镜像法PPT课件

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1、 当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1. 问题的提出几个实例几个实例接地导体板附近有接地导体板附近有一个点电荷，如图所一个点电荷，如图所示。示。q qqq非均匀感应电荷等效电荷3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理第1页/共28页 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电

2、荷的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷qq等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？第2页/共28页2. 镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均该边

3、界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。得以明显简化的一种间接求解法。 在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原

4、理、面向多是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法。3. 镜像法的理论基础 解的惟一性定理第3页/共28页 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素” 。4. 镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小

5、以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第4页/共28页1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()04qzRR（）00zRR满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像镜像电荷镜像电荷电位函数电位函数因因z = 0时，时，有效区域RR q qhhq q qh第5页/共28页上半空间上半空间( ( z0 ）的电位函数）的电位函数q qh22222211( , , )4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d

6、 dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第6页/共28页2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：ln(0)2lRzR满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数当当z = 0 时，时，rr 0,llhh hhl 有效区域RR l第7页/共28页3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平

7、板，点电荷电荷q 位于位于(d1, d2 )处。处。 显然，显然，q1 对平面对平面 2 以及以及 q2 对平对平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。1231111()4qRRRR对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于( d1, d2 ) 只有在只有在(d1, d2 )处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3 = q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数 d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第8页/共28页 例例3.

8、5.1 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？移至无穷远处，需要做多少功？ 解解：移动电荷：移动电荷q时，外力需要克服电时，外力需要克服电场力做功，而电荷场力做功，而电荷q受的电场力来源于导受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至移至无穷远时电场力所做的功。无穷远时电场力所做的功。20( )4(2 )xqE xexe22200( ) d1d4(2 )16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx = 0d-d 由镜像法，感应电荷可以用像电荷由镜像法，感应电荷

9、可以用像电荷 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷 应位于应位于x，则，则像电荷产生的电场强度像电荷产生的电场强度qq q第9页/共28页3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体球面的镜像 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。 q 应位于导体球内（显然应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷不影响原方程），且在点电荷q与球与球心的连线上，距球心为心的连线上，距球心为d。则有。则有 01()4qqRR 如图所示，点电荷如图所示，点电荷q 位于半径位于半径为为a 的接地导体球外，距球心为的接地导体球外，距球心为

10、d 。方法：利用导体球面上电位为零确定：利用导体球面上电位为零确定 和和 q。d dq? 问题： PqarRdqPaqrRRdd第10页/共28页 令令ra，由球面上电位为零，由球面上电位为零，即即 0，得，得=0qqRRRqRq 常数此式应在整个球面上都成立。此式应在整个球面上都成立。OqPOq P2add 0RaqqqRdqqRR 条件：若：若像电荷的位置像电荷的电量1adqq RdaRad常数常数qPqaRRddO第11页/共28页2222221()42cos()2 ()cosqarardrddradr ad22223 2()4 (2cos )Sr aq dara adad 2222in

11、223 200()sin d dd4(2cos )SSq daaaqSqaadadd 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外的电位函数为球外的电位函数为导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为qPaqrRRdd01()4qqRR第12页/共28页点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像,aqqd 如图所示接地空心导体球壳的内半径为如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为、外半径为b，点电，点电荷荷q 位于球壳内，与球心相距为位于球壳内，与

12、球心相距为d ( d |q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（无关（为什么为什么？）？）aqdobqrRRaqdOd第13页/共28页球壳内的电位球壳内的电位220223 2()4 (2cos )Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq adaqSqaadad 感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为导体球面的内表面上的总感应电荷为导体球面的内表面上的总感应电荷为可见，在这种

13、情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。 22222201()42cos()2 ()cosqarardrddradr ad第14页/共28页2 . 点电荷对不接地导体球的镜像 先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电的感应电荷分布，则荷分布，则 2,aaqq ddd 导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是电位不为零的等位面；导体球面是电位不为零的等位面； 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应

14、电荷为零。电荷为零。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷 点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 的不的不接地导体球外，距球心为接地导体球外，距球心为d 。PqarRdO第15页/共28页0aqqqda ， 然后断开接地线，并将电荷然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位可用一个位于球心的镜像电荷于球心的镜像电荷q来替代，即来替代，即01()4qqqRRr球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddqO第16页/共28页3.5.4

15、 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度所示，一根电荷线密度为为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d 。l图1 线电荷与导体圆柱lxoa0d图2 线电荷与导体圆柱的镜像ald( , )P xo0ld特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行

16、的无限长线电荷，如图2所示。所示。1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像第17页/共28页a由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数ldll2lladd 由于上式对任意的由于上式对任意的 都成立，因此，将上式对都成立，因此，将上式对 求导，可以得到求导，可以得到 222211lnln222cos2cosllCdddd|222211lnln0222cos2cosllCa adadadad|0cos)(2)(

17、)(2222lllldaddaddad00)()(2222lllldaddad第18页/共28页导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：2242222cosln22cosldadaCddd由由 时，时，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为2222()2 (2cos )lSadaa adad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为222220()dd22coslinSlSdaaSaadad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应

18、电荷与所设置的镜像电荷相等。ln2ldCa第19页/共28页2. 两平行圆柱导体的电轴图1 1 两平行圆柱导体hahall图2 2 两平行圆柱导体的电轴lblhhbaa特点：由于两圆柱带电导体的电场互由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。的一侧电荷密度较小。分析方法：将导体表面上的电荷用线将导体表面上的电荷用线密度分别为密度分别为 、且相距为、且相距为2b 的两根的两根无限长带电细线来等效替代，如图无限长带电细线来等效替代，如图 2所示。所示。l问题：如图如图

19、1所示，两平行导体圆柱的所示，两平行导体圆柱的半径均为半径均为a，两导体轴线间距为，两导体轴线间距为2h，单，单位长度分别带电荷位长度分别带电荷 和和 。ll第20页/共28页图2 2 两平行圆柱导体的电轴lblhhbaa 通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这通常将带电细线所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。种方法又称为电轴法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用线电荷与接地导体圆柱面利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定的镜像确定b 。思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？第21页/

20、共28页3.5.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 图1 1 点电荷与电介质分界平面zx12qh特点：在点电荷的电场作用下，电介质产在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。与极化电荷共同产生。图2 2 介质1 1的镜像电荷Pqhh11xzqRR问题：如图如图 1 所示，介电常数分别为所示，介电常数分别为 和和 的两种不同电介质的分界面是无限的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质大平面，在电介质 1 中有一个点电荷中有一个点电荷q ，距

21、分界平面为距分界平面为h 。12分析方法：计算电介质计算电介质 1 中的电位时，用中的电位时，用位于介质位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。1第22页/共28页介质介质1中的电位为中的电位为122222211( , , )4()()qqx y zxyzhxyzh(0)z 222221( , , )4()qqx y zxyzh(0)z 2 计算电介质计算电介质 2 中的电位时，用位中的电位时，用位于介质于介质 1 中的镜像电荷来代替分界

22、面中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为满介电常数为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图 3 所示。介质所示。介质2中的电位为中的电位为图3 3 介质2 2的镜像电荷22qqPxzhR第23页/共28页可得到可得到1211()()qqqqqqqq说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为），其镜像电荷为12121212,llll 12121212qqqq 1020zz211020zzzz利用电位满足的边界条件

23、利用电位满足的边界条件第24页/共28页图1 1 线电流与磁介质分界平面zx12Ih图2 2 磁介质1 1的镜像线电流PIhh11xzIRR特点：在直线电流在直线电流I 产生的磁场作用下，产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。流共同产生。问题：如图如图1所示，磁导率分别为所示，磁导率分别为 和和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相

24、距为分界平面，且与分界平面相距为h。12分析方法：在计算磁介质在计算磁介质1中的磁场时，中的磁场时，用置于介质用置于介质2中的镜像线电流来代替分界中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为磁导率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图2所示。所示。13.5.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像 第25页/共28页111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxzh(0)z 因为电流沿因为电流沿 y 轴方向流动，所以矢轴方向流动，所以矢量磁位只有量磁位只有y 分量，则磁介质分量，则磁介质1和

25、磁介质和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为中任一点的矢量磁位分别为图3 3 磁介质2 2的镜像线电流22IIPxzhR 在计算磁介质在计算磁介质2中的磁场时，用置于中的磁场时，用置于介质介质1中的镜像线电流来代替分界面上的中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为率为 的均匀介质，如图的均匀介质，如图3所示。所示。2第26页/共28页211020001211,zzzzAAAAzz相应的磁场可由相应的磁场可由 求得。求得。BA 11211222221()11lnln22()()()IIxzhxzh A(0)z 12222211ln()()Ixzh A(0)z 21212121IIII 12()()IIIIIIII可得到可得到故故利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件第27页/共28页感谢您的观看！第28页/共28页