量子力学的数学准备(暑期读物 )

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1、量子力学的数学准备量子力学的数学准备（暑期读物）写在前面的话06光信、电科的同学们暑假开学后我将与您们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整，量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时，加之学期缩短（由18-19周缩短为16-17周），实际教学时间缩减近三分之一。无论就是从学校的要 求还就是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来瞧，都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理与有关概念的前提下，能够对量子力学课程中用到的一些数学知识做一个复习与预习，以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙，要回家与亲人团聚尽享天伦之乐，要孝敬

2、父母帮着做一些事情耍游览大好河山感受大自然的美，要准备考托考吉考这 考那，要准备科技创新、电子大赛，等等等等。但我还就是希望大家能拨冗瞧一下这个读物，此处所说的瞧决不就是指Look”,而就是指“Read, Deduce and Consider”,即阅读、推导、思考。为此 ，带上数学物理方法与线 性代数的课本回家就是有必要的。有人说19世纪就是机器的世纪，20世纪就是信息的世纪，而21世纪将就是量子的世纪。让我们为迎接量 子世纪的到来做好准备吧！刘骥谨此I. 一个积分的计算计算积分II22X由此我们可以得到积分公式2nx edx(2n2n1)、dx1 de_22 n 2 x 2 .x e dx

3、2n 1 I 2(2n1)(2n 3)22(2n 1)!n 102n问题:对于积分12e x dx可以仿照上述方法计算不？为什么？如果不能，该如何计算其近似值?由于就是常数，相对X2 ()可忽略，方程在X的渐近式为x2y 0.x2 / 2观察可发现e就是方程(2)的近似解。(2) 2X2/2x-1 y x y ex2 / 2 .e当然不就是万程(1)的解y(x)，但当xx2/ 2 时y(x)应表现出e的渐近行为，于就是我们可 令 y(x) h(x)e x /2以合理地假设 y(x)中应包含因子俗称“带中间”代入(1)，得h (x) 2xh (x) (1)h(x) 0方程(3)称为Hermit方

4、程,就是可以用级数法求解的。级数法求解Hermit方程令 h(x) akxk ,代入(3),k 0k 2kk(k 1)akx (1 2k)akxk0k 0k 0k(k 2)(k 1)ak 2 (入 1 2k)akx 0k 0由方程两边x的同哥次系数相等，我们得到 展开系数的递推公式：k 2k 2k(k 1)akxk 2 k(k 1)akxk 2k 0k 2k(k 2)(k1)ak 2xkk 0求和哑指标k换为k(k k 2)k(k 2)(k 1)ak 2xk k 0再用k( k)替换k正像积分变量替换不改变定积分的值一样，求与哑指标的替换不改变求与的值。2k 1 入ak 2a(k 1)(k 2

5、)k 0,1,2,(4)由递推公式(4)可以瞧出，a0确定后，a?、a,、等所有下标为偶数的展开系数随之确定,a1确定后，a3、a5、等所有下标为奇数的展开系数随之确定。不妨令Cibk, k为偶数akCzbk, k为奇数,C1,C2为任意常数，则不管k为偶数还就是奇数都有bk 22k 1 入 bk(k 1)(k2)于就是h(x)Ci (如C2(b1x12!33!box2,3 b1x(1)(5)4!(3)(75!box41blx5(1)(56!(3)(77!box6(6)Cihi(x)C2h2 ( X)y(x)有限性的讨论可见无穷级数(x)与h2(x)就是Hermit方程(3)的两个线性无关解。

6、当 取任意常数值( 2n 1, n N ),若y(x)有限，则要求:对于任常数，无穷级数i、对任一有限的x,无穷级数(x)或h2(x)收敛于有限值；ii、 x时，无穷级数hi(x)或h2(x)有限，即使趋向无穷大也不能快于x2 /2y(x) h(x)e 就是万程(1)的解，这就是没有问题的。但 就是否有限解，欲得到有限解对 常数入有何要求，这就是需要讨 ex2/2eob c由式(5), h(x)或h2(x)的相邻项系数比(后项比前项)上2 bk2k 1入(k 1)(k 2)2一，根据无穷级数收k敛判别法则，条件i就是满足的，即h1(x)或h2(x)就是收敛的。至于就是否满足条件ii,难以直接瞧

7、出。为此我们考察函数ex2的泰勒展开式ex21 x24x2!6x3!kx(k/2)!，其相邻项系数比(k 2)!(k 2) 1! (k 2) 12 一一 ，-。一个无穷级数在k时的渐近行为取决于其高次项，h(x)或hz(x)与ex有相同的(k)相邻项系数比，因而hx) x2boex ,h2(x) x2b1 xex 显然这不满足上述的条件ii,即2n 1时，方程(1)没有有限解。D 2n 1时，方程(1)有有限解_ 2k 1 (2n 1)2n 1 时，式(5)变为 bk2 bk ,由 bo(或 bi)可推出 b2, b4,bn(或 b3,b5, ,bn)，(k 1)(k 2)x2 /2而bn2b

8、n 40,h(x)或h2(x)截断成为多项式。x时多项式趋向无穷的速度不快于e满足条件ii,因而我们可以得到方程(1)的有限解。C1 h1 (x)e x2/2o具体地说，2n 1,n为偶数时，几(x)截断成为只含有偶数次哥的n次多项式，而h2(x)仍为无穷级数此时可选任意常数C2。，得到方程(1)的有限解y(x)2x2/2O2n 1,n为奇数时,h2(x)截断成为只含有奇数次哥的n次多项式，而(x)仍为无穷级数，此时可选任意常数Co,得到方程(1)的有限解y(x) C2h2(x)eHermit(厄密)多项式2n 1时，h(x)或h2(x)截断成为n次多项式，其中的常数b0或小习惯上这样选取：使

9、多项式最高次项的系数为Hn(x)2n。这样的多项式称为Hermit多项式，记为Hn(x)，其通项公式n20(1)飞院2k一四为二的整数部分,- - 22222由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式，如H0(x) 1,H1(x) 2x,H2(x) 4x2 2, H3(x) 8x312x42H4(x) 16x4 48x2 12,归纳起来，方程y (x2)y o在2n 1时存在有限解，对应的解为yn(x)CnHn(x)e x /2n o,1,2,3,Cn为常数，由其她条件确定。Hermit多项式的微商表示方法及递推公式Hermit多项式还可写为 H n (x)2(1)nex2nxd endx由通项

10、公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式Hn(x) 2nHn 1由微商表示(8)可得第二个递推公式Hn(x) 2xHn Hn 1(x)(8)(9)(10)由(9),(10)可得第三个递推公式Hn1(x) 2nHn 1(x) 2xHn(x)(11)常数Cn由归一化条件确定按照量子力学，yn(x)应满足归一化条件，即y2(x)dxC ex2H2(x)dx 1。其中的积分值计算出来后，就能得到常数Cn。将微商表示(8)代入上述积分，得2一 “.2x 2n dnendn 1e xe x H2(x)dx ( 1)nHn(x) dx ( 1)n Hn(x)d(1)dxndxn 12 n 1 x(1)nHn(

11、x)d-41-dxn 1dx 2n( 1)n 1,n 1 x2de.Hn 1(x)nrrdxdxn 1于就是22n n! H0(x)e x dx 2nn!,(12)1/212nn!1/21x2/2yn(x) n - ex/2Hn(x) 2nn!.两个常用的关于 yn (x)递推关系1 ,，、一由(11)得,xHn(x) nHn 1(x) Hn 1(x)，那么 xyn(x)1/22nn；ex/2xHn(x)2 2n 1(n 1)! .1/2-x2 /2e H n 1(x)1/21 n 1(n 1)!.-x2 /2e H n 1(x)即xyn(x)nn 1.1 2yn 1(x) 2 yn 1(x)

12、利用(10)式Hn(x) 2xHn Hn 1(x),类此上面的计算可得yn(x)满足正交性，即 ym(x)yn(x)dx 0,证明：不妨设m n，仿照(12)式中的做法2on m2 n!( 1)m n nddxm1x2en 1III、1.定义(x)0,00，且(x)dx 1。2.性质i、(x)(x), ii、(-)a1(x), (a 0)iii、 f (x) (x x0)dxf (x0)3. 8函数就是某些通常函数序列的极限“ 8函数显然不就是通常意义的函数。人们现在说，它就是广义函数。具体地说 ，它就是某种通常函数系列的极限，而这极限就是在积分的意义上说的。（梁昆淼数学物理方法第三版，p10

13、8）除了梁昆淼书中给出的三个例子，即i、(x) liml 01, x、-rect(-), l lii、,、1 sin Kx(x) limyKx验证见梁书iii、(x)lim之外，量子力学中还经常用到下面几种iv、(k)ikx , dxv、(x)limg.2/、sin (xg)x2g先验证1iv,一2ikx edxRmR ikx eRdxRmsin Rk再验证v,x 0时，limgsin2(xg)x2g注意到x 0时limgsin2(xg) x2glim limsin2(xg) x2glimg吟明xx glimg吗匈dxx g同ii, . g lim g两次使用洛比达2 sin x , dx2

14、x1 cos2x2x2dx八.1cos2xd 一 xsin 2x , dxx1lim 一 glimgsin2(xg)x2dx符合8函数的定义。IV、 Kroneck 符号mn 与 Levi-Civita 符号冰1.Kroneck 符号 mn 1， mn 0,n,m, n Z n引入Kroneck符号后，可对许多公式进行方便简捷地表达。例如，三维空间的三个相互正交的单位矢量i,j,k也可用e1,e2,e3表示，则有ei ei1,e1 e20,0 e3e2 ei0,e2 e21,e2 e3潴九式可统一写为em enmne3 el0 , e3 e20,e3 e32.Levi-Civita符号定义:i

15、jk1,1,0,ijk 为 123 或 231 或 312ijk 为 213 或 321 或 132ijk有重复数字可这样记忆:设想只有三个钟点的表盘（如右图）,ijk按顺时针方向取三个数字,Levi-Civita符号为+1,逆时针方向取为-1,ijk中有两个或三个重复数字则为0。口诀：顺正逆负，重复为零。性质：胀jkikij （下标轮换，符号不变）,ijk例如e1e10,e1 e2e3，e1 e3e2e2e1e3，e2e20, e2 e3e1e3e1e2，e3e2e1 , e3e3又如角动量(Xiei) (Pjej)其中第k个分量Lk ijk xi pjjikikj （下标对调，改变符号）X

16、2 P3X3 P2k取1得第一个分量(x 分量)：L1ij1Xi p jB(C A) C(A B)V、Nabla算符与Laplace算符x r sin cos y r sin sin z r cos则g_gxxx r一-g,或写为一 x xx x r xNabla算符就就是梯度算符（读作Nabla）,它对任意函数f （x, y, z）的作用在直角坐标系中表示为fff一 ,f (x, y, z) 一i 一 j -k ,或与为xyz那么在球坐标系中，函数f(x,y,z) g(r, , ) gr(x,y,x), (x, y, z), (x, y, z) ,Nabla算符又具有什么样的形式？利用直角坐

17、标与球坐标之间的关系222cosz/ x xy ztany . x同理一sin siny1一以一 一 cos sin r r1 cos1,cossinrsinzrr(sincossinsin j cosk)- (cos cos i r rr sinsincos j)注意直角坐标与球坐标系单位矢量间的关系（见右图）sin cosi sin sin j coscos cossin ii cos sin j sin cos j11er -e- errr sin可得球坐标系中Nabla算符的具体表达式cos sinj sink)计算得:rsincos1, cos cos x r1 sinx, xr s

18、in于就是sincos1 cos cosr r1sinxrsinLaplace 算符，注意到e.，e ,e相互正交，且由（1）式可得er r0,可得cossinsincos icos0,cossin jsin k esinsincossincossinsincossinsincoscoscoscosi sin(sinercos e ) e1222rer2 . 22r sin1 a- er r sinr1 e2；er sincos2222222r r r sinr r r sin于就是21212 (r )2 .r r r r sin(sin)1)22r sin注意：i , j, k就是空间三个相

19、互正交的固定方向上的单位矢量，与空间点（x, y, z）或（r,）无关。而 er, e , e就是空间三个相互正交的变动方向上的单位矢量，与空间点（x, y, z）或（r,）有关，确切地说与有关。VI、函数空间及其矢量、三维几何空间中的矢量在三维几彳s空间中，所谓矢量就是指需其大小与方向两方面来描述的量，如位移、速度等，一般来说就是三 维空间中的有向线段。 一旦我们在空间中选定一组 （此处就是三个）线性无关的矢量作为基矢量，比如i, j,k （相当于选定了直角坐标系，则任意矢量A可写为A A1iA2j A3k，其中庆1,庆2,庆3分别就是A在i,j,k方A1100向上的分量，或写为三行一列的列

20、矩阵AA2。而三个基矢量的矩阵表示分别为i0j1k0。A3001以矩阵表示矢量时，习惯上矩阵名A上不加表示矢量的箭头 类此地，一旦我们选定er,e,e作为基矢量（相当于选定了球坐标系），则上述任意矢量ArA Arer A e A e，或写为A A 。显然同一矢量 A在直角坐标系中的矩阵表示A与在球坐标中A的矩阵表示A就是不同的。以上的讨论实际上意味着这样一个事实，三维几何空间中的任意一个矢量可写成一组完备正交基（i, j,k或e.，e ,e ）的线性组合。两个矢量A与B的内积（点乘）等于在同一完备基下两矢量对应分量的乘积与，即A BA1B14B2 4B3或 A B、从Fourier变换瞧完备函

21、数系我们在数理方法中知道，对任一在（ArBrA B Af (x)可作Fourier变换:）上有定义的函数-1ikx .1 一f (x)g(k)e dk 淇中 g(k) 寿= f(x)eikxdx,k R1我们可以换一个角度来瞧Fourier变换，选择一系列函数,eikxk取遍（，）中的所有值,任一函数f（x）可写成这一函数系列的线性组合。如果任一函数f （x）可写为某一函数系列的线性组合积分的本质就就是求，则该函数系列为完备函数系，简称完备系。比如我们这里的函数系列Leikx,k R就就是完备系。2，当选定一组完备系三、函数空间三维几何空间实际上就是所有三维矢量作为其元素的一个集合。对于三维几

22、何空间（比如i, j,k ,它们当然也就是该集合中的元素）后，任意矢量A可写为A A1iA2j A3k淇中A1, A2, A3分别就是A在i, j,k方向上的分量。对照来瞧，所有定义在（，）上的复函数的集合，也构成一个空间，称为函数空间，也叫希尔伯特空间。当选定函数系列e eikx,k R作为完备系时，任意函数f (x) g g(k)eikxdk ,g(k)就是f(x)在基2. 2eikx上的分量。从这个意义上讲，一个函数f(x)就就是函数空间中的一个矢量。既然就是一个矢量，也可2以形式上写成矩阵：fg(ki)g(k2)第ki行，只不过此处标记行的指标 k有无限多个取值而且就是连续的。第k2行

23、希尔伯特空间中的两个矢量fi(x)与f2(x)的内积也等于两个对应分量乘积的与，即*,gi(k)g2(k)dk。当然我们并不一定要选函数系列一7Leikx,kR作为希尔伯特空间的完备系，也可以选另外一套完备2系，比如(x xo), xo R。此处x就是基函数 (x xo)的变量，而xo就是不同基函数(x xo)的标记。根据8函数的性质，f(x)f(x0) (x x0)dx0,可以瞧出函数值 f(xo)就就是矢量f(x)在基 (x Xo)上的f (xi)分量。此时，作为希尔伯特空间中的矢量f(x)也可以形式上写成矩阵：ff(x2)第xi行第X2行两个矢量fi(x)与f2(x)的内积也可以写成两个

24、对应分量的乘积与(当然其中一个要取复数共轲),一* 、一 、一 _ 、 _fi (xo) f2(xo)dxo 。由于积分变量的替换不改变积分的值，fi(x)与f2(x)的内积可写为*f1 (x)f2(x)dx。在三维几彳S空间中，两矢量的内积不依赖于坐标系的选取，不管取直角坐标还就是求坐标，计算出的两个矢量A与B的内积AB都就是相同的。那么在希尔伯特空间中，取不同的函数系eikx ,kR 或(x xo), xoR作为完备系，计算得到的fi(x)与f2(x)的内积理应相等，即_ *_*,_ -1 I、， a / r. Af1 (x) f2 (x)dxg1 (k)g2 (k)dk。下面证明这个结论由 Fourier 变换知，f1(x)gi(k)eikxdk, f2(x)g2(k)eikxdk2fl*(x)f2(x)dx 2kg*(k)eikxdkg2(k)6kxdk dx 上换吗上*.gi(k)g2(k)ei(k k)xdx dkdk此积分为8函数*gi(k)g2(k) (k k )dkdk*.gi (k)g2(k)dk。在量子力学中我们还会遇到很多其它不同的完备系。VII、矩阵及其特征向量与特征值复习矩阵、转置矩阵、正交矩阵、相似变换等。复习方阵的特征值与特征向量的计算方法。