理论力学习题一

《理论力学习题一》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学习题一（47页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第一章 思考题1.1 平均速度与瞬时速度有何不同？在什么情况下，它们一致？答：平均速度因所取时间间隔不同而不同，它只能对运动状态作一般描述，平均速度的方向只是在首末两端点连线的方向；而瞬时速度表示了运动的真实状况，它给出了质点在运动轨道上各点处速度的大小和方向（沿轨道切线方向）。只有在匀速直线运动中，质点的平均速度才与瞬时速度一致。 1.2 在极坐标系中，为什么而非？为什么而非？你能说出中的和中另一个出现的原因和它们的物理意义吗？答：在极坐标系中，径向速度和横向速度，不但有量值的变化，而且有方向的变化，单位矢量对时间的微商不再等于零，导致了上面几项的出现。实际上将质点的运动视为径向的直线运动以

2、及以极点为中心的横向的圆周运动。因此径向加速度分量中，除经向直线运动的加速度外，还有因横向速度的方向变化产生的加速度分量；横向加速度分量中除圆周运动的切向加速度分量外，还有沿横向的附加加速度，其中的一半是由于径向运动受横向转动的影响而产生的，另一半是由于横向运动受径向运动的影响而产生的。1.3 在内禀方程中，是怎样产生的？为什么在空间曲线中它总沿着主法线的方向？当质点沿空间曲线运动时，副法线方向的加速度等于零，而作用力在副法线方向的分量一般不等于零，这是不是违背了牛顿运动定律呢？答：由于自然坐标系是以轨道切线、主法线和副法线为坐标系，当质点沿着轨道曲线运动时，轨道的切线方向始终在密切平面内，由

3、于速度方向的不断变化，产生了沿主法线方向且指向曲率中心。在副法线方向不存在加速度分量，等于零，这并不违背牛顿运动定律，因为在副法线方向作用的主动外力不一定为零，但可做到，即所有外力之和在副法线方向平衡。1.4 在怎样的运动中，只有而无？在怎样的运动中，又只有而无？在怎样的运动中，既有又有？ 答：质点在变速直线运动中，只有而无；质点在匀速曲线运动中，只有而无；质点在变速曲线运动中，既有又有。1.5 与有无不同？与有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。答：直线运动中： 是速度，是矢量；是速率，是标量； 是加速度，是矢量；是加速度的大小，是标量。 曲线运动中： 是速度，是矢量；是速度的径向分

4、量，是标量； 是加速度，是矢量；是加速度的切向分量，是标量。1.6 人以速度向篮球网前进，则当其投篮时应用什么角度投出？跟静止时投篮有何不同？答：设静止时投篮角度为，运动时投篮角度为，且：，篮球为动点，人为运动参照系，篮球网不动。人的速度为牵连速度，球对人的速度为相对速度，人静止时投篮速度为，也就是球的绝对速度。因此： ,因余切函数是减函数。故：，即人以速度向篮球网前进时，其投篮的抛射角较静止时应大些，才能准确地将球投入蓝中。1.7 雨点以匀速落下，在一有加速度的火车中看，它走什么路线？答：这属于牵连运动为平动的问题。以车厢为参照系建立坐标系oxy，则雨点受惯性力作用，忽略雨点的重力，则动力学

5、方程为： 即：雨点在x方向作匀加速运动，在y方向作匀速运动，与重力场中物体的平抛运动相比较知，雨点相对于火车走的是一条抛物线，若，则要经过积分才能知道路径。1.8 某人以一定的功率划船，逆流而上，当船经过一桥时，船上的渔竿不慎掉入河中，两分钟后，此人才发现，立即返棹追赶，追到渔竿之处在桥的下游600米的地方，问河水的流速是多大？答：以船为动点，河水为动系，岸为定系。船对水的相对速度，水对岸的流速（及渔竿的速度）为牵连速度，所以： 解得：=2.5米/秒。1.9 物体运动的速度是否总是和所受的外力的方向一致？为什么？答：物体运动速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物体的加速度方向才和其所受外力的

6、方向一致。速度总是沿着切线方向，而作用于质点的外力是可以有不同方向的，所以物体运动的速度并不总是和所受外力的方向一致。1.10 在哪些条件下，物体可以作直线运动？如果初速度的方向和力的方向不一致，则物体是沿力的方向还是沿初速度的方向运动？试用一具体实例加以说明。答：当力的作用方向与物体的初速度方向一致或相反时，物体才能作直线运动。如果力的方向与物体的初速度方向不一致，则物体既不沿力的方向也不沿初速度的方向运动，如抛射体运动。1.11 质点仅因重力作用而沿光滑静止曲线下滑，达到任意一点时的速度只和什么有关？为什么是这样？假如不是光滑的又将如何？答：如图所示，取x轴为零势线，由于曲线光滑，曲线对质

7、点的作用力和位移方向垂直，该力不作功，故机械能守恒： 即达到任一点的速度只与初速度及下降的高度有关，而与曲线的形状无关。如果曲线不是光滑的，则有摩擦力存在，摩擦力在质点运动过程中作功，由动能定理有：由于摩擦力作功与路径有关，所以摩擦力存在时，质点到达任一点的速度与初速度及下降的高度有关，还与曲线的形状有关。1.12 为什么质点被约束在一光滑静止的曲线上运动时，约束力不作功？我们利用动能定理或能量积分，能否求出约束力？如不能，应当怎样去求？答：因为约束力与运动方向垂直，所以在光滑静止曲线上，约束力不作功，用动能定理或能量积分无法求出约束力。此时可以用动能定理或能量积分先求出速度，在利用内禀方程中

8、的法向运动微分方程，可求出约束力。1.13 质点的质量是1kg，它运动时的速度是：是沿xyz轴上的单位矢量，求此质点的动量和动能的量值。答：动量：动量的量值： 动能： 1.14 在上题中，当质点以上述速度运动到（1，2，3）点时，它对原点O及z轴的动量矩各是多少？答：质点运动到（1，2，3）点时，它对原点O的位矢为： 则对O点的动量矩为： 对z轴的动量矩为： 1.15 动量矩守恒是否就意味着动量也守恒？已知质点受有心力作用而运动时，动量矩是守恒的，问它的动量是否也守恒？答：动量矩守恒的条件是；动量守恒的条件为：。由于时，可以是与共线而，故动量矩守恒时动量不一定守恒。以质点在有心力作用下的运动为

9、例，显然，动量矩守恒，但因为，动量不守恒。实际上质点的动量沿轨道切线，其大小和方向时刻在变化。1.16 如，则在三维直角坐标系中，仍有的关系存在吗？试检验之。答：， 则： 同理： 即有心力场是无旋场，有心力场是保守力场。1.17 在平方反比引力问题中，势能曲线应具有什么样的形状？答：平方反比引力： 势能为：势能曲线形状如图所示。1.18 我国发射的第一颗人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角为68.50，比苏联及美国第一次发射的都要大，我们说，交角越大，技术要求越高，这是为什么？又交角大的优点是什么？答：评定发射人造卫星的技术指标应从多方面综合考虑，不应简单地一概而论。卫星的轨道平面和地球

10、赤道平面的夹角大，利用地球自转的线速度就小，因而就需要火箭的推动力要大，技术要求就高。交角大，卫星“扫射”地球表面积大，因而了解信息就多。但人造地球卫星的轨道平面和地球赤道平面的夹角，是按卫星的功能和实际需要来确定的。1.19 卢瑟福公式对引力库仑场来讲也能适用吗？为什么？答：卢瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力库仑场为平方反比引力，两者实质一样，只差一符号，引力场中轨道的偏转与斥力场中偏转的方向相反，故卢瑟福公式也能使用。第一章 习题1.1 沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1，而通过下一等距离s的时间为t2，试证明枪弹的减速度（假定是常数）为： 证：设初速度为，加速度为：-a通

11、过第一段距离s： 通过2s距离： （1）（2）两式联立，消去得： 证毕。xABOyS(o,yB)(xA,o)1.2 某船向东航行，速率为每小时15千米，在正午经过某一灯塔，另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔，问在什么时候两船的距离最近？最近的距离是多少？解：以正午为计时零点，设时两船相距最近，其最近距离为。设东向船为，北向船为，以灯塔为坐标原点，建立坐标系，如图所示。在时刻，两船位置分别为： 则:（即午后45分钟）将值代入表达式得：（千米）答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。1.3 曲柄，以匀角速绕定点O转动，此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线ox运动，求

12、连杆上C点的轨迹方程及速度。设。解：如图所示建立坐标系0xy，C点的坐标为： 在三角形AOB中， 由（1）（2）两式消去得： 即： 由（2）（3）两式消去得： 由（4）（5）两式消去得： 上式化简得轨道方程为： 对（1）（2）两式取微商得： 对（3）式取微商得： 将（8）代入（6）（7）得： C点的速度为 1.4 细杆OL绕O点以匀角速转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，如图所示，d为一已知常数，试求小环的速度及加速度的量值。解：如图建立直角坐标系Oxy，小环在任意时刻的位矢为：yxLABCOd式中用到： 小环的速度的量值为： 小环的加速度的量值为：1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变

13、加速度可用下式表示： 式中c及T为常数，试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。解： 升降机作直线加速运动，则： 两边积分：两边积分： 1.6一质点沿位矢及垂直于位矢的速度分别为及，式中是常数，试证其沿位矢及垂直于位矢的加速度分别为：证：由已知：沿位矢方向垂直位矢方向则：为径向、横向单位矢量 证毕。1.7 试自出发，计算及，并由此推出径向加速度和横向加速度。xyO解：坐标与平面极坐标之间的关系，如图所示。 径向加速度为： 横向加速度为：1.9 质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。证：上式对时间取微商： 即速度矢量与加速度矢量正交

14、。又证：因为质点作平面运动，速度总沿轨道切线方向。 而 又v为常数（已知），所以： 故： 即速度矢量与加速度矢量正交。 证毕。1.10 一质点沿着抛物线运动，其切向加速度的量值为法向加速度量值的-2k倍，如此质点从正焦弦的一端以速度u出发，试求其达到正焦弦另一端的速率。解：由得： 始点 （第三象限）终点 （第四象限） 由题意知： 积分： 1.11 质点沿着半径为的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知初速度为。解：按题意画图，如图所示。O沿切向与同向，与间夹角，即与间夹角为，为常数。则：1.12 在上题中，试证其速度可表示为： 式中为速度矢量与x

15、轴间的夹角，且当t=0时，证： 分离变量积分： 证毕。 1.13假定以飞机从处向东飞到处，而后又向西飞回原处，飞机相对于空气的速度为，而空气相对于地面的速度则为，与之间的距离为，飞机相对于空气的速率保持不变。(a) 假定，则空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为：；(b) 假定空气速度向东（或向西），试证来回飞行的总时间为：；(c) 假定空气速度向北（或向南），试证来回飞行的总时间为： 。解：本题是牵连运动为平动的问题选择：动点（运动物体）飞机；动系空气；定系大地。其中为相对速度，为牵连速度，为绝对速度。(a)空气静止 其大小为：(b)设空气向东流动当飞机由西向东飞行时，当飞机由东向西

16、返回时：故来回所花时间： (c) 设风从南向北吹，飞机由西向东飞行时相对速度为，飞机由东向西飞时相对速度为，如图所示。1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米，如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？解：设飞机为动点，风为动系，且由南向北吹，大地为静系。如图所示。飞机向北行：飞机向南行：飞机向东或向西行：绕正方形飞行一周所需时间为： 小时15分钟1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨蓬遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米，但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米，如果雨点的速度为8米/秒，

17、求轮船的速率。ABC前后234解：选择：动点雨点动系轮船静系岸边雨对地的速度（绝对速度）雨对船的速度（相对速度）为船对地的速度（牵连速度）为方向如图所示。由相对运动速度公式有：由图形知：与速度三角形相似，则：1.16 宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c，一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地方。解： 分离变量积分： 所以船的轨迹为： ：分离变量积分： 所以船的轨迹为： 船在对岸靠拢的地点： 1.17 小船M被水冲走后，有一荡桨人以不变的相对速度C2朝岸上A点划回，假定河流速度C1沿河宽不变，且小船可以看成

18、一个质点，求船的轨迹。解：这是一个牵连运动为平动的问题，选取平面极坐标系。（径向绝对速度） （1） （横向绝对速度） （2）两式相除，得： （3） 令： 则： 所以船的轨迹为：1.18 一质点自倾角为的斜面的上方O点，沿一光滑斜槽OA下降，如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角应为何值？解：如图所示，由正弦定理得：即： 质点下降的加速度为： 将（2）式代入（1）式得： 因t取极值时，t2也取极值，所以： 则： 即： 证毕。1.19 将质量为m的质点竖直上抛于有阻力的媒质中，设阻力与速度平方成正比，即，如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至投掷点时的速度为： 证：选取

19、坐标系ox，质点受力分析如图所示。上升：质点运动微分方程为： 上式可写为：分离变量积分得： ，代入上式得： 到达最高点：下降：质点运动微分方程为： 积分得： ，代入上式得：落至投掷点：所以质点又落至投掷点时的速度为： 证毕。 1.20 一枪弹以仰角、初速自倾角为的斜面的下端发射，试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为： 证：选取坐标系oxy，受力分析如图所示。枪弹运动微分方程为： 利用初始条件：对（1）（2）两式积分两次得： （3）（4）两式消去t，得轨迹方程为： 子弹击中斜面点：，满足轨迹方程：解得子弹击中斜面的地方和发射点的距离为：对（5）式取极值： 于是

20、： 将的表达式代入（5）得距离的最大值为：O1.21将一质点以初速抛出，与水平线所成之角为，此质点所受到的空气阻力为其速度的倍，为质点的质量，为比例常数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为时所需的时间。解：受力分析如图所示。建立坐标系质点的运动微分方程为：利用初始条件：对上式积分得：当时所需时间为： 1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。解：取电子初速V沿x轴，电场强度E沿y轴，磁感应强度B沿z轴。电子受力：设电子的质量为m，则运动微分方

21、程为： 利用初始条件：，对（3）式积分两次得：利用初始条件：，对（1）式积分得：将（5）代入（2）式得： 整理得： 特征方程为： （6）式齐次方程的通解为：（6）式非齐次方程的特解为：所以方程（6）的通解为： （7）式取微商得： 利用初始条件：，代入（7）得：将（8）代入（5）式得：利用初始条件：，对（9）式积分得：（4）（8）（10）为电子的运动方程。1.23 在上题中，如（a）B=0，则电子的轨道为在竖直平面（xy平面）的抛物线；（b）如E=0，则电子的轨道为半径等于的园，试证明之。证：（a）B=0，电子的运动微分方程为： 利用初始条件： 对（1）（2）（3）式积分两次得：联立消去t得：轨

22、道为xy平面的抛物线。（b）E=0，电子的运动微分方程为： 利用初始条件：，对（6）式积分两次得：z = 0利用初始条件： ，对（4）（5）式积分得：得： 利用初始条件： ，对上式积分得： 则电子的轨道为： 半径等于的园。1.24 质量为m与2m的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上，在m的下端又用固有长度为a、倔强系数k为的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点，在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有长度上，由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期及任何时刻两段绳中的张力T及。解：取隔离体，受力分析如图所示，建立坐标ox，运动微分方程为

23、： 由题意知： 对（5）式求导两次得： 将（4）（6）代入（1）（2）（3）消去 （7）+（8）得： （11）式的通解为： 定积分常数： 利用（6）式，（2）+（3）-（1）得： 由（6）和（13）式知三个质点作相同规律运动，由（11）知质点作简谐振动，其周期为： 将（12）代入（4）得： 1.25滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为的物体，当滑轮以匀速转动时，物体以匀速下降，如将滑轮突然停止，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受的作用时静伸长量为。Ox解：以弹簧原长处为弹性势能零点，以弹簧平衡位置（伸长时）为坐标原点建立坐标，且以点为重力势能零点，如图所示。由机械能守

24、恒得：弹簧处于平衡位置时，。代入式并化简得：不是题目所求，舍去。弹簧的最大伸长量为：且最大张力为：1.26一弹性绳上端固定，下端悬有及两质点。设为绳的固有长度，为加后的伸长，为加后的伸长。今将任其脱离而下坠，试证质点在任一瞬时离上端的距离为：证：研究对象为质点，其受力分析如图所示。设坐标原点在处，向下为正，建立坐标轴。设绳的弹性系数为，质点平衡时，则：，质点运动微分方程为：abcxO1O上式为简谐振动方程，其解为：将初始条件：代入得：故任一时刻离上端的距离为：证毕。1.27一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下，问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为。解：以质点为研

25、究对象，受力分析如图所示。设质点滑至与竖直线夹角为处离开圆柱面，此时，则质点的法线方程为：O质点滑动过程中，只保守力作功，机械能守恒 、两式联立得：1.28 重为W的小球不受摩擦而沿半长轴为a、半短轴为b的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的，如小球自长轴的端点开始运动时，其初速为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。解：小球受力分析如图所示，到达最低点时，法向方程为： 由机械能守恒得： 椭圆方程： 曲率半径： 将曲率半径代入（1）式得：到达最低点时对椭圆的压力为：1.29 一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑，试证在任何一点的压力为，式中为水平线和质点运动方向间的夹角，已知圆

26、滚线方程为解：质点受力分析如图所示，在自然坐标系中，质点的法向运动微分方程为： 由机械能守恒得： 由圆滚线方程得： 曲率半径为：将（2）（3）代入（1）得： 在任何一点的压力为：1.30 上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数应满足下式： 试证明之。证：受力分析如图所示，质点运动微分方程为： （1）（2）两式消去N得：将 ，代入（3）式：上式两边乘因子： 得： 上式两边积分： 即： 故： 证毕。1.31 假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与成正比，且可写为，式中m是摆锤的质量，l为摆长，k为比例常数，试证当时，单摆的

27、振动周期为： 证：选取自然坐标系，单摆受力分析如图所示，单摆在媒质中的切向运动微分方程为： ，所以（1）式可写为： 方程（2）的特征根为：当 时，方程（2）的解为：单摆的振动周期为： 证毕。1.32 光滑楔子以匀加速度沿水平面运动，质量为m的质点沿楔子的光滑斜面滑下求质点的相对加速度和质点对楔子的压力P。解：取楔子为坐标系，在楔子上建立坐标系oxy（1）沿x轴正向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为： 所以： 质点对楔子的压力P与N大小相等、方向相反。（2）同理，沿x轴负向，质点受力分析如图所示。质点运动微分方程为： 所以： 质点对楔子的压力P与N大小相等、方向相反。综上所求结果得： 1

28、.33 光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其重为w，如钢丝圈以匀加速度a沿竖直方向运动，求小环的相对速度vr及圈对小环的反作用力R。解：以圆圈为参照系，建立坐标系oxy1）a沿y轴正向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为： 上式代入（1）式后，分离变量积分：（3）代入（2）得： 2）a沿y轴负向，小环受力分析如图所示。其运动微分方程为：同理解得： 综合以上结果： 1.34 火车质量为m，其功率为常数k，如果车所受的阻力f为常数，则时间与速度的关系为： 如果f和速度v成正比，则： 式中为初速度，试证明之。证：1）功率：火车运动微分方程为： 积分： 2）阻力f和速度v成正

29、比：，火车运动微分方程为： 分离变量积分： 将代入上式得：1.35 质量为m的物体为一锤所击，设锤所加的压力是均匀地增减的，当在冲击时间的一半时，增值最大值P，以后又均匀减小至零，求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。解：所加的压力：F= k t，k为常数 物体运动微分方程为：（1）式分离变量积分： 物体运动微分方程为： （2）式分离变量积分：压力所作的总功为： 1.36检验下列力是否是保守力，如是，则求出其势能。(a) (b) (c) 解：力是保守力的充要条件为：即： =0 (a) 此力是保守力，其势能为： (b) 此力不是保守力，不存在势能。(c) 此力是保守力，存在势能，在处相对于的势

30、能为：1.37 根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能： 试求：（a）中子与质子之间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；（b）求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及能量E.解：（a）中子与质子之间的引力表达式： 平方反比引力定律： （b）质量为m的粒子作半径为a的圆运动，向心力为： 动量矩： 能量： 1.38 已知作用在质点上的力为： 式中系数aij(i,j =1,2,3)都是常数，问这些aij应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。解：势能存在的充要条件为：，即：要满足以上条件，必须满足：即满足：，势能存在。其势能为： 1.39一质点受一与距离

31、的次方成反比的引力作用在一直线上运动，试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达时的速率相同。证：如图所示，质点受引力作用：aOa/4为比例系数质点运动微分方程为：则上式为：质点由到：质点由到：证毕。1.40 一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，质点的质量为m，比例系数为k，如此质点从距原点O为a的地方由静止开始运动，求其到达O点所需的时间。解：质点受引力为：，其运动微分方程为： 即： 分离变量积分： （v与x反向，取负值） 令：，代入（2）式得； 分离变量积分：故到达O点所需的时间为： 1.41 试导出下面有心力量值的公式： 式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离， p为力

32、心到轨道切线的垂直距离。证：由动能定理： 证毕。1.42 试利用上题的结果，证明：（a）如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。（b）如质点走一对数螺线，而其极点即力心，则力与距离立方成反比。证：（a）如图所示： （b）对数螺线： 则： 证毕。1.43 如质点受有心力作用而作双纽线的运动时，则： 试证明之。证： 代入比耐公式： 证毕。1.44 质点所受的有心力如果为其中都是常数，并且，则其轨道方程可写成：试证明之。式中（A为积分常数）。证：由比耐公式： ，上式变为： 令： ，上式变为： 其解为： 极轴转动角度，使得，则有：于是： 令：，则：令：，则有： 其中：（A为积分常数

33、）证毕。1.45 如及为质点在远日点及近日点处的速率，试证明：证：质点在有心力作用下，动量矩守恒：圆锥曲线轨道方程： 在近日点： 在远日点： 于是 所以： 证毕。1.46 质点在有心力作用下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则于此距离成反比，即，如果，求质点的轨道方程。设当. 解：取平面极坐标系，其速度为： ，代入上式得： 分离变量积分： 所以质点的轨道方程为： 1.47 (a)某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的1/n，则此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的 倍，试证明之。（b）试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道内的最长时间为一

34、年的倍，或约为76日。证：(a)某彗星的轨道为抛物线：e = 1，则轨道方程为： 太阳在O点，彗星在近日点时：a为地球半径。在行星运动中： 由动量矩守恒： 分离变量积分： 地球轨道运动周期： （b）求t的极大值： 代入上式得： 证毕。1.48 试根据1.9中所给的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率v1及v2，以及它绕地球运行的周期（参看82页）。解：已知卫星运行轨道为椭圆轨道，近地点和远地点距离分别为： r1=439+6370=6809 km r2=2384+6370=8754 km其能量方程为： a为椭圆轨道半长轴由动量矩守恒： 将以上数据代入得： 绕地球运行的周期

35、： 1.49 在卫星绕太阳的椭圆轨道中，如令，式中为周期，a为半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程： 解：能量方程为： 对椭圆轨道： 由动量矩守恒：（1）（2）两式联立，消去： 行星在椭圆轨道中运动，其周期为： ，代入上式得： 将，代入上式得： 代入上式得： 1.50 质量为m的质点在有心斥力场中运动，式中r为质点到力心o的距离，c为常数。当质点离o很远时，质点的速度为，而其渐近线与o的垂直距离则为（瞄准距离），试求质点与o的最近距离a 。解：由题意知，势能函数为： 质点运动过程中，能量守恒： 所以： （1）即： 当时，上式变为： （2）质点受有心力作用，动量矩守恒： （3）（2）（3）两式联立得： 47