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1、椭圆标准方程及其性质知识点大全椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆第一定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 , 这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点.两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若.则动点的轨迹为线段；若.则动点的轨迹无图形椭圆的简单几何性： 标准方程是指中心在原点.坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2.即第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数.即范围且且顶点、轴长长轴的长 短轴的长对称性关于轴、轴对称.关于原点中心对称焦点、焦距离心率准线方程焦半径左焦半径：右焦半径：下焦半径：
2、上焦半径：焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：焦点弦长公式.说明：方程中的两个参数a与b.确定椭圆的形状和大小.是椭圆的定型条件.焦点F.的位置.是椭圆的定位条件.它决定椭圆标准方程的类型.常数a.b.c都大于零.其中a最大且a=b+c1. 方程表示椭圆的充要条件是：ABC0.且A.B.C同号.AB。 当AB时.焦点在y轴上.当AB时.焦点在x轴上。根据焦点跟着系数小的走(三) 焦点三角形 1.面积公式：如图：三和四的图椭圆标准方程为:.椭圆焦点三角形：设P为椭圆上任意一点.为焦点且.则为焦点三角形. 则由第一定义和余弦定理有重点使用其面积为重点使用且焦点三角形面积最大值 2.焦点
3、三角形中的恒等式若.。则 3.焦点三角形的离心率问题由第一定义和正弦定理有 由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有 可得 利用张角大小变化易得有重点使用（四） 焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率 因此可得 负+正-所以 1焦半径的最大值.2焦点在x轴上时：两焦半径乘积 1.显然当时有最大值 2.显然当时有最小值 同理.焦点在y轴上时：两焦半径乘积 1.显然当时有最大值MNFxy 2.显然当时有最小值(五) 通径 ：过焦点垂直于长轴的弦 如图：通径长 椭圆标准方程:.点与椭圆的位置关系：（1） 点在椭圆外；过该定点的直线与椭圆相离或相交或相切（2） 点在椭
4、圆上1；过该定点的直线与椭圆相交或相切（3） 点在椭圆内过该定点的直线与椭圆相交直线与椭圆的位置关系： 设直线l的方程为：Ax+By+C=0.椭圆ab0.联立组成方程组. 消去y利用判别式的符号来确定：（1） 相交：直线与椭圆相交；2相切：直线与椭圆相切； 3相离：直线与椭圆相离； 备注： 若直线为过定点的动直线则可以用知识点六来解决位置关系弦长公式： 若直线AB:与椭圆标准方程:相交于两点、.把AB所在直线方程y=kx+b.代入椭圆方程整理得：Ax2+Bx+C=0。 弦长公式： 含x的方程=含y的方程应用于能解出具体坐标 应用于带有参数的大题 是一元二次方程中的.此公式用于计算九圆锥曲线的中
5、点弦问题：遇到中点弦问题常用韦达定理或点差法求解。设是椭圆上不重合的两点.直线的斜率.点是线段弦的中点坐标.则由1-2化简可得又由所以即焦点在x轴同理焦点在y轴上时有十椭圆、双曲线、圆同型系数设法此类设法用于过曲线两点求方程 1.椭圆： 2.双曲线： 3.圆：十一焦点弦三角形1过椭圆的左焦点作直线交椭圆于两点.是椭圆右焦点.则的周长为 A、 B、 C、 D、2已知椭圆的左、右焦点为.离心率为.过的直线交椭圆于两点若的周长为.则椭圆的方程为A B C D3 已知F1、F2为椭圆1的两个焦点.过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12.则|AB|_.焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标
6、准方程第一定义到两定点的距离之差的绝对值等于常数.即第二定义与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数.即范围或.或.顶点、轴长实轴的长 虚轴的长对称性关于轴、轴对称.关于原点中心对称焦点、焦距离心率准线方程渐近线方程焦半径焦点三角形面积通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：常用的一些结论：1、 焦点跟着系数正的走。2、 若双曲线为等轴双曲线.则其离心率.且渐进线的夹角为3、 焦点在轴上时中点弦直线斜率 焦点在轴上时中点弦直线斜率4. 已知双曲线的方程为.和它共渐近线的双曲线方程可设为5. 已知双曲线的渐进线为,则可设双曲线方程为6. 已知双曲线的渐进线为,则可设双曲线方程为或7. 若知道双曲线过
7、两点.则设双曲线方程为：、8. 点与双曲线的位置关系1若.点在双曲线内2若.点在双曲线上3若.点在双曲线外备注：注意它和圆、椭圆、抛物线的区别内外相反图形标准方程定义与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线顶点离心率对称轴轴轴范围焦点准线方程焦半径通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：焦点弦长公式参数的几何意义参数表示焦点到准线的距离.越大.开口越阔关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦.直线的倾斜角为.则 以为直径的圆与准线相切； 焦点对在准线上射影的张角为实用小结论：1. 焦点非0坐标为一次项系数的2. 准线方程的值为焦点非0坐标的相反数3. 焦半径长度：一次项系数的绝对值+对应横纵坐标的绝对值。4.抛物线方程为则其中点弦直线斜率5.抛物线方程为则其中点弦直线斜率6.求最值问题的注意两个距离之和.将之中的抛物线上动点到准线距离换成到焦点的距离 或两个距离之和.将之中的抛物线上动点到焦点的距离换成到准线距离7.点与抛物线的位置关系1若.点在抛物线内2若.点在抛物线上3若.点在抛物线外8 / 8
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