圆中动点问题

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1、1圆中的动态问题【方法点拨】圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论【典型例题】题型一：圆中的折叠问题例题一(2012 江西南昌 12 分)已知，纸片O0的半径为 2,如图 1,沿弦AB折叠操作.(1)折叠后的AB所在圆的圆心为0时，求0A的长度；2如图 2,当折叠后的AB经过圆心为0时，求AOB的长度;3如图 3,当弦AB=2 时，求圆心0到弦AB的距离；(2)在图 1 中，再将纸片O0沿弦CD折叠操作.如图 4,当AB/ CD折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点0到弦AB CD的距离之和为d,求d的值;【答案】解：(1)

2、折叠后的AB所在圆0与O0是等圆， 0A=0/=2o当AB经过圆0时，折叠后的AB所在圆0在O0上，如图 2 所示，连接0A. 0A 0B,0B0000A0CB为等边三角形，A0B=ZACA+ZB00=6060120如图 3 所示，连接0A 0B如图 5,当AB与CD不平行，折叠后的AB与CD所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点， 试探究四边形0MP的形状，并证明你的结论.A0B的长度120二24 :180- 3。图22/ 0A0B=AB=2,A0B为等边三角形。3过点0作OELAB于点 E, OE=OAsin60=、3。(2)如图 4,当折叠后的AB与CD所在圆外切于点P

3、时，过点O作EF丄AB交AB于点H、交AEB于点E,交CD于点G交CFD于点F,即点E、HP、O G F在直径EF上。/AB/ CD EF垂直平分AB和CD11根据垂径定理及折叠，可知PH=1PE P(= PF。22又EF=4, 点O到AB CD的距离之和d为：111d=PHPG=1PEn1PF=1(PEnPF) =2。222如图 5,当AB与CD不平行时，四边形是OMP平行四边形。证明如下:设O,0为APB和CPD所在圆的圆心，点O与点O关于AB对称，点O于点O关于CD对称,点M为的OOK点，点N为OO的中点。折叠后的APB与CPD所在圆外切，连心线OO必过切点P。折叠后的APB与CPD所在

4、圆与O0是等圆，11OP=OP=2, PM=丄OO=ON PN-OC=OM22四边形OMP是平行四边形。【考点】翻折变换(折叠问题)相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计 算，解直角三角形，三角形中位线定理。【分析】(1)折叠后的AB所在圆O与OO是等圆，可得OA的长度。如图 2,过点O作OEL AB交OO于点E,连接OA OB AE BE可得OAEOBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。如图 3,连接OA. OB,过点O作OELAB于点E,可得AOB为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AOB所在圆的圆心O到弦AB的距离

5、。4(2)如图 4,AEB与CFD所在圆外切于点P时， 过点O作EFLAB交AEB于于点E,交CFD于点F,根据 垂径定理及折叠，可求点O到AB CD的距离之和。由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得证。5变式一 如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦 BC 折叠后，劣弧 BC 与AB 交于点 D,得到BDC.(1 )若 BD= CD 求证：BDC必经过圆心 O(2)若 AB= 8, BD- 2CD 求 BC 的长.A1变式二 如图， ABC 内接于OO, AD 丄 BC OE! BC OE=2 BC.(1) 求/ BAC 的度数；(2) 将厶 AC

6、D 沿 AC 折叠为 ACF 将厶 ABD 沿 AB 折叠为 ABG 延长 FC 和 GB点 H;求证：四边形 AFHG 是正方形；(3 )若 BD=6 CD=4 求 AD 的长.题型二：圆中的旋转问题例题二(2011 湖南常德，25.10 分)已知 ABC 分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 是 AB 的中点。(1) 如图 8,若厶 ABC 是等腰三角形，且 AC=BC 在AC、BC上分别取点 AOjE二/BO2F,则有结论.沪0占三 FO2P.四边形PO1CO2是菱形。请给出结论的证明；(2) 如图 9,若(1)中厶 ABC 是任意三角形，其它条件不变，贝卩(1)中的两个结论还成立吗？若

7、成立，请给出证明;(3) 如图 10 ,若 PC 是O。1的切线，求证：AB2二BC23AC21(1)TBC 是OO2 直径，贝UO2 是 BC 的中点又 P 是 AB 的中点.，二 P O2 是厶 ABC 的中位线二 P O2 =2AC1又 AC 是OO1 直径 P 02= O1C=2AC1同理 p O1= O2C =2BC/ AC = BC P O2 = O1C= P O1= O2C四边形P1C2是菱形(2)结论 PO1EAPO2F 成立，结论不成立1 1证明：在(1)中已证 PO2=2AC,又 O1E=2AC PO2 O1E同理可得 PO1= O2F/ PO2 ABC 的中位线 PO2/

8、 AC/PO2B=ZACB同理/ P O1A=ZACBPO2B=ZPO1AI/AO1E= ZBO2FP O1A+/ AO1E = / PO2B/ BO2FOD相交于。1、。2, PE、F,使国3麼106即/ P O1E =/ F O2 P、EO1P7 P02F(3)延长 AC 交O02 于点 D,连接 BD. / BC是O02 的直径，则/ D= 90, 又 PC 是O01的切线，则/ ACA 90/ACP=ZD又/ PAC=ZBAD APSABAD又 P 是 AB 的中点AC AP 1AD一AB一2 AC= CD2 2 2 2在 Rt BCD 中,BC =CD + BD =AC2+BD2 2

9、 2在 Rt ABD 中,AB二AD BD.AB2=4AC2+BD2=(AC2+BD2)+3AC2ABBC23AC2评析：要证一个四边形是菱形，可证它的四条边相等，也可证明它是有一组邻边相等的平行四边形或对角线互相垂直的平行四边形；要证两三角形全等，可通过 SSS SAS ASA 或 AAS 来加以判断；当待证式中出现多个平方的形式时，应首先考虑勾股定理及等量代换. 变式一阅读下列材料，然后解答问题。经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。如图（十三），已知正四边形ABCD勺外接圆OQO0的面积为S1,ABC啲面积为S2

10、，以圆心0为顶点作/M0N使/M0N90,将/M0F绕点0旋转，0M0h 分别与O0相交于点E、F,分别与正四边形ABCD勺边相交于点G H。设0E 0FEF及正四边形ABCD勺边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S（1） 当0M经过点A时（如图），贝US S1S2之间的关系为：S=_（用含色、S2的代数式表示）;（2）当0M_AB时（如图），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。当ZM0旋转到任意位置时（如图，）则（1 ）中的结论仍然成立吗？请说明理由.圆心是正四正四边形89【答案】解：(1)3 24(2) 成立。理由：连0B可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图的阴影部分的面

11、积(3) 成立。过点0分别作AB BC 的垂线交AB BC于点PQ,交圆于点X、Y,可证直角三角形0戸笔等于直角三角形OQH可说明两阴影部分面积之和等于图的阴影部分面积.变式二 (2012?杭州)如图， AE 切OO 于点 E, AT 交O0 于点MN,线段 0E 交 AT 于点 C, OBL AT 于点 B,已知/ EAT=30, AE=3 二,MN=2R.(1) 求/ COB 勺度数；(2) 求0O 的半径 R;(3)点 F 在OO 上(是劣弧)，且 EF=5,把厶 OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E, F 重合.在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在

12、其中找出另一个顶点在OO 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形 与厶 OBC 的周长之比.考点：切线的性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；垂径定理；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与 性质。专题：计算题。分析：(1)由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AE 与 CE 垂直，又 OB 与 AT 垂直，可得出两直角相等，再由一对 对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AEC 与三角形 OBC 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与 /A 相等，由/ A 的度数即可求出所求角的度数；(2)在直角三角形 AEC 中，由 AE 及

13、tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出CE 的长，再由 OB 垂直于 MN 由垂径定理得到 B 为 MN 的中点，根据 MN 的长求出 MB 的长，在直角三角形 OBM 中，由半径 OM=R 及 MB 的长，禾 U 用勾股定理表示出 OB的长， 在直角三角形 OBC中， 由表示出 OB及 cos30 勺值， 利用锐角三角函数定义表示出 OC用 OE- OC=E(列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径R 的值；(3)把厶 OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E, F 重合.在 EF 的同一侧，这样的三角形共有 6 个，如图所示，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，延长

14、EO 与圆交于点 D,连接 DF,由第二问求出半径，的长直径 ED 的长，根据 ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到三角形EFD 为直角三角形，由/ FDE 为 30利用锐角三角函数定义求出DF 的长，表示出三角形 EFD 的周长，再由第二问求出的三角形OBC的三边表示出三角形 BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比.解答：解：(1) / AE 切OO 于点 E, AELCE,又 OBL AT,/ AEC=z CBO=9O,又 / BCOMACE AEC OBC 又/ A=30 ,/ COBMA=30(2) / AE=3 : , / A=30 ,FT在 Rt AEC 中，tanA

15、=tan30 ,AE即 EC=AEtan303 ,/ OBLMN - B 为 MN 的中点，又 MN=2W, MB= MN7,2连接 OM 在MO 沖,OM=R MB= T ,OB=壬 J 二，D10在厶 COB 中 , / BOC=30 ,11/ cos /BOC=COS30=H=-；, BO=2OCOC 22 ocjBh ；三，延长 EO 交圆 O 于点 D,连接 DF,如图所示，/ EF=5,直径 ED=1Q 可得出 / FDE=30, FD=5 二,则 比EF子 5+10+5 二=15+5 二，由（2）可得CCOC EFDCCO=（ 15+5 二）：（3+ 二）=5: 1.点评：此题考

16、查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含 旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.题型三：圆中的动点 例题三（2012 江苏南京 10 分）如图，AB为OO上的两个定点，P是OO上的动点（P不与AB重合），我们称/APB为OO上关于AB的滑动角。（1）已知/APB是L O上关于点A、B的滑动角。 若AB为OO的直径，贝U/AP酔_若OO半径为 1,AB2，求/APB的度数（2）已知02为LO1外一点，以O2为圆心作一个圆与LO1相交于A B两点，/APB为LO1上关于点A、B的滑动角，直线PA PB分别交L 02于点M N（点M与点A点N与点B

17、均不 重合），连接AN试探索/APB与/MAN/ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）90。如图，连接AB OA OB在厶AOB中/O/=OB=1.AB=T2, OA+OB=AB。 /AOB901当点P在优弧AB上时（如图 1）, /AP昏丄/AOB4522整理得：R + 18R 115=0,即（R+23）（R 5） =0,解得：R=- 23 （舍去）或 R=5,则 R=5;（3）在 EF 同一侧， COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6 个,30 直角三角形的性质，平移及又OC+E-二+3,O3B动点F在AC边上自由移动.(1)点E,F的移动过程中，AOEF是否能成为/EOF

18、 =45的等腰三角形？若能，请指出AOEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能，请说明理由.当/EOF =45时，设BE二x,CF二y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围.在满足(2)中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切(如图 12-2 )，试探究直线EF与 LO的位置关系，并证(3)明你的结当点P在劣弧AB上时(如图 2),根据勾股定理的逆定理可得 /AOB90再分点P在优弧AB上；点P在劣弧AB上两种情况讨论即可。(2)根据点P在OO上的位置分为四种情况得到 /APB与/MAN/ANB间的数量关系。如图 12-1 所示，在ABC中，AB=AC=2,/A =90：,O为BC的中点

19、，动点E在BA边上自由移动,间, 如图间,如图间, 如图【考点】【分析】1/AP昏丄(360/AOB=1352(2)根据点P在OO上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点P在OO外，且点A在点P与点M之间，点/ MAN/ APB/ ANB/APB/第二种情况：点P在OQ外，且点A在点P与点M之间，点/MAN/ APB/ANP=/APB(180。 一/ANB, /APB/MAN/ANB-180第三种情况：点P在OO外，且点M在点P与点A之间，点/ APB/ ANB/ MAN180 /APB=180 /MAI4 /ANB第四种情况：点 P 在OQ 内，如图 6,/APB：/MANZANB圆周角定理

20、，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。(1)根据直径所对的圆周角等于90即可得/APB900。变式一E,F的位置分别是:13BE二CF二、2.E与A重合，F是AC的中点(2)在厶OEB和厶FOC中，N EOB+NFOC =135Z EOB+N OEB =135 BE=x,CF = y,OB =OC =1 2222=2,-(1x2).2x(3)EF与LJ O相切.OEB FOC,更._B! =2!.即CO OF BO OFOE OF又TN B =NEOF =45BEO OEF N BEO =NOEF点O到AB和EF的距离相等. AB与O相切，点O到EF的距离等于O的半径. EF与L O相

21、切.1变式二 如图，在OO 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P, AC=2 AB,点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与AB 两点重 合)，过点 C作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点.(1)如图 1,求证：ABC；(2) 当点 P 运动到什么位置时， PCDAABC?请在图 2 中画出 PCD 并说明理由；(3) 如图 3,当点 P 运动到 CPLAB 时，求/ BCD 的度数. FOC =/OEB又I . B =/C, OEBFOCBEBOCO CF14考点：圆周角定理；全等三角形的性质；垂径定理；相似三角形的判定。专题：几何综合题。分析：(1 )由 AB 是OO 的

22、直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得 / ACB=90,又由 PDLCD 可得/ D=ZACB 又 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得 / A=ZP,根据有两角对应相等的三角形相似，即 可判定：PCSAABC(2 )由厶 PCAABC 可知当 PC=AB 寸， PCDAABC 利用相似比等于 1 的相似三角形全等即可求得；(3)由/ ACB=90, AC=AB 可求得/ ABC 的度数，然后利用相似，即可得 / PCD 的度数，又由垂径定理，求得习】1 、 如直径C 和 点P 运动重合)，过点C【课后(2012?图，在OOAB 的异侧动点 P, 在半圆弧(不与A(1)(2)

23、(3)湘潭)上位于有定点AC=ABAB 上 B两点 占八、图1如图 1,求证：PCAABC当点 P 运动到什么位置时，PCDAABC?请在图 2 中画出 PCD 并说明理由; 如图 3,当点 P 运动到 CPLAB 时，求/ BCD 的度数.图CD0DOCB0C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 DA0D15l.|，,然后利用圆周角定理求得/ ACP 的度数，继而求得答案.解答：(1)证明：/ AB 是OO 的直径，/ACB=90,/ PD 丄 CD,D=90 ,D=ZACB/A 与/ P 是对的圆周角，A=ZP,ABC(2) 解：当 PC 是OO 的直径时，PCDAABC理由：/ A

24、B PC 是OO 的半径， AB=PC/PC3AABCPCDAABC(3) 解：I/ ACB=90 , AC=AB/ABC=30 ,/PC3AABC/PCD=/ ABC=30 ,TCP 丄 AB, AB 是OO 的直径， ：十, / ACP=Z ABC=30 ,/ BCD=/ AC- / ACP- / PCD=90- 30 - 3030点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用.2、如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3 , 0)和点E(0 , 4),动点C从点 M(5

25、, 0)出发，以 1 个单位长 度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以 1 个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作 匀速运动.设运动时间为t秒.(1)(2)3、如图，请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；1以点C为圆心、丄t个单位长度为半径的OC与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧)，连接PA PB2当OC与射线DE有公共点时，求 当厶PAB为等腰三角形时，求t在直角梯形ABC曲,AD/ BCt的取值范围；的值./ABC=90o,AB=12cm,AD=8cm,B动点Q从点C开始沿CB边向点B以2E当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t为何值时，四边形PQC为平行四边形？ 为何值时，PQ与OO相切？开始沿AD边向点D以 1cm/s的速度运动, 同时出发，(1 )当t(2 )当tO1DQCB M x22cm,AB为OO的直径，动点P从点A/s的速度运动，P、Q分别从点A、C(s)C1617欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求