心。作为教育者更要不断总结自身教学实践，提高知识水平和教学素养，在数学教学中重视教给学生一些比方猜测、数形结合、归纳总结和类比等重要的学习方法。参考文献：1 钟玉泉、复变函数论M . : 高等教育, 2004.012 H.嘉当、 解析函数论初步M. 法国 高等教育,20

20、08.063 方权、绍惠.解析函数论根底第二版M.师大学，2008.024 清华、吴昊.复变函数容方法与技巧M.华中科技大学，2003.075 建林、复变函数积分变换M西北工业大学，2001.096 james word brown.复变函数及其应用M机械工程.20057 王敏、嵇绍春.联合大学学报自然学科版2007年第03期8 井润敏、职大学刊.1994年第03期9 学院学报自然科学版第29卷8期下 2013年8月10波利亚、数学与猜测第一卷M.：科学.2001.0211振威、中学数学方法指导上M：科学.1988.0912筑生.数学分析新讲、M：大学.2001.13清华大学数学教研室、高等数学M：师大学.1965.14华东师大学数学系、数学分析上册M：人民教育.1980.0915禾瑞、高等代数第五版M高等教育.2007.06. z.