函数——从教材到学案

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1、 案例1-1：函数概念的学习形态（教材：北师大版义务教育新课程标准教材九年级上册）解读教材1、堆木材中的函数-列表法 完成178页中的“做一做”：先填表后回答问题。瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图所示的那样堆放，随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？（1）填写下表：层数n12345n物体总数y1=11+2=31+2+3=6(2)在本题中有两个量在变化，它们是层数n和物体总数y，而且y是随着n的变化而变化的。当n的值给定时，y的值也就随着唯一确定了，比如，当n=4时，y= (3)其实，用表格中的最后一栏的式子也能算出每一种层数下的物体总数。比如，n=100时，y= 。点评：（1）教材中共

2、给出了三个关于函数概念的背景素材，学案将第二个素材放到了第一位，其理由是素材背景是学生熟悉的，函数的表达方式为列表法，也是学生熟悉的；由表中的数据通过规律得到函数的关系式，也是学生们在初一时就学过的，从而达到知识材料经验化的效果。（2）完整地给出函数概念在本实例中的具体表述，使学生轻松地经历“个别的看”的体验过程，同时，学生也可以熟悉函数定义的语言特点与表达方式。2、刹车中的函数-关系式法在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行s米，现知道公式为，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）。（1）填写下表：速度v5060100刹车距离 （2）在本题中有两个量在变化，它们是 和 ，而且 是

3、随着 的变化而变化的。当v的值给定时，s的值也就随着唯一确定了，比如，当时， 。点评：用完全相似的方式对教材中的第三个素材进行处理，但在函数概念的具体表述中，学生要填的空由一个增加到五个。让学生在思考中，经历“重复的看”的过程。3、游乐场里的函数-图象法想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？下图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。（1）填表：t（分）012345h(米)（2）其实，本题肯定也能写出一个用含t的代数式来表示h，只是较复杂，高中会学到的。（3）在本题中有两个量在变化，它们是 和 ，而且 是随着 的变化而变化的。当 的值给

4、定时， 的值也就随着唯一确定了，比如，当时， 。点评：（1）教材上的第一个素材被放到最后来处理，其理由为：摩天轮的背景与函数图象相结合是学生学习中的一个难点。（2）在函数概念的具体表述中要填的空增加到了七个，使学生在背景的变化中再次经历函数概念的“重复的看”的过程。（3）通过上述三个操作过程，学生不难形成关于函数概念的一致性的直观体验。4、综合与想象前面三个实例的共同特征是：（1）每个问题中都有 个变量；（2）其中的一个变量（因变量）一定随着另一个变量（自变量）的变化而 ；（3）当自变量确定后，因变量随着 。你写出一个类似的实例，并用上述三个特征加以解释。点评：通过这一学习环节，将外部操作中所

5、获得的一致性体验内化到学生的大脑之中，即，通过想象，在大脑内部进行一致性的操作，从而形成关于函数概念的心理表象。5、归纳与概括通过以上四个实例的学习，我们得出函数的概念为：一般地，在 中，有 个变量x与y，如果给定一个x的值，相应的就确定了 ，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。例如，在中，存在两个变量是 和 ，给定x=3，相应就确定了唯一的y值为 。所以，y是关于x的函数，x叫 量。前面的三个实例题还让我们感受到，函数的表示方法共有三种：（1）表格法；（2）解析式，如第1题中的y=，第2题中的，第3题中的解析式高中会学到；（3）图象法（也就是坐标图）。 点评：通过前面的“个别

6、的看”、“重复的看”与“想象的看”的学习过程，学生自主的得出一般性的函数概念，可以说是水到渠成了，他们能够“一般的看”函数了。挖掘教材 例：“给定一个x的值，相应的就确定了唯一的y值”是什么意思？（1）下面这个表格是否表示y是x的函数？为什么？x2345y2345xy（2）下面这个图象是否表示y是x的函数？为什么？ （3）等式是否表示y是x的函数？为什么？（4）上面三个问题，如果不是函数，分别如何改正，才能使得y是x的函数？点评：这个学习环节是让学生在运用函数概念的过程中，进一步地理解与认识函数概念的本质特征，也就是“认识地看”。学案评析：上述案例虽然只呈现了学案的一部分（主体部分），但比较充

7、分地体现了学案的特点。（1）体现了学案的整合性、主体性、开放性与引导性等特点，特别是引导性，较好的发挥了学案“认知地图”的作用；（2）突出了学案构成的目的要素、背景要素、知识要素、问题要素、活动要素、思想要素与能力要素等；（3）通过经验化、趣味化、生命化以及整体性的过程化，将教材内容改造成为学生易于进入、易于思考、易于探究、易于遐想的学习形态的知识，这一点在教学中得到了充分的验证。教学反馈：用此学案的教学是一次“献课”式的观摩教学活动，授课班级的学生是第一次使用学案进行上课，采用的“DJP教学”模式。课堂上可以说是精彩纷呈，学案中的内容引起了学生极大兴趣。众所周知，函数是初、高中教学中一个难点

8、，许多学生高中毕业了都没弄明白函数的本质含义。在本节课上，学生始终保持高昂的热情，不论是小组交流，还是对话性讲解以及学习评价，他们都非常积极地参与到学习之中，主动大方地展示各自独特的生命活力。最让听课老师感动的是“理解与认识”这一学习环节中发生的一幕。对于第（1）小题，学生提出了各种各样的修改方法，惊奇的是有一位学生竟提出了将所有的函数值都取为1（这样函数就变成常函数）的想法，这一做法已超越了初中变量函数概念的范围，把视角伸向了高中对应函数概念的范围。对于第（2）题，许多学生采取了简单而有效的“抹”的办法，即多余的图像抹掉，并且提出了“抹下留上”或“抹上留下”的操作规则。修改后的函数图像也是多

9、种多样的，有的是半圆，有的是圆弧。面对学生的精彩表现，有一位听课教师对学案在教学中所发挥的奇特作用，由衷地发出了“精妙”的赞叹！从整个学习过程来讲，学生通过个别的看、重复的看、想象的看、一般的看与认识的看的认知过程，从情境问题中，创造性的生成了函数概念的各种成分的知识。其中，事实性知识有自变量、因变量，函数有三种表示方式等；概念性知识有函数的定义、函数的本质特征与图像特征等；方法性知识有函数定义的应用、将非函数的事例修改为函数以及归纳的思想方法等；价值性知识有函数在生活中大量存在、函数可以简单而准确地刻画现实世界中的数量关系以及所生成的函数意识等。数学课堂教学观察表数学概念教学龙泉驿区初中数学

10、中心组 同安中学 何清宇观察者： 被观察者： 时间 数学教学根本上就是“玩”概念。数学概念教学的核心是概括，将凝聚在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察，分析各实例中的属性，抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。那种“一个定义、几项注意，一个例题、几道变式”的教学模式，是概念教学的一个误区。若以解题教学代替概念教学，则严重偏离了概念教学的正轨，导致学生耗费大量时间、精力，但可能对数学的内容、方法和意义却知之甚少。观察维度观察点观察内容评价及建议概念教学1丰富的例证例证记录例证1例证2例证3对例证的处理过程（问题串）记录是否概括出例证的本质特征，是什么？2属性的提炼是否概括、提炼出例证的共同本质属性？是什么？3下定义学生能否用准确的（文字/符号）语言表述概念？情况如何？4辨析概念是谁（师/生）举出了反例、正例？是什么？生辨析情况如何？5概念的运用运用概念解决问题的具体事例（例/习题）记录：引导学生运用概念解决问题的策略的记录（简要）：学生是否形成运用概念解决问题的方法/步骤？是什么？6概念的精致如何引导学生对概念的归类（建立与相关概念的联系）的？7概念掌握的优劣（课后随机访谈13人）学生举出的概念所蕴含的样例的个数学生例举出的样例的准确度