初中数学解题技巧综合(例程)

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1、.初中数学解题技巧综合一：基本的解题技巧初中数学解题技巧 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+ca,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大. 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2;+bx+ca,b,c为常数,a0 顶点式：y=a2;+k 抛物线的顶点Ph,k 交点式：y=a 仅限于与x轴有交点Ax1,0和 Bx2,0的抛物线 注：在3种形式的互相转化中,有

2、如下关系: h=-b/2a k=/4a x1,x2=/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴即直线x=0 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P -b/2a ,/4a 。 当-b/2a=0时,P在y轴上；当= b2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a0时,抛物线向上开口；当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则抛物

3、线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时即ab0,对称轴在y轴左； 当a与b异号时即ab0,对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于0,c 6.抛物线与x轴交点个数 = b2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点。 = b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 = b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点。 V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数以下称函数y=ax2;+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程, 即ax2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与

4、x轴交点的横坐标即为方程的根。 画抛物线yax2时,应先列表,再描点,最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 一般式：yax2+bx+c . 顶点式：ya2+k. 两根式：ya,其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根,a0. 说明：任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya2+k,抛物线的顶点坐标是,h0时,抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时,抛物线a2的顶点在x轴上；当h0且k0时,抛物线yax2的顶点在原点 如果图像经过原点,并

5、且对称轴是y轴,则设y=ax2；如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax2+k定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c a,b,c为常数,a0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。 则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式抛物线的顶点 P ：y=a2+k 交点式仅限于与x轴有交点 A 和 B 的抛物线：y=a 以上3种形式可进行如下转化： 一

6、般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为-b/2a,/4a,即 h=-b/2a=/2 k=/4a 一般式和交点式的关系 x1,x2=-b/2a要掌握好一些常用的解题方法 数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法,可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材,练好解题的基本功,提高解题技巧,积累教学资料,提高业务水平和教学能力。1、配方法所谓配方,就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等

7、变形的方法,它的应用十分非常广泛,在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。2、因式分解法因式分解,就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外,还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部

8、分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0a、b、c属于R,a0根的判别,=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程,解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根；已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外,还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组,以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用。5、待定系数法在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,而后根据题设条件列出关于待定系数的

9、等式,最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题,这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。6、构造法在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法。运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决。7、反证法反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原

10、命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为：反设；归谬；结论。反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾

11、；自相矛盾。8、面积法平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法。用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置补助线,即使需要添置辅助线,也很容易考虑到。9、几何变换法在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是

12、一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易。另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识。几何变换包括：1平移；2旋转；3对称。10.客观性题的解题方法选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识复盖

13、面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况。要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧。下面通过实例介绍常用方法。1直接推演法：直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法。2验证法：由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法也称代入法。当遇到定量命题时,常用此法。3特殊元素法：用合适的特殊元素如数或图

14、形代入题设条件或结论中去,从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。4排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。5图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断,作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一。6分析法：直接通过对选择题的条件和结论,作详尽的分析、归纳和判断,从而选出正确的结果,称为分析法。 二：浅谈解题能力培养摘要:当今社会处于信息时代,数学教学也应适应时代的要求,走出课堂,走出题海,广泛涉猎资料,紧密贴近生活,着意提高学生的数学素养和知识应用能力因此,

15、在数学教学中应鼓励学生阅读一道好题,一种妙解,一丝联系,一点变化都可能给你的解答带来简便.因此,培养学生的解题能力尤其显得重要.关键词：审题 解题能力 解题思路 解题策略 回顾与探讨数学解题能力是一种综合的能力,一般是指综合运用数学基础知识、基本方法和逻辑思维规律,整体发挥数学的基本能力和思维水平,对数学问题进行分析、解决的能力。对于学生来说,其中包括了思维创造的能力。因此,在教学中,要提高学生的解题能力,除了抓好基础知识、基本能力的学习与培养外,更重要的培养途径就是解题实践,就是遵循科学的解题顺序、有目的、有计划地引导学生在游泳中学会游泳,在亲自参与的解题实践过程中,学会解题,从中获得能力。

16、下面就围绕解题的一般程序,来讨论如何培养学生的解题能力。1、仔细、认真地审查题意的习惯。仔细、认真地审题,提高审题能力是解题的首要前提。因为审题为探索解题途径提供方向,为选择解法提供决策的依据。因此,教学中要求学生养成仔细、认真的审题习惯,就是要对问题的条件、目标及有关的全部情况进行整体认识,充分理解题意,把握本质和联系,不断提高审题能力。具体地说,就是要做到以下四项要求：l 了解题目的文字叙述,清楚地理解全部条件和目标,并能准确地复述问题、画出必要的准确图形或示意图；l 整体考虑题目,挖掘题设条件的内涵、沟通联系、审清问题的结构特征。必要时,要会对条件或目标进行化简或转换,以利于解法的探索；

17、l 发现比较隐蔽的条件；l 判明题型,预见解题的策略原则。以上具体要求中,前两项是基本的,后两项是较高的。事实上,审题能力主要体现在对题目的整体认识、对条件和目标的化简与转换以及发现隐蔽条件等方面的能力上。例1 已知 a, b, c都是实数,求证；2a-, 2b-, 2c-三个数中至少有一个数不大于零,而且至少有一个数不少于零。如果审题中能考虑到所证的三个数之和正好等于零这一整体特征,则不难用反证法很容易地得出正确判断,使问题得到解决。例2 已知ABC,试求作一点P,使得PAB、PAC、PBC的面积相等。如果在审题中不注意P点的任意性,就会片面地、不自觉地增加条件P点在ABC内,从而求得唯一的

18、一点P,即ABC的重心。这就改变了原题的题意。事实上,若在平面上,P点的位置还可以有三个：分别以ABC两相邻边为邻边的平行四边形顶点。若在空间,P点的位置就更多了。例3 在实数范围内解方程：|x-2|+=3审查题意就要从题目的特征含有绝对值和算术根符号中,善于发现隐含条件。即 1-x0, x1.有了这一条件,就可以将原方程转化为 2-x+=3, 即=x+1.这样就成为标准的无理方程,它的解法是学生熟悉的。 2、分析解题思路、探求解题途径,发现解题规律、掌握解题方法是培养学生解题能力的核心和关键。一个正确的解题途径、一条正确的解题思路的形成过程是比较复杂的,它涉及到学生的基础知识水平、解题经验和

19、解题能力等因素。虽然就其思维形式而言,只有由因导果和执果索因的综合法和分析法两种,但就探索解题途径的策略、方法和技巧等问题而言,确是丰富多彩、千变万化和灵活多样的。因此,分析思路、探求途径是解题教学的重点,也是提高学生解题能力的核心、关键所在。这就要求我们教师在教学中做好以下几方面的工作：1帮助学生掌握解题的科学程序。就是把整个解题过程分为前述的四个程序进行。掌握了这个科学程序,使解题过程程序化,就能使学生对解题总过程有一个有序框架,形成一种思维定势和化归的趋势,做到目标清楚、思维方向明确。为此,在教学中对于所有例题的讲解及示范解题,都要充分展现解题过程的四个程序及每个程序进行的过程,并且不断

20、给以总结、反复强调。使学生在日积月累的熏陶中去掌握解题程序,领悟各程序中思维的方向和思维的进程。当然,这样做就必须要求教师事先要对例题的选取和设计进行深入研究,对例题的目的意图、隐含条件的析取、干扰信息的排除、思维偏差的纠正、解题策略的制定、解题关键的把握以及解题后的开拓和引申等都要做到心中有数。只要这样,才能避免就题论题、就事论事、无法展现思维过程的形式主义教学,从而真正达到解题教学的要求。2帮助学生掌握解题的策略原则。探索解题途径,主要是根据审题提供的依据,制定解题策略,探索解题方向转化命题是关键,沟通靠拢条件,把所面临的问题逐步靠拢和转化为既定解法和程序的规范问题,然后利用已知的理论、方

21、法和技巧,实现问题的解决。因此,在教学中,必须结合例题的示范教学,有计划、有目的地帮助学生掌握解决数学问题的策略原则,培养和提高学生的探索能力。3帮助学生掌握转化的数学方法。在教学中结合例题教学,帮助学生掌握一些常用的变形手段和转化方法,帮助学生理解这些方法的原理,把握方法的要点、作用、使用条件、使用范围以及这些方法的变式,学会灵活运用。在初中数学中,除了上述的分析法、综合法、归纳法等推理方法外,常用的还有换元法,消元法,代定系数法等。3、理顺解题思路、严格依据逻辑规律表达出规范化的解题过程是培养学生良好的解题习惯的重要途径。一般来说,各种形式的数学习题都有一定的解答格式,解题中要严格按标准格

22、式表达,当然,根据学生的不同学习阶段,标准格式的详略可以不尽相同,但逻辑顺序不能违反,证明推理中关键步骤的大前提必须表达清楚。这样做,可以培养和提高学生的逻辑思维能力和逻辑表达能力,同时也有助于学生解题能力的提高。4、回顾与探讨解题过程,养成解题后的反思习惯,也是提高学生解题能力的基本途径。解题后的回顾与探讨、分析与研究就是对解题的结果和解题的方法进行反省,对解题中的主要思想观点、关键因素及类同问题的解法进行概括、推广,从而帮助学生从中提炼出数学的基本思想和基本方法加以掌握,成为以后解新的问题时的有力工具。因此,使学生养成解题后的反思习惯,是解题教学非常重要的一环,必须十分重视。解题后的回顾,

23、包括检验结果、讨论解法和推广三个方面。1检验结果。主要是核查结果是否正确无误,推理是否有据,解答是否详尽无漏。2讨论解法。主要是改进解法或寻求其它不同的解法；分析解法的特征、关键和主要思维过程；总结规律,概括为一般性的解法定势等。这将有利于开拓思维、积累经验、整理方法,有助于增强思维的灵活性和发展提高解题能力。3推广。解题后一般可朝三个方向进行推广。一是一般化,就是减弱问题的条件,把结果推广到条件更一般的情形,从而研究结论会有什么变化；二是特殊化,就是强化问题的条件,把结论用于条件更特殊的情形,从而研究结论又会有何变化；三是发展性推广,就是在原有条件、结论的基础上,进一步发展其空间形式或数量关

24、系所得到的变化,它既不是一般化,也不是特殊化。例如,证明任意四边形的四边中点顺次连结成一个平行四边形以后,可进一步发展推广为：这个平行四边形的周长等于原四边形的两条对角线长之和。解题后的推广,也是培养学生积极思维、发明发现、创造突破能力的有效途径。如果能让学生养成习惯,那么就可以在解题训练中跳出题海,通过少而精的解题,收到很大的效益。5、合理调控解题活动,全面提高学生的解题能力素质。学生的解题活动最能促进思维的发展,要使解题活动在发展学生思维上取得最佳效果,还必须合理地调控学生的活动,全面提高学生解题能力的素质。这是因为数学解题活动必须由学生亲自参加、独立进行,才能在实践中增长才干、提高能力；

25、但是现代心理学的研究表明：学生的解题活动又必须置于教师的合理调控之下,依据学生思维发展的规律,为学生主动、独立地参与解题活动创设情境、启迪思维、指明方向。这就是说,要提高学生的解题能力,在教学中应该发挥教师的主导作用,引导学生发挥积极主动参与的主体作用。具体地说,应该做好以下工作：1创设情境、调动学生积极思维,培养他们的学习兴趣,培养他们独立进行解题的能力。一般来说,解题教学的情境创设,主要包括问题情境的提供；解题基础知识、经验的准备；思维障碍的排除和问题情境激发的情感和动机状态等方面。在教学中,如果教师能针对这些方面,努力为教学情境的创设作好分析、奠基工作,就一定会有助于学生开展有成效的解题

26、活动,从而提高他们的解题能力。2有系统、有层次地精心选配习题,合理组织训练、重点培养学生的基本数学思想和数学方法及其运用的能力。一般来说,解题教学中,除了要求例题的选配要具有目的性、典型性、启发性和延伸性等特点外,一般还应提供学生独立练习的习题,在选配时注意适用性、巩固性、实践性和发展性的原则。这里还应指出,数学习题的题型应该多样化,提高学生的解题胃口。但这并不排除传统的、富有启发性的老题、陈题,不少好的题目仍然有使用价值；同时,也应该反对选编那些一味追求新花样的偏题、怪题和难题,这样是不利于学生发展的。总之,培养学生的解题能力要通过掌握科学的解题程序、掌握解题的策略和方法、技巧；要通过我们教

27、师引导下的主动参与活动；通过创设问题情境、调动学生的智力与非智力因素等基本途径。因此,要使学生的解题能力达到较高水平,并上升为一种创造才能,就要在整个的教学的过程中,始终都要注意培养和发展学生解题能力的各种因素,注意提高学生的整体素质。只有这样,解题能力的提高才有根底和源泉,解题的功底才扎实。三：详细解题方法教程摘要：在与北京地区十余位高中毕业班学生的接触后,结合我自身的经验,我发现当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去套,这只是满足于解出来,只有对数学方法融会贯通时,才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学解题方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学

28、思想方法。我们要有意识地应用数学解题方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学解题方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学方法和思想也还是对你起作用。数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说,知识是基础,

29、方法是手段,思想是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学方法和数学思想的认识和运用,数学素质的综合体现就是能力。为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本文浅陋介绍高考中常用的数学基本解题方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法。在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以两种典例的形式出现。示范性典例进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范,再现性典例是一组简单的选择填空题进行方法的再现旨在检查学习的效果,起到巩固的作用。每个典例中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重

30、要章节的数学知识。关键词:高考 解题方法 数学解题 技巧 数学思想 配方法 换元法 待定系数法 数学归纳法 参数法 消去法 反证法1、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形配成完全平方的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用裂项与添项、配与凑的技巧,从而完成配方。有时也将其称为凑配法。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式a2abb,将这个公式灵活运用,可

31、得到各种基本配方形式,如：ab2ab2ab；aabbab3abb；abcabbccaabc22结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如：1sin212sincossincos；x22 ； 等等。1.1、示范性典例：例1.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6分析先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。解设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24而得：。长方体所求对角线长为：5所以选B。注本

32、题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程xkx2=0的两实根为p、q,若+7成立,求实数k的取值范围。解方程xkx2=0的两实根为p、q,由韦达定理得：pqk,pq2 ,+7,解得k或k。又p、q为方程xkx2=0的两实根,k80即k2或k2综合起来,k的取值范围是：k或者k。注关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式；已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通

33、分后配方,表示成pq与pq的组合式。假如本题不对讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。例3.设非零复数a、b满足aabb=0,求 。分析 对已知式可以联想：变形为10,则 为1的立方虚根；或配方为ab 。则代入所求式即得。解由aabb=0变形得：10 ,设,则10,可知为1的立方虚根,所以：,1。又由aabb=0变形得：ab ,所以 2 。注 本题通过配方,简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根,活用的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。另解由aabb0变形得：10 ,解出

34、后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由aabb0解出：ab,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。12、再现性典例：1. 在正项等比数列a中,asa+2asa+aa=25,则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知sincos1,则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog 的单调递增区间是_。 A. , B. ,+ C.

35、5. 已知方程x+x+a-1=0的两根x、x,则点P在圆x+y=4上,则实数a_。简解 1小题：利用等比数列性质aaa,将已知等式左边后配方aa易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式r,解r0即可,选B。 3小题：已知等式经配方成2sincos1,求出sincos,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3。2、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新

36、对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220,先变形为设2tt0,而变为熟

37、悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时,易发现x0,1,设xsin ,0,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyrr0时,则可作三角代换xrcos、yrsin化为三角问题。均值换元,如遇到xyS形式时,设xt,yt等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。

38、2.1、示范性典例：例1. 实数x、y满足4x5xy4y5 式 ,设Sxy,求的值。全国高中数学联赛题分析 由Sxy联想到cossin1,于是进行三角换元,设代入式求S和S的值。解设代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ； -1sin21 385sin213 此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2的有界性而求,即解不等式：|1。这种方法是求函数值域时经常用到的有界法。另解 由Sxy,设xt,yt,t, 则xy代入式得：4S5=5, 移项平方整理得 100t+39S160S1000 。 39S160S1000 解得：S注 此题第一种解法属于三角换元法,主要是利用已知条件Sxy与三

39、角公式cossin1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于均值换元法,主要是由等式Sxy而按照均值换元的思路,设xt、yt,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和均值换元法类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设xab,yab,这称为和差换元法,换元后有可能简化代数式。本题设xab,yab,代入式整理得3a13b5 ,求得a0,所以S2a,再求的值。例2 ABC的三个内角A、B、C满足：AC2B,求cos的值。96年全国理分析 由已知AC2B和三角形内角和等于180的性质,

40、可得 ；由AC120进行均值换元,则设 ,再代入可求cos即cos。解由ABC中已知AC2B,可得 ,由AC120,设,代入已知等式得：2,解得：cos, 即：cos。另解由AC2B,得AC120,B60。所以2,设m,m ,所以cosA,cosC,两式分别相加、相减得：cosAcosC2coscoscos,cosAcosC2sinsinsin,即：sin,代入sincos1整理得：3m16m120,解出m6,代入cos。注 本题两种解法由AC120、2分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元,也

41、可由三角运算直接解出：由AC2B,得AC120,B60。所以2,即cosAcosC2cosAcosC,和积互化得：2coscoscoscos,即coscos,整理得：4cos2cos30,解得：cos y , , x例3. 设a0,求f2asinxcosx2a的最大值和最小值。解 设sinxcosxt,则t-,由12sinxcosx得：sinxcosx fg a0,t-,t-时,取最小值：2a2a当2a时,t,取最大值：2a2a ；当02a时,t2a,取最大值： 。 f的最小值为2a2a,最大值为。注 此题属于局部换元法,设sinxcosxt后,抓住sinxcosx与sinxcosx的内在联系

42、,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围t-,与sinxcosx对应,否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f,经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4. 设对所于有实数x,不等式xlog2x loglog0恒成立,求a的取值范围。87年全国理分析不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式

43、的有关变形后不难发现,再实施换元法。解 设logt,则loglog3log3log3t,log2log2t,代入后原不等式简化为3tx2tx2t0,它对一切实数x恒成立,所以：,解得 t0即log001,解得0a1。注应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元,关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时,使用了判别式法。另外,本题还要求对数运算十分熟练。一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。例5.

44、已知,且 ,求的值。解 设k,则sinkx,cosky,且sincosk1,代入式得： 即：设t,则t , 解得：t3或或另解 由tg,将等式两边同时除以,再表示成含tg的式子：1tgtg,设tgt,则3t10t30,t3或, 解得或。注 第一种解法由而进行等量代换,进行换元,减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为,不难发现进行结果为tg,再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时,都使用了换元法使方程次数降低。例6. 实数x、y满足1,若xyk0恒成立,求k的范围。分析由已知条件1,可以发现它与ab1有相似之处,于是实施三角换元。解由1,设cos,sin,即： 代入不等

45、式xyk0得：3cos4sink0,即k3cos4sin5sin 所以k0 k 平面区域本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系,不等式axbyc0 0所表示的区域为直线axbyc0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上xyk0的区域。即当直线xyk0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时,方程组有相等的一组实数解,消元后由0可求得k3,所以k-3时原不等式恒成立。2.2、再现性典例：1.ysinxcosxsinx+cosx的最大值是_。2.设flog a1,则f的值域是_。3.已知数列a中,a1,aa

46、aa,则数列通项a_。4.设实数x、y满足x2xy10,则xy的取值范围是_。5.方程3的解是_。6.不等式log log2的解集是_。简解1小题：设sinx+cosxt,则yt,对称轴t1,当t,y；2小题：设x1t ,则flog-4,所以值域为,log4；3小题：已知变形为1,设b,则b1,b1n,所以a；4小题：设xyk,则x2kx10, 4k40,所以k1或k1；5小题：设3y,则3y2y10,解得y,所以x1；6小题：设logy,则y2,解得2y1,所以x。3、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式

47、恒等,也就是利用了多项式fg的充要条件是：对于一个任意的a值,都有fg；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；第二

48、步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析： 利用对应系数相等列方程； 由恒等的概念用数值代入法列方程； 利用定义本身的属性列方程； 利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。3.1、示范性典例：例1. 已知函数y的最大值为7,最小值为1,求此函数式。分析求函

49、数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到判别式法。解 函数式变形为： x4x0, xR, 由已知得ym040 即： yy0 不等式的解集为,则1、7是方程yy0的两根,代入两根得： 解得：或 y或者y此题也可由解集而设0,即y6y70,然后与不等式比较系数而得：,解出m、n而求得函数式y。注 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用判别式法处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解；二

50、是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的判别式法：将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用判别式法的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例2. 设椭圆中心在,它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是,求椭圆的方程。 y B x A F O F A B分析求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再

51、将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程。解 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c,则|BF|a解得： 所求椭圆方程是：1也可有垂直关系推证出等腰RtBBF后,由其性质推证出等腰RtBOF,再进行如下列式： ,更容易求出a、b的值。注 圆锥曲线中,参数a、b、c、e、p的确定,是待定系数法的生动体现；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据a、b、c、e不变,本题就利用了这一特征,列出关于ac的等式。一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是：设方程或几何数据几何条件转换成方程求解已知系数代入。例3. 是否存在常数a、b、c,使

52、得等式1223n对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 89年全国高考题分析是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组,解方程组求出a、b、c的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。解假设存在a、b、c使得等式成立,令：n1,得4；n2,得22；n3,得709a3bc。整理得：,解得,于是对n1、2、3,等式1223n成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立：假设对nk时等式成立,即1223k；当nk1时,1223k 3k53k5k12k2431110,也就是说,等式对nk1也成立。综上所述,当a8、b11、c

53、10时,题设的等式对一切自然数n都成立。注建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列12n、12n求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解：由nn2nn得S1223n22,综上所述,当a8、b11、c10时,题设的等式对一切自然数n都成立。例4. 有矩形的铁皮,其长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大,最大容积是多少？分析实际问

54、题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。解 依题意,矩形盒子底边边长为cm,底边宽为cm,高为xcm。 盒子容积 Vx4x , 显然:15x0,7x0,x0。设Vx 0,b0 要使用均值不等式,则解得：a, b , x3 。 从而Vx27576。所以当x3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm。注均值不等式应用时要注意等号成立的条件,当条件不满足时要凑配系数,可以用待定系数法求。本题解答中也可以令Vbx 或 bx,再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组,求出三项该进行凑配的系数,本题也体现了凑配法和函数思想。3.2、再现性典例：1. 设fm,f的反函数fnx5,那么m、n的值依次为_。A. , 2 B. , 2 C. , 2 D. ,22. 二次不等式axbx20的解集是,则ab的值是_。A. 10 B. 10 C. 14 D. 143. 在1x的展开式中,x的系数是_。A. 297 B.252 C. 297 D. 2074. 函数yabcos3