从双线性映射谈起

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1、X=jx1,x2,xn，Yyi,丫2,A(a,巧=A迟务,送yjCtjnn二二Xiy:-ji=1j=1令A=a11a21a22-a1na2n，aij-魚:i,j,称A是双线性函数二在此基n1an2ann从双线性映射谈起龙岩学院周金森梁俊平刘宏锦定义1设V、U与W/都是域F的线性空间，厶是VU到W的一个映射，如果对于:,:,：2V，二打2U,任意k,lF，有丄k：I：2，：i；=kz：；j亠I二:-2,:(2) .mk1I2i；-k-:，打！亠丨二:,2则称丄是VU到W的双线性映射；(i) 若W=F则称A为VU上的双线性函数；(ii) 若W=FV=U则称九为V上的双线性函数；若W=FV=U且丄=

2、二，则称丄为V的一个对称双线性函数；记.很，：二q，称q为V上的二次函数；(iii) 若W=F=RV=UA:二二一，且Z_0当且仅当=0时.宀=0，则称厶为正定的实对称双线性函数，或称为V上一个实内积，:，：常记为：，：。、考虑V上的双线性函数与矩阵之间的一一对应关系2V中向量1在此基下的坐标分别为1，2，_Jn下的度量矩阵，它是由丄及基唯一决定，-二/二XAY，反之,任给一个域F的一个n级矩阵，可以定义V上的一个双线性函数，满足-打i弋。命题1(1)V上的双线性函数二在V的不同基下的度量矩阵是合同的。(2) V上的对称双线性函数丄在V的一个基下的度量矩阵是对称阵。(3) 实内积丄_在V的一个

3、基下的度量矩阵是正定阵。命题2设厶是特征不为2的域F的n维线性空间V上的对称双线性函数，则V中存在一个基，使得厶在此基下的度量矩阵是对角阵。命题3任一对称阵都合同于对角阵。(矩阵语言)因为矩阵的合同关系是一个等价关系，下面从等价关系进一步考虑命题4(1)在复数域上，n级对称阵按合同关系分成n+1类，秩为r的代(E0、表元为r，秩是完全等价不变量。10丿(2)在实数域上，(n+1)(n+2)n级对称阵按合同关系分成2类，秩为且正惯性指数为P的代表元为巴，秩，正惯性指数，负惯性指数，I0丿符号差是等价不变量，不是完全等价不变量，但四个量中任取两个量是完全等价不变量。注1在丘维声高等代数学习指导书中

4、给出惯性定理中唯一性的三种证法。在实数域上，我们考虑一个特殊的类就是正定阵命题5n级对称阵A是正定阵二-=XRn1,XAX0=正惯性指数=n二A合同于E二存在可逆阵P,使得A=PP二kA是正定阵(k0)二A是正定阵二A的伴随矩阵是正定阵二A的所有特征值全大于0=A的所有顺序主子式全大于0二A的所有主子式全大于0二存在主对角线上的元素全是1的上三角阵B,使得a=Bdb其中D是正定的对角阵二存在主对角线上的元素全是正的上三角阵C,使得A=Cc-aii.0-i=A的绝对值最大的元素必在主对角线上。注2利用必要性可以很快地判断某些矩阵不是正定阵。注3A的特征多项式kn丸EA=打_bAn+b2f上_+卜

5、1）湫心+卜1）bn中的bk就是A的所有k阶主子式的和，其中0=為+%+ann，bn=|A,而且d=:来12n,bn=；鮎2n，-ii=1,2,，n是A的所有特征值。二、考虑对称双线性函数与二次型（二次函数）的关系命题6设V是特征不为2的域F的一个线性空间，q是V上一个二次函数，则存在V的唯一的对称双线性函数丄，使得二-q-，f三V。三、双线性函数空间域F的线性空间V上的所有线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，可以构成域F的一个线性空间，称为V上的线性函数空间（或对偶空间），记作V*。依此类推，我们把域F的线性空间V上的所有双线性函数构成的集合T2V，定义加法、纯量乘法，易证EV对于函数的

6、加法、纯量乘法构成域F的一个线性空间，称T2V为V的双线性函数空间。由于双线性函数与它在V的一个基下的度量矩阵是一一对应关系，且保持线性运算，因此两个线性空间同构T；V三MnF，从而dimT,V二n2。为了构造V上的双线性函数，想法是给了V上的两个线性函数g,h,令:J二gmh1，-：，I=v，容易验证z:是V上的双线性函数，把它记成g：h，即g：hM,-gQih冷，-:，V，把g：h称为线性函数g与h的张量积。命题7V的一个基：-i,J,，它的对偶基为匸匚，fn，则（1）ffl,ff2,fJf2：附2：f2,f2：Jfn：Jfn：f2,ffn是T2V的一个基；（2）设双线性函数z在基:,一，

7、-下的度量矩阵为（aij莒，则双线性函数A在T，（V）的一个基fl：H1：f2，fl：皿2：如2：f2，f2：J，fn：fJf2，fn：仁下的坐标为a计a12,，a1n,a21,a22,，a2n，an1，an2,，ann。四、考虑VU上的所有双线性函数构成的线性空间?V,U命题8设V的一个基r，2,，宀，它的对偶基为灯2，fn，U的一个基打，2，帀，它的对偶基为gi.g2，gm，贝Unm个双线性函数ghj,i=1,2,n,j=1,2,m是？V,U的一个基。命题9dimpV,U=dimVdimU五、线性空间的张量积及泛性(同调代数中一个重要性质)定义2设V、U与W/都是域F的线性空间，Z是VU到

8、W的个双线性映射，厶具有这样的性质：从VU到域F上任意一个线性空间M的任一个双线性映射.,存在W到M的唯一的线性映射门,使得二.(即存在交换图),那么W就称为V与U的一个张量积。注4定义2中的性质称为张量积的特征性质，在同调代数中常称为泛性。命题10VU到？V*,U*的双线性映射.:用二卜，卅三V,匸U,具有张量积的特征性质。注5命题10说明了两个线性空间的张量积存在。命题11设M是域f上的一个线性空间，v是vu到M的双线性映射，它也具有张量积的特征性质，则有线性空间同构M二mv*,u*。注6命题11说明了两个线性空间的张量积在同构的意义下是唯一的，我们用V：u表示V与U的张量积，它就是线性空

9、间?v*,u*，而且比原来的两个空间都“大”。命题12设。,务，c(2EV,片冃，打eV，VV：中的元素具有如下性质：(1) (牛+口2旧0=些过B+口2过0，过苗十P2)=G径片+G藝P2(2) k，：-：k迭=ke,kF设环号,，气是V的一个基,2,Jm是V的一个基，那么勺轻,i=1,2，n,j=1,2，m是V过/的一个基，因而V过Y的维数为nm,即dimV述V=dimVdimV2。rV致V中的元素可表示成有限和的形式，即送述冃，v,冃eY，i=1注7（1）用二二、卫（因为双线性映射未必具有对称性）；（2）0：1：0=0，说明双线性映射不是单射；（3）表示法不唯一，说明双线性映射不是满射。

10、命题13设V，V2,V3是域F上的有限维线性空间，贝U有同构映射吧：（V怪V2）致tV怪（V2藝乂），使屮i（g怪B）怪Y）=g凶（P?）；有同构映射屮2：VV2tv迪V，使屮2（gB）=0过。，其中aV，了己V0注8命题13说明在同构的意义下，张量积满足结合律，交换律。六、进一步推广1、由双线性映射推广到多重线性映射、多重线性函数，例如可以把n级行列式看成是Fn上的一个n重线性函数。2、由两个线性空间的张量积推广到多个线性空间的张量积。3、线性空间的张量积推广到线性变换的张量积、矩阵的张量积、模的张量积，代数的张量积等等。4、通过张量积建立张量代数，外代数（格拉斯曼代数）等。参考文献1、丘维声.高等代数学习指导书（上、下册）2、聂灵沼，丁石孙.代数学引论3、厦门大学.高等代数精品课程网站