图论总结超强大

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1、ADN.cnlibrarysummary图论总结2013-12-211. 图论 Graph Theory1.1. 定义与术语 Definition and Glossary1.1.1. 图与网络 Graph and Network1.1.2. 图的术语 Glossary of Graph1.1.3. 路径与回路 Path and Cycle1.1.4. 连通性 Connectivity1.1.5. 图论中特殊的集合 Sets in graph1.1.6. 匹配 Matchi ng1.1.7. 树 Tree1.1.8. 组合优化 Combinatorial optimization1.2. 图的

2、表示 Expressions of graph1.2.1. 邻接矩阵 Adjacency matrix1.2.2. 关联矩阵 Incidenee matrix1.2.3. 邻接表 Adjacency list1.2.4. 弧表 Arc list1.2.5. 星形表示Star1.3. 图的遍历 Traveling in graph1.3.1. 深度优先搜索 Depth first search (DFS)1.3.1.1. 概念1.3.1.2. 求无向连通图中的桥Fi ndi ng bridges in un directed graph1.3.2. 广度优先搜索 Breadth first se

3、arch (BFS)1.4. 拓扑排序 Topological sort1.5. 路径与回路 Paths and circuits1.5.1.欧拉路径或回路Euleria n path1.5.1.1.无向图1.5.1.2.有向图1.5.1.3.混合图1.5.1.4.无权图Un weighted1.5.1.5.有权图Weighed 中国邮路问题 The Ch in ese post problem1.5.2. Hamiltonian Cycle 哈氏路径与回路1.5.2.1. 无权图 Un weighted1.5.2.2. 有权图 Weighed 旅行商问题 The travelling sal

4、esman problem1.6. 网络优化 Network optimization1.6.1. 最小生成树 Minimum spanning trees1.6.1.1. 基本算法 Basic algorithms1.6.1.1.1. Prim1.6.1.1.2. Kruskal1.6.1.1.3. Sollin ( Boruvka)1.6.1.2. 扩展模型 Extended models1.6.1.2.1. 度限制生成树 Minimum degree-bounded spanning trees1.6.1.2.2. k 小生成树 The k minimum spanning tree p

5、roblem(k-MST)1.6.2. 最短路 Shortest paths1.6.2.1. 单源最短路 Single-source shortest paths1.6.2.1.1. 基本算法 Basic algorithms1.6.2.1.1.1 Dijkstra162.1.1.2Bellman-Ford1.621.121Shortest path faster algorithm(SPFA)1.6.2.1.2. 应用 Applications1.6.2.1.2.1 差分约束系统 System of differenee constraints1.6.2.1.2.2 有向无环图上的最短路 S

6、hortest paths in DAG1.6.2.2. 所有顶点对间最短路 All-pairs shortest paths1.6.2.2.1. 基本算法 Basic algorithms1.6.2.2.1.1 Floyd-Warshall1.6.2.2.1.2 Johnson1.6.3. 网络流 Flow network1.6.3.1. 最大流 Maximum flow1.6.3.1.1. 基本算法 Basic algorithms1.6.3.1.1.1 Ford-Fulkerson method1.6.3.1.1.1.1 Edmon ds-Karp algorithm1.6.3.1.1.

7、1.1.1 M inimum len gth path1.6.3.1.1.1.1.2 Maximum capability path1.6.3.1.1.2. 预流推进算法 Preflow push method1.6.3.1.1.2.1 Push-relabel1.6.3.1.1.2.2 Relabel-to-fro nt1.6.3.1.1.3 Dinic method1.6.3.1.2. 扩展模型 Extended models1.6.3.1.2.1 有上下界的流问题1.6.3.2. 最小费用流 Minimum cost flow1.6.3.2.1. 找最小费用路 Finding minim

8、um cost path1.6.3.2.2. 找负权圈 Finding negative circle1.6.3.2.3. 网络单纯形 Network simplex algorithm1.6.4. 匹配 Matchi ng1.6.4.1. 二分图 Bipartite Graph1.6.4.1.1. 无权图-匈牙利算法 Un weighted - Hopcroft and Karp algorithm1.6.4.1.2. 带权图-KM 算法 Weighted -Kuhn-Munkres(KM) algorithm1.6.4.2. 一般图 General Graph无权图-带花树算法 Un we

9、ighted - Blossom (Edmo nds)2/33ADN.cnlibrarysummary图论总结2013-12-211.图论 Graph Theory1.1. 定义与术语 Definition and Glossary1.1.1. 图与网络 Graph and Network二元组V,E称为图(graph)。V为结点(node)或顶点(vertex)集。E为V中结点之间的边的 集合。点对u,v称为边(edge)或称弧(arc)，其中u,w V，称u,v是相邻的(adjacent),称u,v与边u, v相关联(incident)或相邻。若边的点对u,v有序则称为有向(directe

10、d)边，其中u称为头(head)，v称为尾(tail)。所形成的图称有向图(directed graph).为对于u来说u,v是出边(outgoing arc);对于v来说u,v是 入边(in comi ng arc)。反之，若边的点对无序则称为 无向(un directed)边，所形成的图称无向图 (un directed graph).若图的边有一个权值(weight)，则称为赋权边，所形成的图称 赋权图(weighted graph)或网 络(network)。用三元组G(V,E,W)表示网络。其中 W表示权集，它的元素与边集 E 一一对应。满足|E | ：|V |log |V |的图，

11、称为稀疏(sparse图I;反之，称为 稠密(dense)图。1.12 图的术语 Glossary of Graph阶(order):图G中顶点集V的大小称作图G的阶。 环(loop):若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作环。 简单图(simple graph)：没有环、且没有多重弧的图称作简单图。 定向图：对无向图G的每条无向边指定一个方向得到的有向图。 底图：把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉得到的无向图。 逆图：把一个有向图的每条边都反向由此得到的有向图。竞赛图(tournament):有向图的底图是无向完全图，则此有向图是竞赛图。邻域(n eighborhood)：在图中与u相

12、邻的点的集合v|v V,(u,v) E，称为u的邻域，记 为 N(u)。度：度(degree)： 一个顶点的度是指与该边相关联的边的条数，顶点v的度记作deg(v)。握手 定理：无向图：7 deg(v)=2|E|;有向图：deg(v)=v deg-(v)。v WVv WVv UV入度(indegree)：在有向图中，一个顶点v的入度是指与该边相关联的入边(即边的尾是v) 的条数，记作deg (v)。出度(outdegree)：在有向图中，一个顶点的出度是指与该边相关联的出边(即边的头是v)的条数，记作deg(v)。孤立点(isolated vertex):度为0的点。叶(leaf):度为1的点

13、。源(source)：有向图中，deg (v) =0的点。汇(sink):有向图中，deg-(v)=0的点。奇点(odd vertex)：度为奇数的点。偶点(even vertex)：度为偶数的点。子图：子图(sub-graph): G称作图G的子图如果V(G)二V(G)以及E(G)二E(G)。生成子图(spanning sub-graph)：即包含G的所有顶点的连通子图，即满足条件 V(G)= V (G的G的子图G生成树(spanning tree):设T是图G的一个子图，如果T是一棵树，且V(T) =V(G)，则称 T是G的一个生成树。即G的生成子图，且子图为树。点导出子图(induced

14、 subgraph)设VWV(G)，以V为顶点集，以两端点均在V冲的边的 全体为边集所组成的子图，称为G的由顶点集V 导出的子图，简称为G的点导出子图，记为 GV 。边导出子图(edge-induced subgraph)：设E E(G)，以E为顶点集，以两端点均在 E中 的边的全体为边集所组成的子图，称为 G的由边集E 导出的子图，简称为G的边导出子图， 记为GE 。图的补图(complement):设G是一个图，以V(G)为顶点集，以( u,v) |(u,vp E(G)为边集的图称为G的补图，记为G。点集的补集：记 V二V -V为点集V的补集。特殊的图：零图(null graph)： E

15、-.，即只有孤立点的图。n阶零图记为Nn。平凡图(trivial graph):一阶零图。空图(empty graph)： V = E 的图。有向无环图(directed acyclic graph(DAG):有向的无环的图。完全图(complete graph)：完全图是指每一对不同顶点间都有边相连的的无向图，n阶完全图常记作Kn。二分图(bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集 X和丫，即V二X 一丫 且X 一，且每一条边都有一个顶点在 X中，而另一个顶点在 Y中，那么这样的图称作 二分图。完全二分图(complete bipartite graph)： 二分图

16、G中若任意两个X和丫中的顶点都有边相 连，则这样的图称作完全二分图。若|X|=m,|Y|= n，则完全二分图G记作Km,n。正则图(regular graph)：如果图中所有顶点的度皆相等，贝U此图称为正则图。1.1.3. 路径与回路 Path and Cycle途径(walk):图G中一个点边交替出现的序列p =Vj e Vj ee v，满足v v , e e e，0 l l 21 k 7ijij1Ej二何严)。迹(trail):边不重复的途径。路(path):顶点不重复的迹。简单图中的路可以完全用顶点来表示，P =Vi0V- Vik。若Pi =Pm，称闭的(closed)；反之，称为开的(

17、open)。闭途径(closed walk):起点和终点相同的途径。闭迹(closed trail):起点和终点相同的迹，也称为 回路(circuit)。圈(cycle):起点和终点相同的路。途径(闭途径)、迹(闭迹)、路(圈)上所含的边的个数称为它的长度(le ngth)。简单图G中长度为奇数和偶数的圈分别称为 奇圈(odd cycle)和偶圈(eVen cycle)。对任意u,V V(G)，从x到y的具有最小长度的路称为x到y的最短路(shortest path)，其长度称为x到y的距离(distanee),记为dG(u,V)。图 G 的直径(diameter): D =max dG(u,

18、V)| _u,V V(G)。简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(perimeter)o114 连通性 Connectivity连通(connected):在图G中，两个顶点间，至少存在一条路径，称两个顶点连通的(connected);反之，称非连通(unconnected。强连通(strongly connected):在有向图G中，两个顶点间，至少存在一条路径，称两个顶 点强连通。弱连通(weakly connected):在有向图G中，两个顶点间，若不考虑 G中边的方向的图才 连通的，称原有向图为弱连通。连通图(connected graph)图

19、G中任二顶点都连通。连通分量或连通分支(co nnected bran ch, comp onen t):非连通无向图的极大连通子图 (maximally connected sub-graph)。具体说，若图 G的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集W N.、，使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G中连通，则称每个子图GVi为图G的一个连通分支(i =1,2,，)。图G的连通分支是G的一个极大连通子图。图 G连通当 且仅当 =1 o强连通分量(stro ngly conn ected bran ch)非强连通图有向图的极大强连通子图。割(cut):点割集(vertex cut):点集V- V

20、，若G删除了 V后不连通，但删除了 V的任意真子集后 G仍然连通。则称V点割集。若某一结点就构成就了点割集，则称此结点 割点(cut vertex)o 点数最少的点割集称为点连通度k(G)。边割集(edge cut set):边集E- E，若G删除了 E后不连通，但删除了 E的任意真子集 后G仍然连通。则称E点割集。若某一边就构成就了边割集， 则称此结点割边(cut edge)或桥 (bridge) o边数最少的边割集称为 边连通度k (G)。记号S,S表示一端在S中另一端在S中的所有边的集合。块(block)是指没有割点的极大连通子图。1.1.5. 图论中特殊的集合 Sets in grap

21、h点覆盖(集)(vertex coveri ng (set): V V，满足对于 E，有 v V， v 关联 e。即一 个点集，使得所有边至少有一个端点在集合里。或者说是“点”覆盖了所有“边”。极小点覆盖(minimal vertex covering): 本身为点覆盖，其真子集都不是。 最小点覆盖(minimum vertex covering):点最少的点覆盖。点覆盖数(vertex covering number)：最小点覆盖的点数，记为-V(G)一般说覆盖集就是指点覆盖集。边覆盖(集)(edge covering (set) E- E，满足对于V，有e E， e关联v。即一个 边集，使

22、得所有点都与集合里的边邻接。或者说是“边”覆盖了所有“点”。极小边覆盖(minimal edge covering): 本身是边覆盖，其真子集都不是。最小边覆盖 (minimum edgecovering):边最少的边覆盖。边覆盖数(edge covering number)最小边覆盖的边数，记为E(G)。独立集(independent set): V V，满足对于u,vV，有(u,v)，E。即一个点集，集合中任两个结点不相邻，则称V为独立集。或者说是导出的子图是零图(没有边)的点集。极大独立集(maximal independent set):本身为独立集，再加入任何点都不是。最大独立集(m

23、aximum independent set) 点最多的独立集。 独立数(independent number) 最大独立集的点 数，记为、(G)。团(clique): VV，满足对于-u,v.二V，有(u,v).二E。即一个点集，集合中任两个结点 相邻。或者说是导出的子图是完全图的点集。极大团(maximal clique)：本身为团，再加入任何点都不是。最大团(maximum clique)：点最多的团。团数(clique number)：最大团的点数， 记为(G)。边独立集(edge independent set) EE，满足对于-e, f E，有e, f不邻接。即一个边 集，满足边集

24、中的任两边不邻接。 极大边独立集(maximal edge independent set)：本身为边独 立集，再加入任何边都不是。 最大边独立集(maximum edge independent set)边最多的边独立 集。边独立数(edge independent numbe：)最大边独立集的边数，记为 ：E(G)。边独立集又称匹配(matchi ng),相应的有极大匹配(maximal matchi ng),最大匹配(maximum match in g), 匹配数(matchi ng nu mber)。支配集(dominating set)： V V，满足对于 -u VV，有 v V,

25、 (u,v) E。即一个点 集，使得所有其他点至少有一个相邻点在集合里。 或者说是一部分的“点”支配了所有“点”。 极小支配集(minimal dominating set):本身为支配集，其真子集都不是。 最小支配集(minimum dominating set)：点最少的支配集。支配数(dominating number)：最小支配集的点数，记为V(G)。边支配集(edge domi nating set) E E，满足对于 X/ e- E-E，有三 fE， e, f 邻接。即 一个边集，使得所有边至少有一条邻接边在集合里。 或者说是一部分的“边”支配了所有“边”。 极小边支配集(mini

26、mal edge dominating set):本身是边支配集，其真子集都不是。 最小边支配 集(minimum edge dominating set): 边最少的边支配集。 边支配数(edge dominating number)： 最小边支配集的边数，记为 e(G)。定理：若G中无孤立点，D为支配集，则D=V(G)-D也是一个支配集。定理：一个独立集是极大独立集，当且仅当它是支配集。关系：定理：无向图G无孤立点，V是极小支配集，则存在V2是极小支配集，且V1V2-一。定理：无向图 G无孤立点，V是极大独立集，则V是极小支配集。逆命题不成立。SG) 一 v(G)。定理：连通图中，V是点覆

27、盖，则V是支配集。极小点覆盖不一定是极小支配集。支配 集不一定是点覆盖。定理：无向图G无孤立点，V是(极，最小)点覆盖，充要于V-V是(极，最大)独立集。:v(G) r(G) =|V|。定理：无向图G,V是G的(极，最大)团，充要于V是G的(极,最大)独立集。*G)二w(G)。由上述定理知，:v(G) , r(G) ,-(G)三者互相确定，但都是NPC的。但是二分图中，点覆盖数是匹配数。M是匹配，W是边覆盖，N是点覆盖，丫是点独立集。定理：无向图G无孤立点，|M|v=|N|,|Y|v=|W|定理：无向图G无孤立点，:e(GT -e(G) =|V |。先取一个最大匹配 M , 1条边盖两个点;

28、剩下的一个未盖点要用一条边来覆盖，边覆盖数 =|M| +(|V|-2|M|)= |V|-|M|。定理：无向图G无孤立点，-e(G) =：v(G)，、(G) =e(G)。定理：无向图G无孤立点，(G)= -V(G)。求匹配数是P的，所以边覆盖和匹配都是易求的。最小路径覆盖(path covering)：是“路径”覆盖“点”，即用尽量少的不相交简单路径覆 盖有向无环图G的所有顶点，即每个顶点严格属于一条路径。路径的长度可能为0(单个点)。最小路径覆盖数二G的点数-最小路径覆盖中的边数。应该使得最小路径覆盖中的边数 尽量多，但是又不能让两条边在同一个顶点相交。拆点：将每一个顶点i拆成两个顶点Xi和Y

29、i。然后根据原图中边的信息，从 X部往丫部引边。所有边的方向都是由 X部到丫部。因 此，所转化出的二分图的最大匹配数则是原图G中最小路径覆盖上的边数。因此由最小路径覆盖数二原图G的顶点数一二分图的最大匹配数便可以得解。1.1.6. 匹配 Matching匹配(matching)是一个边集，满 足边集中的边 两两不邻接。匹配又 称边独立集(edge in depe ndent set)在匹配中的点称为 匹配点(matched vertex或饱和点；反之，称为未匹配点(unmatched vertex) 或未饱和点。交错轨(alternating path)是图的一条简单路径，满足任意相邻的两条边

30、，一条在匹配内， 一条不在匹配内。增广轨(augmenting path)：是一个始点与终点都为未匹配点的交错轨。最大匹配(maximum matchi ng)是具有最多边的匹配。匹配数(matchi ng number)是最大匹配的大小。完美匹配(perfect matchi ng)是匹配了所有点的匹配。完备匹配(complete matchi ng是匹配了二分图较小部份的所有点的匹配。增广轨定理：一个匹配是最大匹配当且仅当没有增广轨。综上，在二分图中，最小覆盖数=最大匹配数。边覆盖数=最大独立数=|V|-最大匹配数。1.1.7. 树 TreeG=(V, E)为一个图，则下列命题等价：G是一

31、棵树；(2)G连通，且|E|=|V|-1; (3)G无圈,且|E|=|V|-1; (4)G的任何两个顶点之间存在唯一的一条路；G连通，且将G的任何一条弧删去之后，该图成为非连通图；(6)G无圈，且在G的任何两个不相邻顶点之间加入一条弧之 后，该图正好含有一个圈。Cayley公式：在n阶完全图 心中，不同生成树的个数为nn，。1.1.8. 组合优化Combinatorial optimization从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方案，数学上把这种问题称为(最)优化(optimization)问题。所谓组合(最)优化(combinatorial optimization)又称离

32、散优化(discrete optimization)，它是通 过数学方法去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等这类问题可用数学模型描述为：min f(x)s.t g(x) Z0,D其中D表示有限个点组成的集合(定义域),f为目标函数，F =x|x D,g(x)_0为可行域。网络优化(network optimization)就是研究与(赋权)图有关的组合优化问题。常见的P类网络优化问题：最小生成树，最短路，最大流，最小费用最大流，最大匹配， 中国邮路问题。常见的NP类网络优化问题：旅行商问题。参考文献：1 Dictionary of Algorithms and Data Structu

33、res NIST， http:/www.nist.gov/dads/2 Wikipedia，http:/en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory3 谢金星，清华大学数学科学系 讲义http:/faculty.math.tsi nghua.edu.c n/jxie/courses/netopt1.2. 图的表示 Expressions of graph下面介绍几种表示图的数据结构。并统一用下图做例子：1.2.1.8令 B接矩阵 Adjacency matrix用二元数组A(u,v)，来表示图。这种表示法一般用于稠密图。当图不是简单图，邻接矩 阵法不能用。在无权图中，若

34、边(u,v)存在，A(u,v)=1 ；否则A(u,v)=0。A=(au,v)nn 0,1nn,(u,v)(u,v) E10/33ADN.cnlibrarysummary图论总结2013-12-21#/33ADN.cnlibrarysummary图论总结2013-12-21无权图的例子:0 110 00 0 0 1 010 1 0 0 0(001010 0 1 1 0在有权图中，若边(u,v)存在，则A(u,v)为它的权值；否则人为的规定 A(u,v)=x或-是一个足够大的数A _ ( au,v)n n ,w(u,v),(u,v) - E(u,v) E无向图中，邻接矩阵是按矩阵副对角线对称的1.

35、2.2. 关联矩阵 Incidence matrix用二元数组B(u,k)，来表示无权有向图。一般不用这种表示法。若边k与点u关联，若k是u的出边，贝U B(u,k)=1 ；若k是u的入边B(u,k)=-1 ；否则B(u, k) =0。1, Tv V,k = (u, v) E,B=(bu,k)nm -1,0,1nm, bu,k 二-1, v V,k=(v,u) E,0,else无权图的例子：11000000 1-101-100000-101-10-1000-10110-1.00000-111 一12.3邻接表 Adjacency list图的邻接表是图的所有节点的邻接表的集合；而对每个节点，它

36、的邻接表就是它的所有 出弧的集合，含有终点，权值等信息。对于有向图G=(V,E)，般用A(v)表示节点v的邻接表，即节点v的所有出弧构成的集 合或链表(实际上只需要列出弧的另一个端点，即弧的尾)。一般图都适用。邻接表方法增加或删除一条弧所需的计算工作量很少。有权图的例子：A(1)=2,3，A(2)=4，A(3)=2，A(4)=3,5 , A(5)=3,41.2.4. 弧表 Arc list所谓图的弧表，也就是图的弧集合中的所有有序对以表格的方式来表示。 弧表表示法直接 列出所有弧的起点和终点，以及权值。一般用于稀疏图。缺点是无法通过一些信息 (起点，终 点)定位一条边。用S(i),F(i),W

37、(i)分别表示起点，终点，权值。有权图的例子：起点13455421终占”A 八、22543343权值843760691.2.5. 星形表示 Star星形表示法就是对弧表的缺点的改进，使之可以通过起点或终点定位边。由于很多时候， 算法只需事先知道起点，通过枚举边扩展，而不需要事先知道终点；如图的遍历，松弛操作。按定位方式，又分前向星形(forwards star)与反向星形(reverse star).前向星形：通过起点 定位边。反向星形：通过终点定位边。实际上，反向星形几乎没用。故本文只讨论前向星形。通常有两种方法实现这种对弧表改进：边排序法，链表法。边排序法：把弧表按起点为第一关键字，终点为

38、第二关键字来排序。排序用不用额外空 间的快速排序O(mlogm)或用额外空间O(m)的计数排序O(m)均可。之后用数组last(u)记录以 结点u为起点的最后一条边的编号，并规定last(0)=0。这样以结点u为起点的边编号就是last(u-1)+1到last(u)。有权图的例子：作为起点的点012345最后边的编号023468编号12345678起点11234455终占八、23423534权值89640367链表法：给每条边(u,v)加一个前趋，表示以u为起点的边链表的前一条边。直观的讲，就是将相同结点的边用链表串起来。last(u)存以u为起点的最后一条边的编号。有权图的例子:作为起点的点

39、12345最后边的编号65278编号012345678起点nil53412145终占八、nil42524333权值nil74386906前趋nil00000431星形表示法的优点是占用的存贮空间较少。一般图都适用。边排序法的优点是已知起点 和终点的情况下可以精确定位边，容易在起点定位的范围内二分查找终点，在反向边的定位 中常用；缺点是代码麻烦，时间抑或空间上都有额外开销。链表法的优点很多，不仅代码简 单，而且没有太多的时空开销，对于反向边的定位只要多加一个数据项纪录下反向边即可； 除了终点定位性，几乎没缺点。参考文献：1 谢金星，清华大学数学科学系 网络优化讲义http:/faculty.ma

40、th.tsi nghua.edu.c n/jxie/courses/netopt2 刘汝佳，黄亮，算法艺术与信息学竞赛,P601.3. 图的遍历 Traveling in graph1.3.1.深度优先搜索Depth first search (DFS)1.3.1.1.概念1.3.1.2. 求无向连通图中的桥Fi ndi ng bridges in un directed graph在无向连通的条件下，边是桥的充要条件是：1.桥一定是DFS树中的边；2.桥一定不在圈 中。圈是由一条后向边(u,v)与DFS树中u到v的路径组成。也就是说u到v的路径上的边都 不可能是桥，应该给以标记。记f(x)为

41、x与其子孙的后向边所连到的最老祖先(深度最浅)，表 示x到f(x)上的边均不为桥。然而维护f(x)比较麻烦，其实只要知道f(x)的拓扑序数就可以 了。所谓拓扑序数就是 满足儿子的序数总比父亲大 的一个编号方式。这个拓扑序，常用使用 深度d，或者使用时间戳(TimeStamp) DFN( DFS访问的次序)。下面以深度为例：记g(x) =d(f(x)，在DFS树中从x开始通过前向弧和后向弧所能到达的最小的do有以下的动态规划：d(x)g(x)= mind(y) (x, y) is backforward edge, y fatherg(c) c is xs child .这里：1. 第一次访问x

42、时，记录d(x)2. d(y)自己发出去的后向边所达到的深度。3. g(c)就是其子孙中的g最小值。最后，若g(x)=d(x)，即(father,x)不在圈中，贝U (father, x)就是桥1.3.2. 广度优先搜索Breadth first search (BFS)1.4. 拓扑排序 Topological sort拓扑排序是对有向无圈图(DAG)顶点的一种排序，它使得如果存在 u,v的有向路径，那么 满足序中u在v前。拓扑排序就是由一种偏序(partical order)得到一个全序(称为拓扑有序 (topological order)。偏序是满足自反性，反对称性，传递性的序。拓补排序

43、的思路很简单，就是每次任意找一个入度为0的点输出，并把这个点以及与这个点相关的边删除。实际算法中，用一个队列实现。算法：1. 把所有入度=0的点入队Q。2. 若队Q非空，则点u出队，输出u;否则转4。3. 把所有与点u相关的边(u,v)删除，若此过程中有点v的入度变为0,则把v入队Q， 转2。4. 若出队点数N，贝U有圈；否则输出结果。算法复杂度：0(m)。习题：MIPT 012 Correct dictionary设R为非空集合A上的二元关系，如果R满足自反性(对于每一个x A，(x,x) R )，反 对称性(x,y) RA (y,x) R-x=y )和传递性(x,y) R A (y,x)

44、R- (x,z) R)，则称 R 为 A 上的 偏序关系，记作w。如果(x,y) R，则记作xm，结束，此时G没有生成树；否则判断T e是否含圈，是则转2,否则转33. T二T e。若|T|=N，结束，此时T为G的最小生成树。分离集合(disjoint set)，可用并查集实现。由于排序是O(mlogm)的。所以复杂度为O(mlog m ma(n)。16113 Sollin（ Boruvka）基本思想：前面介绍的两种算法的综合。每次迭代同时扩展多棵子树，直到得到最小生 成树T。算法：1. 对于所有 v V,Gv 二v。T =_。2. 若|T|=N，结束，此时T为G的最小生成树；否则，对于T中所

45、有的子树集合Gv，计算它的边割Gv,& 中的最小弧e；(有的书称连接两个连通分量的最小弧“安全边”)。3. 对T中所有子树集合Gv及其边割最小弧ev =(p, q)，将Gv与q所在的子树集合合并。T = T ev。转 2。由于每次循环迭代时，每棵树都会合并成一棵较大的子树，因此每次循环迭代都会使子树的数量至少减少一半，或者说第i次迭代每个分量大小至少为2。所以，循环迭代的总次数为0(logn)。每次循环迭代所需要的计算时间：对于第2步，每次检查所有边 0(m)，去更新每个连通分量的最小弧；对于第3步，合并O(n/2i)个子树。所以总的复杂度为O(mlog n)BQRUVKA(y E):whil

46、e T has more than one component choose leaders using DFS FindSa?eEdgbs(V E) for each, leader add safe(v) to Tfor wa观1 leader V safe(V)L cofcr each, edge (u,v) E E u 1 leader (u) 方 * leader (v) if u/vif wtu.AJ w(safeu)l saiefu) 仏切 if d( u) w( u, v直观的讲，就是路径最后通过(u,v)，使得s到v的距离比原来s到v的 方案的距离短。松弛操作是最短路算法求解

47、的基本方式。最短路算法求解过程中的标号规定：对于V中每一个顶点v,设置一个标号：距离标号d(v)，记录的是从起点到该顶点的最短路长度的上界；再设置一个是前趋pred(v)，记录的是当起点s到该顶点v的一条路长取到该上界时，该条路中顶点 v前面的那个直接前趋。算法 通过不断修改这些标号，进行迭代计算。当算法结束时，距离标号表示的是从起点到该顶点 的最短路长度。标号设定算法(Label-Setting)：在通过迭代过程对标号进行逐步修正的过程中，每次迭代 将一个顶点从临时标号集合中移入永久标号集合中。标号修正算法(Label-Correcting):每次迭代时并不一定将任何顶点标号从临时标号转变为

48、 永久标号，只是对临时标号进行一次修正，所有顶点标号仍然都是临时标号；只有在所有迭 代终止时，所有顶点标号同时转变为永久标号。最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可。16211基本算法 Basic algorithms1.621.1.1. Dijkstra采用了标号设定算法(Label-Setting)。在迭代进行计算的过程中，所有顶点实际上被分成 了两类：一类是离起点较近的顶点，它们的距离标号表示的是从点s到该顶点的最短路长度， 因此其标号不会在以后的迭代中再被改变(称为永久标号)；一类是离起点较远的顶点，它 们的距离标号表示的只是从点到该顶点的最短路长度的上界，因此其标号还可

49、能会在以后的 迭代中再被改变(称为临时标号)。下文称永久标号为已检查。算法：1. d(s)=0，d(v) =：,(v = s)，已检查 U = 一2. 取未检查的u，即uU，使得d(u)最小。若u取不到，即d(u)=x则结束；否则标记为已检查，即 U 二U u 03. 枚举所有的u的临边(u,v)，满足v未检查，即v U。松弛(u, v)，即若d(v) d(u) w(u,v)， 则改进 d(v) =d(u) w(u,v) , pred(v)=u。转 2。这里的d可以用优先队列实现，需用到删除最小(DeleteMin)与减值(DecreaseKey的操作。 假设用Fibonacci Heap实现(删除最小O(logn)，减值0(1)，则算法复杂度:0(nlog n m)。若用 Bi nary Heap 则 O( n m)log n)。适用范围：非负权图。1.621.12 Bellman-Ford采用了标号修正算法(Label-Correcting)。本质就是用迭代法(动态规划)解Bellman-Ford方程：d(s) =0,(1)d (v)二 w(s, v), v = sd(k1)(v)=mind(k)(v), m