常微分方程总结

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1、常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含方程中所含未知函数导数的最高阶数未知函数导数的最高阶数叫做微分方程叫做微分方程(本章内容本章内容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程) 1(00)

2、 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例引例1Cxy22122 . 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 。微分方程的积分曲线族的一族曲线，称它们为又是平面内族函数；微分方程的通解是一的积分曲线。称这条曲线为微分方程又是平面的一条曲线，个函数；微分方程的特解是一),()(21ncccxyyxyy行的切线。处有平的

3、每一条曲线在点线族中注：微分方程的积分曲中，积分曲线族为例；中，积分曲线为例),(1110022yxcxyxy转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二节解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式 )(yG)(xF当G(y) 与F(x) 可微且 G(

4、y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解隐式通解, 或通积分通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u,便得原方程的通解通解.解法解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 齐次方程 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程;定

5、解条件;2. 可分离变量方程的求解方法可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 .齐次方程的求解方法齐次方程的求解方法:)(ddxyxy令,xyu 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6

6、)(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个不同的概念与上节的“齐次方程”本节的“齐次方程”函数均为一次

7、函数方程中未知函数及其导注：所谓线性，即是对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方

8、程伯努利方程的标准形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1 nyu令化为线性方程求解.2. 伯努利方程nyxQyxPxy)()(dd)1,0(n机

9、动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2ln2ddyxxyxxy伯努利方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxfy 可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节)()(xfyn),(yyfy 第七章 解法：降阶一、一、)()(xfyn令,) 1(

10、nyz)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n次次 ),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpyd

11、d 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)

12、(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性共性 为二阶线性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 可归结为同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时, 称为非齐次方程 ; 0)(xf时, 称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解齐次

13、方程通解齐次方程通解Yy0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 是不是所给二阶方程的通解？是不是所给二阶方程的通解？)(

14、)(2211xyCxyCy问题：问题：说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解！并不是通解！但是但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题, 下面引入函数的下面引入函数的线性相关线性相关与与 线性无关线性无关概念概念. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间 I 上的 n 个函数,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这 n个函数

15、在 I 上线性相关线性相关, 否则称为线性无关线性无关.例如例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，,12xx若在某区间 I 上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为 0 ,可见2,1xx故在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关存在不全为 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkx

16、yxy( 无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关)()(21xyxy常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为 0, 则)(),(21xyxy必线性相关相关0)()()()(2121xyxyxyxy(证明略)21, yy可微函数线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) 推论推论. nyyy,21若是 n 阶齐次方程 0)()()(

17、1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 个线性无关解, 则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次齐次方程的通解通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则是非齐次方程的通解非齐次方程的通解 .证证: 将)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*

18、( )(yYxQ复习 目录 上页 下页 返回 结束 )(*)(xyxYy故是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程0 yy有通解因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕因而 也是通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk设分别是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1则)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性

19、非齐次方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的 n 个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解, 给定 n 阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解, 则非齐次方程的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 *四、常数变易法四、常数变易法复习: 常数变易法: )()(xfyxpy对应齐次方程的通解: )(1xyCy xxpexyd)(1)(设非齐次方程的解为 )(1xyy 代

20、入原方程确定 ).(xu对二阶非齐次方程 )()()(xfyxQyxPy 情形情形1. 已知对应齐次方程通解: )()(2211xyCxyCy设的解为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv )(),(21待定xvxv由于有两个待定函数, 所以要建立两个方程:)(xu机动 目录 上页 下页 返回 结束 2211vyvyy2211vyvy,21vvy 中不含为使令02211vyvy于是22112211vyvyvyvyy 将以上结果代入方程 : 2211vyvy1111)(vyQyPy )()(2222xfvyQyPy 得)(2211xfvyvy故, 的系数行列式02121yyyyW21, y

21、y是对应齐次方程的解,21线性无关因yyP10 目录 上页 下页 返回 结束 fyWvfyWv12211,1积分得: )(),(222111xgCvxgCv代入 即得非齐次方程的通解: )()(22112211xgyxgyyCyCy于是得 说明说明: 将的解设为 )()(21xyxyy)(1xv)(2xv只有一个必须满足的条件即方程, 因此必需再附加一 个条件, 方程的引入是为了简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.).(1xy仅知的齐次方程的一个非零特解 , )()(1xyxuy 令代入 化简得 uyPyuy)2(111uyQyPy)(111 fuz令fzyPyzy)2(

22、111设其通解为 )()(2xzxZCz积分得)()(21xuxUCCu(一阶线性方程)由此得原方程的通解: )()()()()(11211xyxuxyxUCxyCy代入 目录 上页 下页 返回 结束 常系数常系数 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第七节第七节齐次线性微分方程齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化 第七章第七章 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子和它的导数只差常

23、数因子,代入代入得得0)(2xre qprr02qrpr称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1. 当当042qp时时, 有有两个相异实根两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的因此方程的通解通解为为xrxreCeCy2121( r 为待定常数为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 当当042qp时时, 特征方程有特征方程有两个相等实根两个相等实根21rr 则微分方程有一个特

24、解则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 则得则得,12xrexy 因此原方程的因此原方程的通解通解为为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当当042qp时时, 特征方程有特征方程有一对共轭复根一对共轭复根irir21,xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用

25、解的利用解的叠加原理叠加原理 , 得原方程的得原方程的线性无关特解线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的因此原方程的通解通解为为)sincos(21xCxCeyx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解（欧拉公式欧拉公式 ) sincosiei 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通

26、 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根,ir若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必则其通解中必含对应项含对应项xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必则其通解中必含含对应项对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广: : 机动机动 目录目录 上页

27、上页 下页下页 返回返回 结束结束 )()(2)()() 1 ()2(11112, 1212, 1121xSinxddxCosxccekirkxSincxCosceirexcxcckrkcerkkkkxxrxkkrx项：重共轭复根一对两项：一对单共轭复根项：重实根一项：单实根通解中的对应项微分方程的根特征方程小结小结:内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 当当时时, 通解为通解为xrxreCeCy212121rr (2) 当当时时, 通解为通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当当时时, 通解为通解为)sincos(21xCxCeyxir2,

28、 1可推广可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解为通解为xCCy21:0a通解为通解为xaCxaCysincos21:0a通解为通解为xaxaeCeCy21作业作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第七

29、章 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理根据解的结构定理 , 其通解为其通解为Yy *y非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解求特解的方法求特解的方法*y给出特解的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定代入原方程比较两端表达式以确定待定系数待定系数 . 待定系数法待定系数法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据根据 f (x) 的的特殊形式特殊形式 ,)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数为实数 ,)

30、(xPm设特解为设特解为, )(*xQeyx其中其中 为待定多项式为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即则取则取),(xQm从而得到特解从而得到特解形式为形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为为 m 次多项式次多项式 .Q (x) 为为 m 次待定系数多项式次待定系数多项式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2) 若若 是特征方程的是特征方程的单根单根 , , 02qp,02

31、 p)(xQ则为为m 次多项式次多项式, 故特解形式为故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是是 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论此结论可推广可推广到高阶常系数线性微分方程到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxxexyyyexy

32、yeyy)23(2)3(;)2(;) 1 (25 设置：下列方程的特解应怎样xxmaeaeymxPr5*20, 1)(015) 1 (的根，非解：xxmecbxaxxexxQymxxPr)()(2,)(011)2(22*22的单根，是解：xxmebaxxexQxymxxPrr)()(1, 23)(0121) 3(212*2的重根，是二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路分析思路:第一步第一步 将将 f (x) 转化为转化

33、为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点ximexP)()(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一步第一步 利用欧拉公式将利用欧拉公式将 f (x) 变形变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(xPnieexixi2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 sincosiei 第二步第

34、二步 求如下两方程的特解求如下两方程的特解 i是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故故ximexPyqypy)(111)()()( 等式两边取共轭等式两边取共轭 :ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程为方程 的特解的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 设设则则 有有特解特解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第三步第三步 求原方程的特解求原方程的特解 利用第二步的结果利用第二步的结果, 根据根据叠加原理叠加原理, 原方程有原方程有特解特解

35、 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程原方程 yqypy xxPxxPenlxsin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为均为 m 次多项式次多项式 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第四步第四步 分析分析的特点yxRxRexyyymmxksincos11因因11yy*yy所以mmRR,因此均为均为 m 次实次实多项式多项式 .11yyy本质上为本质上为实函数实函数 ,11yy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小小 结结:xxPxxPenl

36、xsin)(cos)(对非齐次方程对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述结论也上述结论也可推广可推广到高阶方程的情形到高阶方程的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根,xmkexQxy)(*则设特解为则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1

37、)重根重根, ixkexy*则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空填空) 设设sin)(cos)(

38、xxRxxRmm机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解的通解 (其中其中为实数为实数 ) .解解: 特征方程特征方程,0442rr特征根特征根:221 rr对应对应齐齐次方程次方程通通解解:xexCCY221)(2时时,xeAy令代入原方程得代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时时,2xexBy令代入原方程得代入原方程得,21B故原方程通解为故原方程通解为xexCCy221)(xex221机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 已知二阶常微分方

39、程已知二阶常微分方程xecybyay 有有特解特解, )1 (2xxexey求微分方程的求微分方程的通解通解 .解解: 将将特解特解代入方程得恒等式代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为故原方程为xeyy2 对应对应齐齐次方程次方程通通解解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为原方程通解为xxeCeCy21xex机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnn

40、nn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)

41、(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(212xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作业作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)() 1(21aefypDpDDttDdd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一、一阶微分方程问题一阶

42、微分方程问题 微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容: 第十二章 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为本质上是待定系数法nnxxa)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *第十二节解法举例解方程组解方程组 高阶方程求解高阶方程求解 消

43、元消元代入法 算子法 第十一章 常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一个 函数的高阶方程 ;第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;第三步 把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数 = 未知函数个数一般通过求导求导得其它未知函数 .如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程组 zyxy23ddzyxz 2dd解解: 由得zxzydd21代入, 化简得0dd2dd22zxzxz特征方程: 0122 rr通解: xexCCz)(21将代入, 得x

44、exCCCy)22(21221机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程通解:xexCCz)(21xexCCCy)22(21221注意: 是不独立的而它们与21,CC1) 不能由式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受式制约). ,的表达式中因此 y不能用另一任意常数212CC .,213也不能去掉系数代替C3) 若求方程组满足初始条件0000,zzyyxx的特解, 只需代入通解确定21,CC即可.2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节 第十二章第十二章 判别判别: P, Q 在

45、某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称则称0d),(d),(yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

46、二、积分因子法二、积分因子法思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例2 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘0d),(d),(yyxQxyxP若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.例例2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用微分倒推公式常用微分倒推公式:)(ddd) 1 yxyx )(ddd)2xyyxyx)(ddd)3yyxx)(2221yx )(ddd)42yyxxyyx)(ddd)52xyxxyxy)(ddd)6yxyxxyyxln)(ddd)722yxyxxyyxarctan)(ddd)822yxyyxx22yx 积分因子积分因子不一定唯一不一定唯一 .0ddyxxy例如例如, 对对可取可取,1yx221yx ,21y,21x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束