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1、不等式证明的常用技巧例题例5-2-13 求证：(2)假设abc0，dc，acbd，那么a+cb+d。解 (1)因x+y+z=1，故可设其中t1+t2+t3=0，于是(2)因ab，dc，故可设a=b+t1，d=c+t2，其中t10，t2(a+c)-(b+d)=(a-b)-(d-c)=t1-t20a+cb+d注 用n个数的平均数与适当参数来表示这n个数的代换通常称为均值代换，如(1)中施行的代换。这种代换的特点是利用对称性可使运数组，不能保证由上述代换而得到。如x=y=0，z=1就不存在对应的t值。当ab时，令a=b+t(t0)，其中t是a用b表示时引进的增量。这种代换通常称为增量代换。它的特点是
2、把条件中的不等关系转化为相等系，使得变形过程简化。例5-2-14 求证：解 (1)由a0，b0，a+2b=1，可设那么有(2)因ab0，且(a-b)+b=a，故可设这时，原不等式等价于故只须证明这个不等式显然成立。事实上，因为0cos1，0sin1又故原不等式得证。注 代数问题三角化，往往可充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的问题得以简化，从而获得简捷解法。例5-2-15 求证：(1)|a|1，|b|1，|c|1，那么abc+2a+b+c；(2)ai，biR(i=1，2，3)，且ai0，那么(a1b1+a2b2+a3b3)2(a12+a22+a32+)(b12+b22+b32)当且仅当bi
3、=ai时取等号。解 (1)原不等式等价于(bc-1)a+(2-b-c)0构造一次函数f(x)=(bc-1)x+(2-b-c) (-1x1)那么 f(-1)=(1-bc)+(1-b)+(1-c)0f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)0于是，根据一次函数的单调性，f(x)在区间-1，1上恒大于0。而a(-1，1)，故f(a)0，即(bc-1)a-b-c+20。所以abc+2a+b+c(2)构造二次函数f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(a3x+b3)2(当且仅当bi=ai，R时取等号)所以注 函数思想是解决数学问题的重要思想，应用广泛。在不等式证明中，假设能要据其结
4、构特征，构造相应的函数，那么可充分利用函数的性质，使问题简明。(2)中不等式及其证明可推广到一般情形：假设ai，biR(i1，2，n)，且ai0，那么(a1b1+anbn)2(a12+an2)(b12+bn2)这就是著名的柯西不等式。柯西不等式不仅应用广泛，而且它的证明方法，即构造二次函数并通过其判别式证明不等式的方法，堪称构造法的典范。解 法一 由x+y=1，可令那么原不等式=5+2(tg2+ctg2)5+22=9又x+y=1，根据韦达定理，x，y是关于t的二次方程的实根。因x，y为实数，故注 方法2通过构造方程证明不等式，足以说明方程与不等式的密切联系。此法也不失为一种巧妙方法。例5-2-17 设nN，求证：解 (1)采取逐项放缩的方法。由于令1，2，n，那么有依项相加，即得(2)设并引进辅助式比拟两式的对应因式可知注 例5-2-18 a0，b0，且a+b=1，求证：当且仅当a=b时右边取等号。解 先证右边不等式。那么 4a+1=(k+t)2，4b+1=(k-t)2所以(4a+1)+(4b+1)=(k+t)2+(k-t)22k2法二 用三角代换。因(4a+1)(4b+1)=6，故可设现在证明左边不等式。可考虑用放缩法。为了将4a+1或4b+1通过放缩配成完全平方式，我们引进正数k，因为0a1，所以a2a，于是
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