随即变量的数字特征方差PPT课件

《随即变量的数字特征方差PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随即变量的数字特征方差PPT课件（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 容易算得，二人击中环数的平均值都是容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？更稳定？甲甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手中哪一个击中的环直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定第1页/共37页一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负

2、偏差相抵的情况，应和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：对于甲选手，偏差绝对值之和为：8 . 898 . 8108 . 888 . 89 环环4 . 6 第2页/共37页对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为 10.8 环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64 环和环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。发挥更稳定些。 类似的，为了避免运算式中出现绝对值类似的，为了避免运算式中出现绝对值

3、符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。行比较。第3页/共37页).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设22222 1. 方差的定义方差的定义 (定义定义3.3)一、随机变量方差的概念及性质一、随机变量方差的概念及性质第4页/共37页方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X取取值分散程度的量值分散程度的量.如果如果D(X)值大值大, 表示表示X 取取值

4、分散程度大值分散程度大, E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果D(X) 值小值小, 则表示则表示X 的取值比较集中的取值比较集中,以以E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.2. 方差的意义方差的意义第5页/共37页离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差,d)()()(xxpXExXD 23. 随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk 第6页/共37页.)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2

5、XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式计算利用公式计算).()(22XEXE 第7页/共37页1. 两点分布两点分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量 X 的分布律为则有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、重要概率分布的方差第8页/共37页2. 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,其分布律为EXnp第9页/共37页2211101(1)(1)nnkkn

6、kkkn knnkkEXk C ppnpkCpp1110(1)(1)nkknknknpkCpp 11(1)(1)1100(1)(1)nnkknkkknknnkknpk CppCpp 2(1)1()()np npnp npqnpnpq第10页/共37页2222()()()DXEXEXnpnpqnpnpqDXnpq第11页/共37页3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),(PX 第12页/共37页122010(1)!(1)!kkknkkkEXkekekekkk200(1)!kk

7、kkkeekk 2222()DXEXEXDX第13页/共37页4. 均匀分布均匀分布则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxf其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 第14页/共37页结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 第15页/共37页6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有xxxfXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx第16页/共37

8、页. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 第17页/共37页xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222第18页/共37页 2202.2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2第19页/共37页证明证明22)()()(CECECD 三三. 方差的性质方差的性质(1) 设 C 是常数, 则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有).()(2XDCCXD

9、证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE 第20页/共37页).()()(YDXDYXD (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 ;22222222222222222222YDXDYEYEXEXEXEYEYEXEXEYEYEXEXEYEXYEXEYEXEYXYXEYXEYXEYXD第21页/共37页)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已知已知例例1备份题第22页/共37页.)

10、(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因为因为例例2第23页/共37页xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以第24页/共37页, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacb

11、a因此有第25页/共37页,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 第26页/共37页2-3.3 变异系数 用方差或标准差描述一个随机变量取值的离散程度固然满意，但是当比较两个变量取值的离散程度时，如果两个变量的均数相差悬殊或者取值单位不同时，这时用方差和标准差就不行了。为此引入一个数字特征 DXEX称为随机变量X的变异系数，记为CVX；它就是X的标准差与均数的比，即 DXC

12、VXEX第27页/共37页2-5 三种重要分布的渐近关系离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变量的正态分布，是三种最基本也是最重要的概率分布，它们之间有着密切的渐近关系。 第28页/共37页例1 某车间送检一批针剂，其中次品的概率是0.01，问抽检500支针剂，有5支次品的概率是多少?解：抽检500支针剂中，检出次品的支数为XB(k；500,0.01)，有5支次品的概率为55495500(5)0.010.99P XC 当 时, n 二项分布 以泊松分布 为极限分布。 ( ; , )B k n p( ;)P k np第29页/共37页由于用二项分布公式直接计算难度很大，又n=500，因此可以近

13、似化为泊松分布来计算，即是55495500(5)0.01 0.99(5;)P XCPnp5550.17555!e第30页/共37页 当 时, n 二项分布 以正态分布 为极限分布。 ( ; , )B k n p(,)N np npq例2 对于某一癌症高发病地区进行普查结果，其患癌症的概率是0.005，现有这地区一万人的乡村，试推测：(1) 这个乡有70人患癌症的概率；(2) 有30至50人患癌症的概率；(3) 有不少于50人患癌症的概率。解 全乡1万人中患癌症人数X服从二项分布。因为n=104,p=0.005,np=1040.005=50，可用正态近似计算。2450,0.995,100.005

14、 0.99549.75npqnpq第31页/共37页(70)P X 4(70;10 ,0.005)(70)Bf1701705049.7549.750.148 (2.84)0.00150430(3050)( ;10 ,0.005)iPxB i5050305049.7549.75 02.840.4977 第32页/共37页4840(50)1(049)1( ;10 ,0.005)iP xPxB i4950050149.7549.75 10.147.09 1 0.44430.5557 故有70人患癌症的概率为0.001；有30至50人患癌症的概率为0.4977；全乡不少于50人患癌症的概率为0.555

15、7。第33页/共37页 有了二项分布的两个近似计算，可以总结一下二项分布问题中的计算方法的选择： (1) 当n为一个小的数时，可直接应用二项分布公式计算； (2) 当n是一个大的数，而且p值很小或接近于1，np不很大，则应用泊松分布近似计算； (3) 当n是一个大的数，p不是很小或不是接近于1时，可应用正态分布近似计算。第34页/共37页当n增大时，泊松分布 ( ; )P k以正态分布 ( , )N 为极限分布。 例3 某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品数为35件，试估计该厂：(1) 下个月内出现废品件数为65件的概率；(2) 下个月内出现废品少于40件的概率。3535解 此厂出现废品属于伯努利试验之稀有事件，可认为其每月出现废品的件数X服从参数=35的泊松分布，泊松分布可用正态近似：,第35页/共37页653535165351(65)5.07065!353535P Xe6539350353935035(40)!3535iP Xei 0.685.920.7517 故而该厂下个月内出现废品为65件的概率为0；出现废品少于40件的概率为0.7517。第36页/共37页感谢您的观看！第37页/共37页