高等电磁理论汇总

《高等电磁理论汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等电磁理论汇总（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高等电磁理论作业一.举例说明为什么引入位函数，怎样引入。可题：有源区非其次矢量波动方程或非其次矢量赫姆赫兹方程中的场源分布形式十分复杂，直接求比较困难。为了求解有源区场，可仿照经太长引入矢量和标量位函数求解，一下将介绍利用各种位函数求解电磁场的方法，从而得出各种位函数的优缺点及应用条件。分析：1.矢量磁位A和矢量申位在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于B 0引入矢量磁位A满足BA将上式带入法拉第电磁感应定律，得：(E0t由于标量函数的旋度为零，引入标量位，满足 E )t由上式得E-A由此可见，只要求出辅助4 A和，则可根据以上分析求解出电磁场。(1)特点：A和是不唯一的，均具有任意性

2、，现取另一标量函数U,定义转换关系：A A UU将上式代入，得到：B A (A U) AAUA 一E() (AU )7 可见，经过变换，场量仍不变，利用规范函数 U的任意性，可以构成无限多个辅 助位A和，但却仍得到同样的电磁场，也就是说，虽然 A和是不唯一的，均具有 任意性，大门由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。同时利用此规范，可灵活的规定A和之间的关系，以简化辅助位A和的方程。矢量磁位A和标量电位在库仑规范下满足一下关系：22AArJ ()t2t在库仑规范下矢量磁位 A的源始电流密度的无散部分或横向电流:2A/J2Jtt(J t电流密度矢量的无散部分)(2)优越性：通过在规范条件下

3、，A和之间的关系：22A_A ；2A21J ; Ett(3)矢量位分量表示的电磁场a.条件：对于时谐场；当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量电位m忽然矢量磁位A后。总电磁场为电型源和磁型源产生的场之和，即:uuuuuururEITJ)-uur(AAmITL(uuuuurAAmJm：uuHurEULUULTk2uuuAmuuHurAk2uurAm在球圆坐标系中，如果取uuuAmurA带入1, 2式中得urITA AreTuurueT 。.uuumA 0Ht=0, H1u sinEr . 2jk2/(ru) 2 、2 k ru), r1 2(ru)2(ru)2jk r2.jk rsin r如果取I

4、Tm Aurm_A erurer rvit,A代入，Er=0,1 sinHr坐 k2ruT)，H1 2(ru)j一Hk T T12(ru)jk2 r sin这是关于人的TE波，v满足齐次标量亥姆霍次方程urir uur在直角坐标系取 A ezAz.Am0.Az满足：22AZ+k Azurm 如果取AururezAzm.A 0.Azm满足：2Azm+k2 Azm 0同理可得在圆柱坐标系下,ururITmA ezAzm表示波是关于z的TM波，AurezAz表示的波也是对于无源区可得关于z的TE波。Am,b.特点和优越性在无源区，对关于 z的TE波，在直角坐标系，圆柱坐标系下就可以用一个变量Az来表

5、示，同理可知关于x的TE, TM在两坐标系的情况，y的TE,TM在两坐标系的情况。对于德拜位函数的引用是球坐标系中，也只需要引用一个标量的 TE波引用rv,T的TM波引用ru通过引用这些标量，就能够简化 E和H的计算复杂度。在电磁场问题中，有时采用矢 量磁位和矢量电位的各一对应分量作为独立标量是十分有利的。举例：对直角坐标系下取irAir ezAzir mA 0。我们可以得Hx1y1 Az 5 x2AHz 0, Ex z，入2jk x zEy2 Azjk2 y z2Ez.1 2 (2jk zk2)Az。求复杂的电场问题就可以简化。对电场和磁场问题直接就与一个Az有关,Az通过齐次标量亥姆霍次方

6、程求得。2.矢量电位Am及标量磁位mv(1)条件: 及标量磁位在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由gD 引入矢量电位Am mv(H由标量函数的梯度的旋度为零，引入标量磁位O使得其满足(2)特点：矢量电位Am及标量磁位tm和矢量电位A及标量磁位具有对偶性，可是Am和m也具有唯一性。m引入标量函数U ，定义变量函数,m(AU)7)(m(A tU)，m(mAt故：Am和 m不具有唯一性。是任意的。但是场量任然是不变的，利用对偶原理:gAm在gAm 0的条件下，矢量电位Am的源是磁流密度Jm的无散射部分2 gAm2Amt2(3)优越性：在洛伦磁规范条件下:gAm2 gAm2Amt2通过以上4式

7、可以计算 H的解。3赫兹矢量m e,A赫兹矢量特别适合于计算发生极化和磁化时产生的二次场mm,te为电赫兹矢量,m为磁赫兹矢量2t22t2Jdt Pm MJ dt 在无源区理想介质中，方程中 P及时极化强度， M就是磁化强度，说明电赫兹矢量磁赫兹矢量m分别是由极化强度和磁化强度产生的场二.推导等效原理和感应定理公式及应用等效原理：(一).公式推导等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理，可用下图进行介绍：(1)是原课题，界面 S内有电流，磁流源，这些源在 S面内部和外部产生 E1, Hl和E2, H 2 设一个等效课题，在 S面上设有等效电磁流源，满足在S面外产生与原课题相同的

8、场分布，而在面内场为0;卜面介绍常用的三种等效形式，具体如下图所示E,H图（a）为原问题第一种等效：如图b）所示，假设S内的场为0; S上有等效电磁源Js, MS，满足Js n H ；Ms E n；由边界连续性条件可知，此等效问题S外的场切向分量与原问题相同，根据唯一性定理可知此问题与原问题在 S外的场分布式相同的， 因为S内的场为0,因而我们可进一步设 S内 填充与S外相同的均匀介质，这样原问题便等效成 S面上等效电磁源Js, M S在均匀介质 中产生场地问题。第二种等效：如图（c）所示，假设S内填充理想导电体，这样 S内场为0;由互易定理可知 理想导体面上的电流源不会产生辐射，故我们只需考

9、虑MS的作用，使其在 S外产生的场与原问题相同，需满足 MS E n，由边界连续性条件可知，此等效问题 S外的场切向分 量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导电体上等效磁流M S产生场地问题。M s(c)(d)第三种等效：如图(d)所示，假设S内填充理想导磁体，这样 S内场为0;由互易定理可知 理想磁体面上的磁流源不会产生辐射，故我们只需考虑Js的作用，使其在 S外产生的场与原问题相同，需满足 Js n H ,由边界连续性条件可知，此等效问题 S外的场切向分量 与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导磁体上等效磁流js产生场地问题。第一种的解析解：在自由空间中根据A 0 H A?H 0(E

10、 jA) 0E j A(1)选择？ A j?J因为标量亥姆霍兹的标量格林函数为：G(ri) ejk1/4 r 7其中r为源点位置，r代表场点位置，于是A(r) J(r )G(r r )dr (2)?A(r)(3)2. 21也可以通过求解k ？J得到，即j(r)-1-?J(r)G(rr)drE有两种形式，一种是将(2), (3)代入(1)中得E j A(5)(6)j (A )j ( A ) jj? A1j ( Aj 1 7 JGdrk另一种是将(2), (4)代入(1)中得E j Aj ( A )j1j J 7( ?J)Gdr k从而得到 H J Gd厂为了书写简洁，引入记号 L,K_1一L(x

11、) jk x 了( ？x)Gdr kK(x) x Gd)则电磁场便可写作E zL(x) z J- H K(J)对于(5),在等效源无需作用的情况下，在某些情况下能化简场得到简洁的表达式，此表达形式一般用于计算远场：对于(6),对场点作用在格林函数 G中，对源点作用在等效源点，一般用于计算近场。用相同的方法可以求出等效磁流产生的场：E K(M)1H - L(M) z根据线性叠加原理，电磁流共同产生的场便为E ZL(J) K(M)一 1H 1L(M) K(J)(二)应用举例介质体的积分方程Vi( 1, 2)如图：S面为介质体的表面。入射波EiHi ,可以透过S面刀达介质体内部。在求介质体外VirE

12、去空间一点的电磁场仍可用r rEiEsi r .丁 2 ji . 一“蜒 sir g(? E)(?rE)即有：V1区:n?iEi(r)?iEi(r)g(? H) (?r g (n? E)gi(n?iHi)rE)gdsrg (n? E) gdriE1来求。(i? Hi) (? Ei) gi (? Ei) gi ds在V2区:V2区：入射场就是S面上源分布的贡献，则V2区空间一点的电磁场为:传 Ez(r)!?2sjg2(?2 H2) (n?2H2)(n?2E2)g2(n?2 E2)g2ds上式中：gi=jkigii.2)ki(i=i2)在S面上场切向分量连续,有:?i (EiE2)0；?i(HiH

13、i)又D得法向分量连续，即:?i(iEi正2)以下是用面积分方程求解S面上的电磁流密度 Js和Ms。由图可知，rrn2；由式得:一 i i 一r?E(r) 4r-J j g(?H)(gig2)(?E) (gig2)(n? E) (gi g2)ds2（式相加） 同理，对磁场有:八 i11r? H (r) n? j1(? E)(g1 g?) (? H) (g1 g?) (?H) (g1 g2)ds4 s2式左边是 V1空间一点(r)的入射场与n的叉乘，右边面积分的 E,H是S面上总电磁 场的切向分量，n是S面得外法向单位矢量。当场点落在 S面上时，中的面积分。s改 用为主值积分，即：1 一r? E

14、 (r) n? j g(? H)(g1 g?) (? E) (g1 g?) (n? E) (g1 g?)ds 4 s2(r s)一 i1 一r? H (r)? A j 1(? E)(g1 g?) (? H) (g1 g?) (?H) (g1 g?)ds4 s?(r s)- 1 一r? E(？ H )j- 1_ _ r? H - (? E) j等效电流源，磁流源：JS ? H (11)e r?将，(11),代入，可得介质体适用的积分方程：一i11r? E (r) n? j g(? H )(g1 g?) (? E) (g1 g?) (n? E) (g1 g?)ds 4 s2(r s)八 i11r?

15、 H (r)? j 1(? E)(g1 g?) (? H) (g1 g?) (? H) (g1 g?)ds4 s?(r s)感应原理感应原理是电磁理论中有关散射场与入射场关系的一个重要的原理。（一）公式推导：感应原理提供了一种由已知投射到障碍物上的入射场来求其反射场或散射场的方法。uruurur uur设Ei , Hi表示无障碍物存在时给定源激发的场，即入射场 Ei , Hi表示有障碍物存在时给定的源和障碍物上的感应源激发的总场。如图a所示，总场与入射场之差：(a)(b)urirurtuururuurEsEEi； HsHHi成为障碍物的散射场，散射场是障碍物表面上的感应源辐射的场对于障碍物之外

16、区域的散射场来说，可将实际的边值问题用在障碍物之反保持散射场。而在障碍物内保持总场这样的边值问题等效。这是为保障两问题在障碍物之外的散射场和障碍物uur uir内的总场不变。则在障碍物表面上应有等效源js ,J：。如图b,利用等效原理，在障碍物表S , S面上的等效源为uruu uuurJS en (HsuuH)；Umirs urJs (EE)uuen由可知：uuuur uu uuruu urJsHiJmenEi两式说明，数值等于入射场切向分量的等效源在障碍内激发总场，在障碍物外激发散射场 当障碍物为理想导体时，得uuiruunruurenEen(EiEs)0uuruiruauuuur等效面磁

17、流为：J：EsenenEi因此当障碍物为理想导电体，感应原理中只需考虑等效面磁流。(二)应用举例平面波垂直投射到位于 x=0平面，边长为a的矩形导电平板上，此平面波e jkr,应用感应原理散射场的等效源为 Jsm en E ,Jsm en E= ezE0;x 0 ;Jsm en E = ezE0;x 0jLE(3A散射场可以看成是由导电板存在时,其左右两侧外表面的面磁流J m激发的。为近似计算导电平板左右两侧外表面的面磁流Jm辐射的场，用无限大的导电平板代替有限大的导电平板，背向场源一侧的面磁流对后向散射场将无贡献, 的面向场源一侧的面磁流计算。利用镜像原理，后向散射场可用两倍如果导电平板的尺

18、寸远小于波长，感应面磁流源课近似为方向沿 ma/2a/2 mm 22 .I l a/2 a/2 Js d yd z Js a a E0z的磁流元根据对偶原理，由电流元的辐射磁场可得磁流元的辐射电场，也就是导电平板的后向 磁场2jE 0 a jkr .e sin三.Stratton-Chu公式的推导在电磁场问题中，如果考虑所有的有源区域是均匀的各向同性的线性媒质, 次矢量亥姆霍兹方程时谐电磁场非齐Vx Vx E - k:E =J国Vx VxH-k=H = -jwJra-xJ考虑到一般的情况，设区域是由表面S以及外表面S所围成的，如图所示。下面利用矢量格林定理求解。矢量格林定理为：-Q x 7 x

19、 P dSIH(Q-7xVmxP - P VxVxQcV= &CPx7xQ式中封闭面的法向指向区域V之外。P和Q为在区域V内具有二阶导数连续，在边界上具有一阶导数连续的任意矢量函数。求解方程(2)时，令P=E, Q=ag, a为任意常矢量，g为自由空间格林函数。为保证 Q在区域V内具有二阶导数连续，以取以 r为为球心半径为b的 小球面 将r点排除在格林定理考虑体积之外。于是(3)式成为：(4)ga-VxVxEE-V?V ?Ug = V- E(a-Vg)- (a- E将以上两式代人(4)式，并考虑到V- E = p/, (3)式变为:V-E(-Vg)dV =|JaWREl +JmX g7- Vg

20、)dV+ a* jj| V X(gJmdV+ IIi利用矢量恒等式V-tAxB = B-Vx:A-A-VxB ,上式左边第二项为:amV(g)dV=gjx a endS（5）式左侧第三项为:川 VE(a 国5=a-g(ea E)Vfc!SC8)再对（5）式右侧的被积函数进行变换。第一项为:E x V M （ag） en = ；en x E）x Vg - a第二项为gax（VxE） r = j叫眄（, mH） + 即 但口黑力由于a是任意的常矢量，于是，（5）式成为：川回闻+产乂铜一卜的身= # 网+ 用於电dSVS-fSSj当小球面S的半径趋于零时，可以证明，上式右侧在球面S上的积分趋于 王（

21、）。为了习惯起见，交换变量r和r的位置，上式变为：EW = jjl I的啾吟+) x Vfg+ dT+ v- Bfr9)xrff+ 0 - E(r()xTgdSJff Dw|i(eflxH(r9)g + (en(10)对于磁场，类似可以得到:H r：-j311gli斑+()XFg +手相时+ f g帆乂虹帆S -5 +5：(11)以上两式称为Stratton-Chu公式。公式表明，观察点的电磁场由两部分积分贡献组成，一部 分为观察点所在区域中的源的贡献，观察点所在区域中的源包括电流密度、磁流密度、电荷、磁荷；另一部分为观察点所在区域外的源的贡献，这部分贡献取决于边界电磁场的切向分量和法向分量。

22、四.由Stratton-Chu公式推导电磁场积分方程对于任意形状物体散射问题的有效解法是建立散射问题的积分方程，然后利用对于积分方程有效的数值解法，例如矩量法等，求出数值解。在散射问题中，可以取散射体的表面或包围散射体的适当的闭合面作为s面，而将s面扩展到远处取为半径十分大的球面，并使场源位于s面外。这时由于体积 v内没有体分布的场源，电磁场的积分表达式中的体积分 为零，仅有面积分项：，_ _Er 0jenHrgenEr g qgE r g dS(1)s s ，H r 0jen E r g en H r gengH r g dS(2)，s s式中闭合面的法向单位矢量 en的正方向指向 V内。在

23、此散射问题中场源只可能存在于两个区域：一个是S面以外的区域，入射波就是由这个区域中的源产生的；另一个是 S内的区 ，域，这个区域的源广生散射波。在大球面S上，被积函数中的电磁场可表示为入射场与散射场之和，即E Ei Es,H H i Hs(3)下面证明散射场在大球面 S上的积分贡献为零。当面积分在大球面S上进行时，r是端点在很大(趋近于无限大)球面S，上的矢径，而r是端点在有限远处的矢径，因此格林函数近似为jkrlim g -rejkerr, g jke，g(4)r 4 rr，这样式(1)中在大球面 S上后两项可化为n Es g n Es g jk n Es n n Es n g jkgEs

24、jkZn H S j gn H显然有E r o j ns由此可见，散射场对S上的积分没有贡献,S上的积分有贡献的只是入射场,L s g ngE r g dS r式（1）可化为同理由式Ei rHijen H r gO jen E r gs（3）,就可以得到散射场的积分表达式q jen H r genE rsengE rengEengHdSdSdS(5)(6)q jenE r g en H rsengH rdS(7)可以看出，要求出散射场，必须求出s面上的电磁场分布。求解S面上的电磁场分布可以通过建立在 S面上的电磁场分布的积分方程来解决。为了建立S面上电磁场分布的积分方程，须将式（4）、（5）中

25、的场点r移到S面上，但这式S面上的面积分会发生奇异性。因此需要用小球面&包围r点，并将它一起移到 S面上，如图:由于小球面S0使S面上与S0面相邻接的部分发生弓t簧变形，计算S面上的积分时须将其分为两部分：与S0 相邻的部分S1 和其余部分S2 。显然对小球面S0 的面积分有：Jmr 6 jen H r g en E r genf r g dS E rs0如果 S 面的切平面在 S 面上是处处连续变化的，在r r 的极限下，S1 面可以看做是以 r 点为中心的小平面，但由于S0 与 S1 面的法向相反。所以有limr q jenH r g en E r gengE r g dS E r /2s

26、1将无穷小面积S1 中的奇异性分离出去后， S 面得其余部分的积分为主值积分，式（4）就可以写成iE r 2E r 2 jen Hg en E r gengE r g dS （ 8）s相应的磁场积分式为iH r 2H r 2 jenE r g en H r gen gH r g dS （9）s（ 表示主值积分）以上两式分别为电场积分方程（ EFIE）和磁场积分方程（MFIE）。参考文献：1 谢处方 吴先良 电磁散射理论与计算. 合肥： 安徽大学出版社， 2002.102 Roger F.Harrington Field Computation by Moment Methods. The Macmillan Company First Printing, 19683 傅君眉 . 冯恩信 . 高等电磁理论. 西安：西安交通大学出版社， 2000.12