一元二次方程根与系数的关系课件(1)

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1、一元二次方程一元二次方程 根与系数的关系根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的的解的情况怎样确定？一元二次方程的的解的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？一元二次方程的求根公式是什么？) 0( 02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000) 04(2422acbaacbbx知识小竞赛知识小竞赛设设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表是下列一元二次方程的两个根，填写下表一元二次方程一元二次方程 方程的两个根方程的两个根 X1+X2 X1X2 X25X6=0 X1= X2= X24

2、X3=0 X1= X2= 2X2X1=0 X1= X2= 3X2X2=0 X1= X2=2313121234651231121323猜想：猜想：根据所填写的表格，请你猜想出根据所填写的表格，请你猜想出x1 + x2 ， x1 x2与与 方方 程程 的系数有什么关系吗？的系数有什么关系吗？ 证明你们的猜想已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax1x2xacxx21abxx21求证：求证：已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元

3、二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02

4、acbxaxabxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxax求证：求证：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacxx21求证：求证：abxx21已知：已知：如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个根分别是 、 。) 0( 02acbxaxacaacbbaacbbaacbbxx2222222144)24()24(ababaacbbaacbbxx2224242221证明证明： 如果一元二次方程如果一元二次方程 的两个根分别是的两个

5、根分别是 、 ，那么：，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x这就是一元二次方程一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系，也叫，也叫韦达定理韦达定理。归纳：归纳： 韦达韦达（15401603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有分析方法入门、论方程的识别与订正等多部著作。qxxpxxxxqpxx212121

6、20,则：，的两根为若方程特别地：推论：巩固训练巩固训练: 1.下列方程两根的和与两根的积各是多少下列方程两根的和与两根的积各是多少(不解方程）不解方程）（1 1）x x2 2- -3 3x+1=0 x+1=0 （2 2）3x3x2 2-2x=2-2x=2（3 3）2x2x2 2+ +3 3x=0 x=0 （4 4）3x3x2 2=1=1已知方程已知方程 的两根之和的两根之和与两根之积相等，那么与两根之积相等，那么m m的值为（的值为（ ） A.1A.1 B.-1 B.-1 C. 2 C. 2 D. -2 D. -2方程方程 的两根和为的两根和为4 4，积为，积为 -3-3，则，则a=a= ，

7、b=b= 。xmxm2210()2202xaxbB8-3x x2 2+kx-6=0+kx-6=0的一个根是的一个根是2 2，求，求它的另一个根及它的另一个根及k k的值。的值。解：设方程的另一个根是解：设方程的另一个根是x1那么 2x1=- x1=-.又（-）+2=- k=-5 （-）+2 =-7答：方程的另一个根是-，k的 值是-7。运用运用1 1、求方程另一个根及、求方程另一个根及k k的值的值2.2.已知已知 是方程是方程x x2 2+mx+7=0+mx+7=0的的一个根一个根, ,则则m=_,m=_,另一根另一根为为_. _. 3- 2已知方程已知方程3 x x2 2-19x+m=0-

8、19x+m=0的一个根的一个根是是1 1，它的另一个根是，它的另一个根是 ，m m的的值是值是 。例例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方程的两个根是x1 x2那么 x1+x2 = x1x2=3212=（-）2-2（-）=（1）（x1+x2）2=x12+2x1.x2 + x22 x12+x22 = （x1+x2）2 - 2x1.x2 (2)1212123112312xxxxxx运用运用2 2：求关于两根的代数式的值：求关于两根的代数式的值设设 x

9、1 、 x2是方程是方程 的两个根，利用根与系数的的两个根，利用根与系数的 关系，求下列各关系，求下列各式的值：式的值：22430 xx12(1)(1)xx（1）（2）2112xxxx （3 3）331212+x xx x2112+1+1xxxx（4 4）练习：练习： 2、若关于若关于x x的一元二次方程的一元二次方程 的的两个实数根分别是两个实数根分别是 , ,且满足且满足 . .求求k k的的值值. . 22430 xkxk12,x x1212xxx x运用运用3 3 根的判别式与根系关系的根的判别式与根系关系的 综合运用综合运用1 1、已知方程、已知方程x x2 2+(2k+1)x+k+

10、(2k+1)x+k2 22=02=0的两实根的两实根的平方和等于的平方和等于1111，求，求k k值。值。已知关于已知关于x x的方程的方程 kxkx2 2-2(-2(k k+1)+1)x x+ +k k-1=0 -1=0 有两有两个不相等的实数根，个不相等的实数根， 求求k k的取值范围；的取值范围；是否存在实数是否存在实数k k，使此方程的两个实数根，使此方程的两个实数根的倒数和等于的倒数和等于0 0 ？若存在，求出？若存在，求出k k的值；的值；已知一元二次方程已知一元二次方程 。当。当b b为何值时，方程有一正、一负两个根？为何值时，方程有一正、一负两个根？ 210200 xxb 2.2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，首先要应用一元二次方程的根与系数的关系时，首先要把已知方程化成一般形式。把已知方程化成一般形式。 3.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，只有当方程有实根的条件，即在初中代数里，只有当 时，才能应用根与系数的关系时，才能应用根与系数的关系. . 1.1.一元二次方程根与系数的关系是什么一元二次方程根与系数的关系是什么? ?042 acb