大一下高数下册知识点

《大一下高数下册知识点》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一下高数下册知识点（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一）向量线性运算定理1：设向量az 0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数 入，使b=1、线性运算：加减法、数乘;2、4、向量的模、方向角、投影:1)向量的模:(2 2 2X y z ；2)两点间的距离公式:ABX2 X1)2 (y222yj(Z2 乙)3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)xyzcos-,cos-,cosrrr方向余弦:2 2cos coscos25）投影：Prjuaa cos,其中为向量a与u的夹角。空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式;3、利用坐标做向量的运算：设a （ax,ay,az）

2、, b （bx,by,bz）；a b(axbx,ayby ,azbz),a (ax,ay,az)；（二）数量积，向量积1、数量积:b cos1)2) aa baxbxaybyazbz2、向量积：cab大小：|a|b sin ，方向：a,b,c符合右手规则1) a a 02)a / b a b 0ijkaxayazbxbybz运算律：反交换律 b a(三) 曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z) 0，/ 2 2绕y轴旋转一周：f (y, x z )0/ 2 2绕z轴旋转一周：f( X y , z) 03、柱面：0的柱面F(

3、x, y)F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为z 04、二次曲面1）椭圆锥面：亍a2yz22x2）椭球面：a2 y b22 x 旋转椭球面：y2y2a2z-2c2 x3)单叶双曲面：2 a2 x4)双叶双曲面：2 a2 x5)椭圆抛物面：2 ab2b2b2x22y6)双曲抛物面（马鞍面）2 ab222xy-17)椭圆柱面：2 ab222xy18)双曲柱面：2 ab229)抛物柱面：xay（四）空间曲线及其方程1、般方程:F(x,y,z) 0G(x,y,z) 0xx(t)xa cos t2、参数方程：yy(t)，如螺旋线：ya sin tzz(t)zbt3、空间曲线在坐标面上的投影F

4、(x, y, z) 0H (x, y) 0，消去z，得到曲线在面xoy上的投影G(x,y,z) 0z 0(五) 平面及其方程1、点法式方程:A(x x。)B(y y。)C (z z。)法向量：n(A,B,C)，过点(x, y, z)2、般式方程:AxBy Cz Dx截距式方程：a3、两平面的夹角:ni(A1 , B1 , C1)， n2(A2 , B2 ,C2)，cosAiA2B,B2 C,C2B；BC2、AC；A, A2 B1B2 C1C2iA2b2 C24、点 P(x。，y, z)到平面 AxByCz D 0的距离:Ax。By。Cz。D ,A2 B2 C(六) 空间直线及其方程A1 xB1

5、 yC1zDi01、一般式方程：A2x B2 yC2zd20xX。yyozZo2、对称式（点向式）万程：mnP方向向量：s(m,n,p)，过点（X。,yo, Zo)xx0 mt3、参数式方程：yyo ntzZo pt4、两直线的夹角：Si(5,6,Pi),S2(m2,n2, P2)ImgngP1P2cos/ 2 2 佃 ni2PiJm； n；22P2Lim1 m2n1 n2p1 p20L1 / L2mLnijpi_m2n2 p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,einAmBn CpJA2 B2 C2. m2 n2p2L/AmBnCp oABCLmnP第九章多元函数微分法及其应

6、用(一)基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域,闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：（1）定义：设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映 射f: D-R为定义在D上的n元函数。当n2时，称为多元函数。记为U=f (Xi, X2, ，Xn) , ( Xi , X2, ，Xn) Do3、二次函数的几何意义：由点集 D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的图形 为一张平面，而z=X2+y2的图形是旋转抛物线。4、极限：(1)定义：设二元函数f(p)=f(X,y)的定义域D,pO(xO,yO)是D的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数 ，总存在正数3 ,

7、使得当点p (X,y ) DAU( p0, 3)时，都有 I f(p)-A I = I f(X,y)-A I 成立，那么就称常数 A 为函数f(X,y)当(X,y) (x o,y o)时的极限，记作lim f(X,y) A(X,y) (X0,y)定义3设M元函数f (P)的定义域为点集0,化是其聚点且匕如果lim f(P)=尸T %则称“元函数在点几处连续.设匕是函数f(p)的定义域的聚点.如果f(p)在点化处不连续，则称化 是函数f(p)的多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：(1)在有界闭区域 D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；

8、(2)在有界区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、 偏导数：设有二元函数z=f(x,y)，点(x 0,y 0)是其定义域D内一点。把y固 定在y0而让x在x0有增量(,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增 量)如果:与/ 之比当0/ 0时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作：(Xo,y。)Iim f(xx, y0) f(xo, y0)x 0xfy(x,y。)Iim f(x,yy) f(x,y)y oy7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数fxy(x,y)和fyx(x,y)在D内连续，那么在

9、该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。fff8、方向导数：rcos =cos 其中, 为I的方向角。I入y9、全微分：如果函数z=f(x, y)在(x, y)处的全增量z=f(xy)-f(x,y) 可以表示为z=Ax+B%+o( p，其中A、B不依赖于 ，仅与x,y有关,当PT,此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，A&+ B称为函数z=f(x, y) 在点(x, y)处的全微分，记为dz Zdx dyx y(二)性质1、偏导数连续函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:微分法1) 定义：2) 复合函数求导：链式法则若 z f(u,v),u u(x, y),v v

10、(x, y)，则zzuzv zzuzVxuxvx， yuyvy3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三)应用1、极值1)无条件极值：求函数z f (x,y)的极值fx0解方程组fy0求出所有驻点，对于每一个驻点(X,y),Afxx ( Xo,y。),Bfxy(x,y) , Cfyy(x,y),若ACB20A 0，函数有极小值，若ACB20,A 0，函数有极大值；若ACB20函数没有极值；若ACB20,不定。2)条件极值：求函数z f (x, y)在条件(x,y)0下的极值令：L(x, y) f (x, y) (x, y) Lagrange 函数Lx 0解方程组Ly 0(x,y) 02、

11、几何应用1) 曲线的切线与法平面x x(t)曲线：y y(t)，贝S上一点M(Xo,y,Zo)(对应参数为to)处的z z(t)切线方程为:x Xo x(to) y (to)y yoZ(to)法平面方程为：X (to)(x Xo)y (to)(y y。) z(t)(z z) o2)曲面的切平面与法线曲面：F (x, y, z) o ,则上一点M(Xo,y,z)处的切平面方程为:Fx(Xo,y,z0)(xXo) Fy(Xo,y,z)(y y。) Fz(Xg, y,z)(z zo) 0xXo法线方程为:yyozZ(一)二重积分Fx(Xo，yo，Zo)Fy(Xo，yo，Zo)Fz(Xo，yo，Zo)

12、第十章重积分limonf( k, k)k 12、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1)直角坐标D(x, y)i(x)y 2(x)1、aXb定义：f(x,y)dD2(X)f (x, y)dxdydxa1(x)f (x,y)dy(x, y)i(y)cx 2(y)y d ，2)f (x, y)dxdy极坐标i(f (x, y)dxdyDd 2(y)cdy I(y) f(x，y)dx2()2()1()f ( cos , sin ) d1、定义：f (x, y, z)dv1叫 f( k, k, k)U k 12、性质：3、计算：1)直角坐标Z2(x,y)f (x,y,z)dvdxdy

13、()f(x,y,z)dz .DZ1 (x, y)bf (x,y,z)dvd zf (x, y,z)dxdy一aD z一 ”2)柱面坐标xcosysin，f (x, y, z)d vf ( coszz3)球面坐标nVksin) 三重积分,z) d d dzxr sincosyr sinsinzr cosf(x, y, z)dv f (r sin cos , r sin sin ,r cos )r2sin drd d(三)应用曲面S: zA d rf (x,y), (x, y)D的面积：dxd y(z)2x(z)2 y第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数Unn 1U1U2U3Un

14、部分和：SnnUkk 1U1 u2 U3Un ，正项级数：Un，Unn 10交错级数：(1)nUn，un0n 12） 级数收敛：若lim Sn S存在，则称级数 Un收敛，否则称级数Un发散nnn 1n 13） 绝对收敛：Un|收敛，则Un绝对收敛；条件收敛：Un收敛，而n 1n 1Un发散，则Un条件收敛。n 1定理：若级数Un绝对收敛，则Un必定收敛。n 12、性质:1)2)S+ (T级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性;级数 an与bn分别收敛于和S与b,贝y(an bn)收敛且，其和为n 1n 1n 13)4)5)必要条件：级数Un收敛即limUn 0.n3、审敛法正

15、项级数:1)Un ,n 1定义：lim SnUn 0S存在;2)Un收敛n 1Sn有界;3)比较审敛法:,Vn为正项级数，且Unn 1n 1UnVn (n 1,2,3,)在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛;级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。Un发散，则Vn发散.1n 1若 Vn收敛，则 Un收敛；若n 1n 1n比较法的推论：Un , Vn为正项级数，若存在正整数 m，当l m时,n 1n 1UnkVn，而 Vn收敛，则Un收敛；若存在正整数 m，当n m时,n 1n 1Un kVn，而 Vn发散，则Un发散.n 1n 1做题步骤：找比较级数（等比数列，

16、调和数列，p级数1/np）;比较大小;是否收敛5）比较法的极限形式：设Un1Vn为正项级数,n 1.Un(1)若 Iim v%若IimUI (0 I而 Vn收敛，则 Un收敛;n 1n 16）比值法:0 或 lim一 n Vn，而Vn发散，则Un发散.n 1n 1Un为正项级数，设nimUn1，则当I 1时，级数 Un收n 1敛；则当I 1时，级数 Un发散；当I 1时，级数 Un可能收敛也可能发散.n 1n 17）根值法：1Un为正项级数，设imnUn I，则当I 1时，级数1Un收敛;则当I 1时，级数 Un发散；当I 1时，级数 Un可能收敛也可能发散n 1n 18）极限审敛法：Un为正

17、项级数，若Iim n Un 0或Iim n Un ，则级n 1，nn，数 Un发散；若存在p 1，使得Iim np Un I （0 I ），则级数Un收敛.n 1nn 1交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：（1）nUn,Un 0满足：Un 1 Un （n 1,2,3,），n 1且Iim Un 0，则级数（1）nUn收敛。nn 1任意项级数：Un绝对收敛，则Un收敛收敛，q 1常见典型级数：几何级数：aqn 0发散，q 11收敛，p 1p -级数：npn 1 11发散，p 1(二)函数项级数1、定义：函数项级数Un(X)，收敛域，收敛半径，和函数;n 1n2、幕级数：anXn 0-,0收敛半径的求法：niman 1an，则收敛半径R0,