专题04直棱柱模型

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1、专题04直棱柱模型（解析版）1 一.解题技巧归纳总结.直棱柱模型:如图:L图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底而可以是任意三角形）例2直三棱柱ABC-AB的各顶点都在同一球而上，AB=AC=AA=2,ZB4C=120,则此球的表面积等于.图3第一步:确左球心O的位置，。是的外心，则Oq丄平而ABC:第二步:第三步:算岀小圆q的半径4q=r,oo=丄4人=丄人（44=也是圆柱的髙）:22勾股定理：0A-=0#+0x0-nB-=（A）=+r-=B=J二典型例题例1正三棱柱内接于半径为2的球，若A，B两点的球面距离为;r,则正三棱柱的体积为【解析】正三棱柱abc-q内接

2、于半径为2的又tA,B两点的球而距离为；r,故Z4（9B=90,又.OAB是等腰直角三角形，:.AE=2恵,则AAB0的外接圆半径为迪,3则。点到平面遊的距离为芈,正三棱柱高一羊,2BC的面积5正三棱柱abc-4耳q的体积v=s-h=s.故答案为：sB【解析】设底面三角形ABC的外心是O,04=03=00=r,在中AB=AC=2.ZBAC=A20,可得BC=JAB:AC2-2AB.ACcozABAC=V2：+2:-2x2x2coc120=2/3,由正弦泄理，2r=一，可得AABO外接圆半径r=-代一=2,sinZBAC2cinl20设此圆圆心为O，球心为O,在RTOBO中，易得球半径R=幕,故

3、此球的表而积为4兀F=20穴例3个正六棱柱的底而上正六边形，其侧棱垂直于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球而上，且该六棱柱的体积为2,底而周长为3,则这个球的体积为S【解析】设正六边形边长为-髙为爪底面外接圆的半径为八则a=2丄，2底而积为S=6遁（丄尸=啤,V=Sh=啤h=学,解得h=伍,42SSS代入（2斤）=用+（2C=（7T）2+F=4,解得R=l，所以球的体积为r=33三、配套练习1.一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120。的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表而积为（）12侧视團俯视图A20兀C.25龙D.25辰【解析】由俯视图是一个顶角为120。，腰长为2的等

4、腰三角形,故底而外接圆半径r=2,由主视图可得几何体的髙为2,故球心到底而的距离=1,故球半径R=d故该直三棱柱外接球的表而积为20”，故选：A.2.在直三棱柱ABC-AB.C,中，AB丄BC,AB=6,5C=8,若此三棱柱外接球的半径为13,则该三棱柱的表而积为（）A.624B.576C.672D.720【解析】在直三棱柱ABC-ABQ中，AB丄BC,AB=6.BC=8,.AC=右6+64=10,构造长方体ABCD-ABS，:.长方体ABCD-gCQ的外接球就是直三棱柱ABC-A.B.C,的外接球，.直三棱柱ABC-BXC外接球的半径为13,.AC=2xl3=26,/.A4(=V262-10

5、2=24,直三棱柱ABC-ABC的表而积为：S=2S沁+纠珀+S葩形=2x1x6x8+8x24+6x24+10x242故选：A3.在直三棱柱中.侧棱长为2/3,AB=BC=CA=s5,则此三棱柱的外接球的半径（）A.1B.弟C.2D.4【解析】.在直三棱柱ABC-A.B.C,中.侧棱长为2折，AB=BC=CA=*,取上底和下底的中心分别为、D,则DD,的中点O为三棱柱的外接球的球心，OB为三棱柱的外接球的半径，OD=/3DB=；=I,:R=JOD-+BD2=73+1=2.此三棱柱的外接球的半径R=2.故选：C.已知宜三棱柱ABC_时心的底而为直角三角形，且两直角边长分别为1和苗，此三棱柱的髙为

6、2x/3,则该三棱柱的外接球的体积为（）A竺b.喧C.空D.空3333【解析】该直三棱柱的底而外接圆直径为2心疔+（毎=2,所以，夕卜接球的直径为2R=J），+Q+（2倚=4,则R=2,因此，该三棱柱的外接球的体积为33故选：C.4. 已知在直三棱柱ABC-A.B.C,中，AB=2,ZACB=120,A4,=4,则该三棱柱外接球的表面积为（）A兰如B.64屁C.32D8龙3【解析】由题意可知直三棱柱ABC-C,中，底而小圆MC的半径为，由正弦定理得到“=零=右、所以心2,sinZACB/3T连接两个底而中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：斫耳=2羽,外接球的表而积为：屉=

7、3;故选：C.1 6.在直三棱柱ABC-BXCX中，CA=CB=2,ZACB=90,CC、=1,则该三棱柱外接球的体积（）92 A.穴B4/rC.一兀D.8兀2【解析】如图，把直三棱柱ABC-AQ补形为长方体，则苴外接球的半径r=i722+22+l2=|.该三棱柱外接球的体积为22故选：C.7. 直三棱柱ABC-4BQ中，A3丄BC,AB=BC=AA.=2,则该三棱柱的外接球的表面积为（）A.4兀B.&C.12斤D.3【解析】在直三棱锥中，AB丄CBAB=BC=2,AAt=2.AB丄而Bey,即AB丄BC直三棱柱ABC-B.CX的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC-AQ补成正四棱柱，

8、则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D，耳分别为AC,AC；的中点，则的中点O为球心，球的半径R=CD2+OD2=3,故表面积为S=4/rR2=12故选：C.某直三棱柱的侧棱长等于2,底而为等腰直角三角形且腰长为1,则该直三棱柱的外接球的表面积是（A7tB.27T【解析】由于直三棱柱的底而MC为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC-AC,补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为r=+才=並，2表而积为S=4兀尸=6兀故选：D.9.正四棱柱ABCD-A.BD,中，AB=2,二而角A,-BD-C,的大小为兰，则该正四棱柱外接球的表而积3为（）A12龙B14兀C.16D.

9、18【解析】如图，AC.BD交于6易ilEOC；为二而角的平而角，即ZAjOC；=60%从而/jOA=ZCQC=60,vAB=2,OC=迈,CC、=OCtan60=V6,外接球直径为J4+4+6=V14,外接球半径为血，214.Sa=4x=14龙.球4故选：B正六棱柱ABCDEF-4BGUE4的侧而是正方形，若底而的边长为“，则该正六棱柱的外接球的表面积是（）A.4加B.5穴“C.8加D.10加【解析】正六棱柱ABCDEF-的侧而是正方形，若底而的边长为d,底而对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的半径为：#（2“）2+宀.所以该正六棱柱的外接球的表而积是：4川=4/rx（迈“尸=5卅

10、2故选：B.正六棱柱ABCDEF-人BCE莒的侧面是正方形，若底而的边长为1,则该正六棱柱的外接球的表而积是（）A.4兀B.5兀C.8D.10;r【解析】正六棱柱ABCDEF-BXC.DEXFX的侧而是正方形，底面的边长为1，则底而最长对角线的长度为2.因此该正六棱柱的外接球的半径R=22.-该正六棱柱的外接球的表面积S=4叔.故选：B.10. 正六棱柱的底而边长为4,高为6,则它的外接球的表而积为（）A.20才B257TC100龙D200【解析】正六棱柱的底而边长为2,高为3,则该正四棱柱的外接球的直径，就是正六棱柱的对角线的长，所以球的直径为：3+歹=10，所以球的表而积为：4zrx52=

11、100故选：C.已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表而积为（）A.13B17rClbrD10/r3 【解析】设正六棱柱的底而边长为x,高为y,则6x+y=9,0x/8T+6r=10,外接球的半径为5,12. 外接球的体积为1x53=3故选：A二.填空题（共20小题）棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是_84兀_.【解析】棱长均为6的直三棱柱，即正三棱柱的底而边长为6,底而所在平而截其外接球所成的圆O的半径厂=2血，又由正三棱柱的侧棱长为6,则球心到圆O的球心距d=3,根据球心距，截而圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，

12、我们易得球半径尺满足：疋=斥+/=12+9=21，外接球的表而积S=4疋=84龙.故答案为：84兀已知直三棱柱ABC-AB.C,的底而为直角三角形，且两宜角边长分别为1和苗，此三棱柱的髙为2若,则该三棱柱的外接球的体积为3一【解析】因为是直三棱柱，所以侧棱垂直于底而，并且底而是直角三角形，故可以将该三棱柱嵌入长方体中，长、宽、髙分别为皿2艮设外接球半径为R,贝IJ2R=Jl+3+12=4,所以R=2,所以体积V=：穴8=容333故答案为：竺.13. 3在直三棱柱ABC-BXC中，BC=3,ZBAC=120,九4,=2,则此三棱柱外接球的表面积为_16兀【解析】如图所示，设44BC与的外接圆的圆

13、心分别为q,Q,半径为连接QQ，取中点为O，则O为此三棱柱外接球的球心.在AABC中，O,B=r=x一-一=莫12sin120R=OB=JoE+OQ2=J（何+F=2此三棱柱外接球的表而积=4/rx2=16兀.故答案为：16龙已知在直三棱柱ABC-B,CX中，ZE4C=90,AC=CCi=,若此三棱柱的外接球的体枳为屈r,则初=2【解析】如图，设三棱柱的外接球的半径为R，则-兀R=龙，得R=.14. 32由于直三棱柱的外接球的球心是BC,的中点，BC=2R=,在RtABCG中，BC=$在RtAABC中,AB=757=2在直三棱柱4BC-ABC中，侧棱长为2羽、在底而A4BC中，C=60,AB=

14、V?,则此直三棱柱的外接球的表面积为_16龙_.【解析】由题意可知直三棱柱ABC-ABQ中，底而小圆ABC的半径为二3=1，连接两个底而中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：V37T=2,外接球的表而积为：4/22=16故答案为16.20.在直三棱柱ABC-AQ中，初丄AC,AB=.AC=yf3.BB、=2,则该三棱柱的外接球表而积为&_【解析】由题意可知直三棱柱ABC-ABG中，AB=AC=$ZBAC=-,2可得BC=2,设底而ABC的小圆半径为r,则2=2r,可得r=l：连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径人，则R=j2+G)2:.外接球的表而积S=4x

15、R2=&:故答案为：8穴21.在直三棱柱ABC-C.中，ABAC=20AB=AC=3.BB、=4,则此三棱柱外接球的表而积为52龙【解析】由题总可知直三棱柱ABC-Aqq中，AB=AC=3.ZBAC=120。，側=4,底而小圆初C的半径满足：2,-=-=6,即心，连接两个底而中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：/?=V3r+2r=/13.-三棱柱的外接球的表而积为：4穴R=52龙；故答案为：52”.22. 在直三棱柱ABC-C,中，BC=4,ZBAC=90,A4,=2,则此三棱柱外接球的表而积为_20龙_.【解析】.三棱柱ABC-C,的侧棱垂直于底而，BC=4,ZBAC=

16、90,A4,=2,可将棱柱ABC-AA.B,补成长方体，长方体的对角线S+2,=2书,即为球的直径，球的半径为的，球的表而积为勿x(x/5)2=2,故答案为：20兀.已知直三棱柱ABC-C,的高为2羽,BcY，ZBAC=120。，则该三棱柱外接球的表面积为_16龙_；【解析】设直三棱柱ABC_4g的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P,M,设MBC的外接圆半径为广，直三棱柱ABC-C,的外接球的半径为如图所示:，直三棱柱ABC-A,的外接球的球心O为线段PM的中点，在MBC中，BC=x/J,ZBAC=120,由正弦泄理得：2r=2,-.r=l.sin120在RtAOMC中，OC=R,。=丄

17、x2血=75，MC=r=l,2F=F+(茄)2=4,直三棱柱ABC-Q的外接球的表面积为：4叔=16龙,故答案为：16”.23. 已知直三棱柱ABC-AQG中，ABAC=90，侧而BC妨的而积为16,则直三棱柱ABC-ACX外接球的半径的最小值为_2迈_.【解析】设BC=2x,BB、=2y,则4.xy=16,.直三棱柱ABC-A.B.C,中，ZE4C=90,直三棱柱ABC-外接球的半径为3+心伍=22,直三棱柱ABC-外接球半径的最小值为2血故答案为：22.24. 在正四棱柱ABCD-ABd中，AB=AD=2,=4,则正四棱柱的外接球的表面积为_24;r_.【解析】正四棱柱的各顶点均在同一球的

18、球而上，-正四棱柱的体对角线等于球的宜径，.正四棱柱ABCD-4BGU中，AB=AD=2,A4,=4,正四棱柱ABCD-4BGU的体对角线/=J4+4+16=2不,球的直径2r=2/6,即球的半径/=76,球的表面积为4卅=24龙，故答案为24龙.已知矩形ABCD的周长为18,耙它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为36龙【解析】设正四棱柱的底而边长为I高为y，则4x+y=18,0x=12/3,4：.a=2b=4该正六棱柱的外接球的半径R=/4?4=2/2.该正六棱柱的外接球的表面积S=W=32龙.故答案为：32”.30. 个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱

19、长为3,则它的外接球的表而积为_25龙_.31. 【解析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，一个直六棱柱的底而是边长为2的正六边形，侧棱长为3,-直六棱柱的外接球的直径为5,外接球的半径为2,2/.外接球的表而积为4-x=254故答案为：25斤正六棱柱的底而边长为a,髙为爪则它的外接球的表而积为（4r+/rU【解析】.正六棱柱的12个顶点都在同一球而上，球的直径等于正六棱柱的体对角线.正六棱柱的底而边长为“，高为h,正六棱柱的体对角线为J/），+/=4a2+If,设球的半径为则2R=丁4,+*.球的半径R=2/.外接球的表而积为4兀用=4恥47=（4/+/F）龙4故答案为：（42

20、+斥）龙.32. 已知矩形ABCD的周长为18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表而积为_13才_.DC*III|/!:!:B【解析】设正六棱柱的底而边长为x，高为y，则6x+y=9,0x1.5，正六棱柱的体积V=6芒x2v=密3x3x（9-6x）0当产+3x：（9竺”=字，46632当且仅当X=1时，等号成立，此时y=3,可知正六棱柱的外接球的球心是英上下底面中心连线的中点，则半径为J丐=学,外接球的表而积为4-x=13-.4故答案为：13.33正六棱柱的底而边长为4,髙为6,则它的外接球的表而积为_100兀_正六棱柱的外接球的直径是正六棱柱体对角线阳的长，.侧棱垂直于底而，:.FG1GH；在AFGH中，由勾股定理得：FH2=FG2+GH2=62+(2x4)2=009.(2/?)2=100,即4龙疋=100龙;它的外接球的表面积为100龙.故答案为：10034.已知正六棱柱的髙为8,侧而积为144,则它的外接球的表而积为_100穴_.【解析】设正六棱柱的底而正六边形的边长为“，则正六棱柱的侧而积为&以8=4&/=144,得“=3,因此，底面正六边形的外接圆直径为2r=2z/=6,设它的外接球的半径为尺，则(2R)2=(2r)2+82=62+82=100,二R=5,因此，该正六棱柱的外接球的表而积为S=4兀用=100/r.故答案为:100