量子力学教程第十四讲PPT课件

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1、 学 习 内 容重点 狄喇克符号及应用狄喇克符号及应用第1页/共18页 一个量子态相当于一个态矢量。在希尔伯特空间中选定一组基矢，即选定表象后，态矢量可以用在这组基矢上的投影（即矢量的分量）表示，这就是波函数。与数学中表示一个矢量可以不引入坐标系不用它的分量而直接用矢量表示相似，在量子力学中表示一个量子态也可以不引进具体的表象，直接用矢量符号表示。这就是狄拉克符号。 一、狄拉克符号的引入一、狄拉克符号的引入第2页/共18页态矢量态矢量 微观体系的状态用一种矢量来表示，这种微观体系的状态用一种矢量来表示，这种矢量称为态矢量矢量称为态矢量 （一般是复矢量）（一般是复矢量）态矢量空间态矢量空间 由一

2、切可能的态矢量所构成的一种抽由一切可能的态矢量所构成的一种抽象的线性空间，称为态矢量空间象的线性空间，称为态矢量空间 ( (希尔伯特空间希尔伯特空间) )。 对偶态矢量空间对偶态矢量空间 由共轭态矢量所构成的线性空间由共轭态矢量所构成的线性空间称为对偶态矢量空间。称为对偶态矢量空间。刃矢刃矢 表示态矢量空间中一个态矢量表示态矢量空间中一个态矢量, ,又称为又称为 右矢右矢( (ketket) )刁矢刁矢 表示对偶态矢量空间中一个态矢量表示对偶态矢量空间中一个态矢量, ,又又 称为称为左矢左矢（brabra） 二、右矢和左矢二、右矢和左矢 第3页/共18页1naa,.),(*3*2*1aaa在在

3、Q Q表象中的表示表象中的表示在在Q Q表象中的表示表象中的表示 表示波函数表示波函数 所描述的其共轭状态所描述的其共轭状态即即 表示波函数表示波函数 所描述的状态所描述的状态力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示： 坐标算符的本征态坐标算符的本征态 （ 为为 的本征值）的本征值） x xx 动量算符的本征态动量算符的本征态 （ 为为 的本征值）的本征值）PPP 能量算符的本征态能量算符的本征态 或或 （ 为为 本征值）本征值）nEnnEH 角动量平方算符角动量平方算符 和分量算符和分量算符 的共同本征态的共同本征态 ， 和和 为为 和和

4、 本征值。本征值。2LzLml,2(1)l l m2LzL第4页/共18页三、态矢的内积（标积）三、态矢的内积（标积）1 1一般态矢的内积一般态矢的内积*ABnnna b Bnbbb 12 *An(a ,aa) 12*Bnnna b ABBA* 注注：第5页/共18页2 2本征态矢的内积（本征函数内积）本征态矢的内积（本征函数内积）nnn n *nmnmu u dx 例如例如：线性谐振子哈密顿算符的本征函数为线性谐振子哈密顿算符的本征函数为n(x)则内积可以写为：则内积可以写为：本征函数正交归一化方程本征函数正交归一化方程*nmnmdx nnn n （1）Discrete Spectrum （

5、离散谱）（离散谱）un(x) nmnm, 注注：教教材材中中内内积积表表示示为为：（）曾曾谨谨言言第6页/共18页例如例如：氢原子哈密顿算符的本征函数为氢原子哈密顿算符的本征函数为:nlm狄拉克表示为：|nlmm mnnn m n m 正正 交交 归归 一一 化化 方方：程程 为为* qqu udx(q q) （2）Continuous Spectrum （连续谱连续谱）uq(x)q q(qq) 连续谱本征函数正交归一化方程连续谱本征函数正交归一化方程第7页/共18页例 坐标算符与动量算符的本征函数的内积坐标算符与动量算符的本征函数的内积p p( pp)x x( xx) 动动 量量 算算 符符

6、坐坐 标标：算算 符符：四、态矢在四、态矢在Q Q表象中投影表象中投影 （1）Discrete Spectrum| |nnna u nnnx tat ux (, )( )()上式左乘上式左乘m| 第8页/共18页nnmam n nm nna ma |Q mam 所所 以以 ， 态态 矢矢 量量在在表表 象象 中中 投投 影影 为为 ：（离离 散散 谱谱 ）*( ) ( ) ( )等等价价的的积积分分关关，系系为为：mma tuxx t dx第9页/共18页（2）continuous spectrumqaqdq qqx tat u dq ( , )( )qqaq qdq qaqq dq ( )

7、qa /上式左乘上式左乘q/| *|Q ( )()( , )qqqaqatuxx t dx 所所 以以 ， 态态 矢矢 量量在在表表 象象 中中 投投 影影 为为 ：连连 续续 谱谱 ）等等 价价 积积 分分：关关 系系 为为第10页/共18页五、基矢的封闭性五、基矢的封闭性（1）Discrete Spectrum基矢量封闭性方程基矢量封闭性方程| | ( (1 1) )nnnnanna (2) nan 将将(2)代入代入(1)| | ( (3 3) )nnn| 由由(3),我们得到：我们得到： nnn| 1这这是是恒恒等等算算符符上式即离散谱基矢量的封闭性方程上式即离散谱基矢量的封闭性方程第

8、11页/共18页（2）continuous spectrum基矢量封闭性方程基矢量封闭性方程qaqdq qaq |qdqq | 1 qdqq 连连续续谱谱基基矢矢量量封封闭闭性性方方程程为为所所以以：也也是是一一：个个恒恒等等算算符符第12页/共18页六、算符六、算符 在在Q表象中的狄拉克表示表象中的狄拉克表示F（1）Q为为Discrete SpectrumQ mnFmFF n 狄狄拉拉克克算算符符在在 表表象象中中矩矩阵阵元元表表示示* nmnmu Fu dx在表象中的矩阵元形式积分（2） Q为为 continuous spectrumQ /qqFFq F q 算算符符在在 表表象象中中矩矩

9、阵阵元元表表示示狄狄拉拉克克/* qqqqu Fu dx积分在表象中的矩阵元形式第13页/共18页七、常见量子力学公式的狄拉克表示七、常见量子力学公式的狄拉克表示1.1.算符的本征方程算符的本征方程FF 2.2.薛定谔方程薛定谔方程|xxFx 表表 象象 中中iHiHtt 第14页/共18页*|*FdxFFFdx 3.3.平均值公式平均值公式若若 归一化，归一化，=14.4.正交归一方程正交归一方程*|nmmnnmu u dxn m 离离散散谱谱5. *()|()qqu u dxqqq qqq 连连续续谱谱第15页/共18页( )( )|nnnnnxa uxan 5.5.完全性方程完全性方程*( , )nnnaux t dxan 6.6. 在在Q Q表象中矩阵元表象中矩阵元第16页/共18页4.6 线性谐振子与占有数表象 L i n e a r o s c i l l a t o r a n d o c c u p a t i o n n u m b e r r e p r e s e n t a t i o n 第17页/共18页感谢您的观看！第18页/共18页