福建师范大学21秋《复变函数》平时作业2-001答案参考68

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1、福建师范大学21秋复变函数平时作业2-001答案参考1. 某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人 每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台预报下雨他就带伞，即使预报无雨，他也有一半的时候带伞。求他没带伞而遇雨的概率2. 若f，gBV，则|f|，f+，f-，fg，fg属于BV。( )A.正确B.错误参考答案：A3. VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵 VE中两组正交基的过渡矩阵为正交矩阵？VE中两组标准正交基之间的过渡矩阵，必为正交矩阵VE中两组正交基的

2、过渡矩阵为正交矩阵？例 设VE=R3=(a，b，c)|a，b，cR，1=(2，1，1)，2=(0，3，0)，3=(1，0，-2)；1=(1，1，0)，2=(1，-1，0)，3=(0，0，1)是两组正交基，且 ， ，不为正交矩阵 4. 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温u0，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是()。5. 设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f&39;(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有( ) (

3、A) 极大值 (B) 极设f(x)在x=x0的附近二阶连续可导，f(x0)=0，f(x0)0，则f(x)在x=x0处有()(A)极大值(B)极小值(C)拐点(D)既非极值点也非拐点B根据洛必达法则， 说明当x充分接近x0时，f(x)-f(x0)0即x=x0是f(x)的极小值点 6. 证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根证明方程x3-3x+5=0在区间0，1内不可能有两个不同的实根记f(x)=x3-3x+5，用反证法假设f(x)=0在0，1内有两个不同的实根x1，x2，那么f(x1)=f(x2)=0，又因为f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，所以由罗尔中值定理知

4、，存在一点(x1，x2)(0，1)，使得f()=0 但f(x)=3(x2-1)只有两个实根x=1，因此不可能存在(x1，x2)(0，1)，使得f()=0，于是推出矛盾 7. 试证明： 设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：设且m(E)+，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)0，fk(x)0，aexE(kN)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).证明 不妨假定fk(x)(kN)与f(x)皆不为0依题设知，对任一子列fki(x)，均存在子列fkij(x)几乎处处收敛于f(x

5、)也就是说，对任一子列1/fk(x)，均存在子列1/fkij(x)几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.8. 求解线性规划问题 min f=3x12x2x3, stx12x2x3=15， 2x15x3=18， 2x14x2x3x4=10, xj0(j=1，2，3求解线性规划问题minf=3x1+2x2+x3,stx1+2x2+x3=15，2x1+5x3=18，2x1+4x2+x3+x4=10,xj0(j=1，2，3，4)注意到，系数矩阵中含有一个单位向量p4，这时可以省去一个人工变量，即只引进两个人工变量x5，x6于是，第一阶段问题为 min z=x5+x6， s.t.x1+2x2+

6、x3+x5=15, 2x1+5x3+x6=18， 2x1+4x2+x3+x4=10， xj0(j=1，2，6).列出初始单纯形表(简化的)，如表2-33. 表2-33 x1 x2 x3f0-3-2-1z333 2 6x5 x6x41518101 2 12 0 5*2 4 1 注意表2-33中z行的元素只等于人工变量x5，x6所在行的对应元素之和，而不是同列其余各元素之和相继迭代两次，得表2-34和表2-35. 表2-34 x1 x2 x6ffrac185-frac135-2 frac15zfrac575frac35 2-frac65x5 x3x4frac575frac185frac325fra

7、c35 2-frac15frac25 0 frac15frac85 4*-frac15 表2-35 x1 x4 x6ffrac345-frac95 frac12 frac110zfrac415-frac15-frac12-frac1110x5 x3x2frac415frac185frac85-frac15-frac12-frac110frac25 0 frac15frac25 frac14-frac120 表2-35是第一阶段问题的最优解表，但最优值由此判定原问题无可行解 9. 求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y&39;)2求下面微分方程的通解或特解。y=1+(y)2设y=p(x)，则y

8、=p(x)，将y=p(x)、y=p(x)代入原方程中，有 p=1+p2 分离变量，得 两边积分，得 arctanp=x+c1 p=tan(x+c1) y=p=tan(x+c1) 10. (1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续 (2)讨论函数在定义域内是否连续(1)设f(x)=sinx,，试证在点x=0处fg(x)连续(2)讨论函数在定义域内是否连续(1)由题意有 因此fg(x)处处连续，自然fg(x)也在x=0点处连续 (2)当0xe时，有 当xe时，有 于是有 又由于 可知f(x)在x-=e点连续，从而f(x)的定义域x0上连续 11. 为了鉴定两种工艺方法对产品的某种

9、性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9为了鉴定两种工艺方法对产品的某种性能指标影响是否有差异，对9批材料分别用两种工艺进行生产，得到该指标的9对数据如下：0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 17.40.10 0.20 0.52 0.32 0.78 0.59 0.68 0.77 0.89假定两种工艺方法生产的产品的性能指标之差服从正态分布根据这些数据能否判定不同工艺对产品的该性能指标影响有显著差异?(=0.05)12. 试证明： 设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(

10、x)在F上一致收敛于零试证明：设fn(x是R1上非负渐降连续函数列若在有界闭集F上fn(x)0(n)，则fn(x)在F上一致收敛于零证明 由题设可知，对任意的xF以及0，存在自然数指标n，使得fn(x)因为f(x)是连续函数，所以存在x0，使得fn(t)(tB(x，x)注意到B(x，x)是F的开覆盖，故存在有限个开球 B(xi，xi) (i=1，2，m)， 记与xi相应的自然数指标为ni(i=1，2，m)，则令N=maxn1，n2，nm，我们得到 fn(x) (nN，xF) 这说明fn(x)在F上一致收敛于0 13. 设y=x3ex，求y(n)设y=x3ex，求y(n)y(n)Cn0x3ex+

11、Cn13x2ex+Cn26xex+C3n6ex=x3ex+3nx2ex+3n(n-1)xex+n(n-1)(n-2)ex14. 求由抛物线y2=8x与直线xy6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积求由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及y=0(y0)所围成平面图形的面积15. 假设(t，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，试证(t，假设(t，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)的通解，而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，试证(t，c1，c2，cn)就是方

12、程(4.57)的通解，这里c1，c2，cn-k，cn为任意常数(t，c1，c2，cn-k)是方程(4.58)：F(t，y，y，y(n-k)=0的通解，即有 F(t，(n-k)0， 且c1，c2，cn-k是彼此独立的常数而函数(t，c1，c2，cn)是x(k)=(t，c1，c2，cn-k)的通解，即 (k)(t，c1，c2，cn)(t，c1，c2，cn-k) 于是 (t，c1，c2，cn)(t，c1，c2，cn-k)dtdt+cn-k+1tk-1+cn-k+2tk-2+cn， 其中cn-k+1，cn-k+2，cn是彼此独立的常数 将x=(t，c1，c2，cn)代入(4.57)：F(t，x(k)，

13、x(k+1)，x(n)=0中有 F(t，(k)，(k+1)，(n)F(t，(n-k)0， 即(t，c1，c2，cn)是方程(4.57)的解且因c1，c2，cn-k彼此独立，即有 于是 即常数c1，c2，cn-k，cn彼此独立(t，c1，c2，cn)是方程(4.57)的通解 16. 在甲，乙两个居民区分别抽取8户和10户调查每月煤气用量(m3)，计算得样本均值分别为根据以往经验，两区居民煤在甲，乙两个居民区分别抽取8户和10户调查每月煤气用量(m3)，计算得样本均值分别为根据以往经验，两区居民煤气用量近似服从正态分布，相互独立，且标准差为1=2=1.1，在显著水平=0.05下，两区居民煤气用量是

14、否有显著差异?拒绝17. 连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个连续4次掷一颗骰子至少出现1次一个6点(设为事件A)与连续24次掷两颗骰子至少出现1次两个6点(设为事件B)，哪个事件的概率更大?P1=4/64 p2=24/624p1/p2=4/64*624/24=6191所以4次的概率大18. 试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程试求具有y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex为特解的常系数线性齐次方程y+y-y-y=019. 试证明： 设，m*(E)0，0cm*(E)，则

15、存在E的子集A，使得m*(A)=c试证明：设，m*(E)0，0cm*(E)，则存在E的子集A，使得m*(A)=c证明 记f(x)=m*(a，x)E)，axb，则f(a)=0，f(b)=m*(E).考察x与x+x，不妨设axx+xb，则由 a,x+x)E=(a,x)E)(x,x+x)E) 可知，f(x+x)f(x)+x，即 f(x+x)-f(x)x 对x0也可证得类似不等式，总之，我们有 |f(x+x)-f(x)|x|，axb 这说明fC(a，b)，根据连续函数中值定理，对于f(a)cf(b)，必存在(a，b)，使得f()=c.从而取A=a，)E，即得所证 20. 证明：函数F(x，y，z)在点

16、P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：21. 经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力假设经研究发现在短跑比赛中，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力f(t)满足，k是冲力限制系数，f(0)=F为最大冲力将上述关系代入赛跑模型的(2)式，求出短跑比赛时速度u(t)和

17、距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，作出v(t)的示意图某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中到达距离s处所用的时间t和当时的速度v如下表所示(平均值)：s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22试从这组数据估计出参数，k，F算出v(t)的理论值与实际数据比较你对这个模型有什么解释和评价由(k0)和f(0)=F，得f(t)=Fe-t/k代入(2)式，有 (0tT，T

18、是赛程所需时间) 解得 (1) (2) (3) t*是v(t)达到最大的时间(3)式代入(1)，(2)可得v*=v(t*)，s*=s(t*)又由所给数据，得t*=6.085s，v*=11.76m/s，s*=55m代入(1)(3)式计算出=1.845s，k=43.4s，F=7.32m/s2将这些数据代入(1)得 v(t)=14.1(e-t/43.4-e-t/1.845) (4) 用(4)式计算v(t)(理论值)与实际值比较如下： v(t)(实际值) 0 5.24 9.54 10.52 11.19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22 v(t)(理论值) 0 5.

19、29 9.56 10.84 11.43 11.63 11.76 11.69 11.56 11.41 11.23 与模型不同，由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也在达到最大值v*后，有一个减少的阶段t*，这与本题所给数据是吻合的 22. 能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0正确答案：B23. 函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时的全微分为( ) A0.20 B-0.20 C-0.1664 D0.1664函数z=x2y2，当x=1，y=1，x=0.2，y=-0.1时

20、的全微分为()A0.20B-0.20C-0.1664D0.1664A24. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差。( )A.正确B.错误参考答案：A25. 设布尔代数(0，1，)上的一个布尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)设布尔代数(0，1，)上的一个布尔表达式为E(x1，x2，x3)=(x1x2)(x2x3)，求E(1，0，1)E(1，0，1)=(10)(01)=11(10)=126. 计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。计算mod5的整数的加法表、乘法表和减法表。 oplus 0 1 2 3 4 0 0 1

21、2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3 otimes 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1 ominus 0 1 2 3 4 0 0 4 3 2 1 1 1 0 4 3 2 2 2 1 0 4 3 3 3 2 1 0 4 4 4 3 2 1 0 27. 试证明一棵二元完全树必有奇数个结点试证明一棵二元完全树必有奇数个结点方法一：设二元完全树T有n个结点，m条边依定义，T中每个分支结点都关联两条边，所以m必为偶数又因为T是树，有

22、n=m+1，故n为奇数，因此二元完全树必有奇数个结点 方法二：设二元完全树T有n个结点，l片叶子，b个分支结点，则有n=l+b及b=l-1，所以n=l+b=l+l-1=2l-1，即n为奇数本题可根据二元完全树的特点，树和图中边、结点的关系，经综合考虑得出结论。 28. 下列积分不为零的是( ) A-sinxdx B-x2sinxdx C-exdx D-sinxcosxdx下列积分不为零的是()A-sinxdxB-x2sinxdxC-exdxD-sinxcosxdxC29. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值

23、求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题 求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法 如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法， 通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法 30. 求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a1)，求2yx求下列函数的差分： (1)yxc(c为常数)，求yx (2)yxx22x，求2yx (3)yxax(a0，a

24、1)，求2yx (4)yxlogax(a0，a1)，求2yx (5)yxsinax，求yx (6)yxx33，求3yx正确答案：31. 若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=( ) AF(ex)+C B-F(e-x)+C CF(e-x)+C D若f(x)dx=F(x)+C，则e-xf(e-x)dx=()AF(ex)+CB-F(e-x)+CCF(e-x)+CDBe-xf(e-x)dx=-f(e-x)d(e-x)=-F(e-x)+C32. 设a=3，5，-2，b=2，1，9，试求的值，使得： (1)a+b与z轴垂直； (2)a+b与a垂直，并证明此时|a+b|取最小值设a=3，5

25、，-2，b=2，1，9，试求的值，使得：(1)a+b与z轴垂直；(2)a+b与a垂直，并证明此时|a+b|取最小值a+b=3+2，5+1，-2+9， a+b与z轴垂直，即a+b与k=0，0，1垂直，所以， (a+b)k 2+9=0， 解得 (2)(a+b)a=38-7=0，所以 |a+b|2=(a+b)(a+b) =2aa+2ab+bb =382-27+86 所以，时|a+b|取得最小值得证 33. 设yf(x2b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y设yf(x2b)其中b为常数，f存在二阶导数，求y正确答案：yf(x2b)2xyf(x。b)2x2xf(x2b)24x2f(x2b)2f(x2b)

26、34. 证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R是地球半径证明：把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度，R是地球半径取地心为原点O，建立如图6-20所示的坐标系，y轴向上题设引力常数为G，故作功元素，则 由于在地球表面上，所以GM=gR2，代入上式 35. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集根据题意A是有限集，则AN(N是自然数集)是可列集，可知(AN)B是可列集，而AB(AN)B，而AB是无限集，由于可列集的任何无限子集是可列的，故AB为可列集36. 在直

27、角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?在直角坐标系下的三重积分化为累次积分时如何定限?若区域的边界曲面与平行于某坐标轴，如z轴的直线至多有两个交点，则可以采用“先一后二”的积分法(或称投影法)欲确定积分限，可将区域投影到与该坐标轴垂直的坐标面，如Oxy平面，得到投影区域D于是D便是后面进行的二重积分的积分区域再确定另一自变量(如z)的变化范围：设z=z1(x，y)，z=z2(x，y)分别为区域的边界的下、上曲面，于是不等式z1(x，y)zz2(x，y)便决定了第一次积分的上、下限了 若用“先二后一”法(或称截面法)积分，可以如下定限：先将区域投影到某坐标轴上，如z轴，便得到一投影区间c1

28、，c2，则不等式c1zc2便决定了最后一次积分的上、下限再在z轴的区间(c1，c2)上任取一点z，视z为常数，过该点作一与z轴垂直的平面与相交，设该平面截所得到的区域为D(z)，则D(z)就是先进行二重积分的积分区域 37. 计算函数的导数：y=excosx计算函数的导数：y=excosxy=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx)38. 计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)计算方阵的三种常用范数(p=1，2，)由定义得 又由于，而 从而max(ATA)=32，所以 39. 已知(2x)x2a(x1)b(x1)2(x1)，求a，b的值。已知(2x)x2a(x1)b(x1)

29、2(x1)，求a，b的值。正确答案：解 令 x1tx1t0rn解令x1t,x1,t040. 设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数因为1，2是独立同分布N(0，1)随机变量，所以联合分布律 当z0时，FZ(z)=0 当z0时，有 所以 41. 已知向量a=2，1，1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；已知向量a=2，1，-1)，若向量b与a平行，且ba=3，则b=_；42. 15设甲、乙两种零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单15设甲、乙两种零件彼此

30、可以代替，但乙零件比甲零件制造简单，造价也低经过试验获得它们的抗拉强度分别为(单位：kg/cm2)：甲：88，87，92，90，91乙：89，89，90，84，88假定两种零件的抗拉强度都服从正态分布，且问甲种零件的抗拉强度是否比乙种的高(=0.05)?15甲的抗拉强度比乙的高43. 若|A|=|B|，|C|=|D|，则( )A.|AC|=|BD|B.|AC|=|BD|C.|AC|=|BD|D.当A或C为无限集时，|AC|=|BD|参考答案：D44. 设函数u=u(x，y)由方程组 所确定，求设函数u=u(x，y)由方程组所确定，求首先 du=fxdz+fydy+fzdz+ftdt， 又由方程

31、组有 解之，有 所以 因而 45. 自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?自变量或函数变换在偏微分方程化简和求解中有什么作用?正确答案：46. 唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法正确答案： A47. 设A、B互不相容，P(A)=p，P(B)=q，则_设A、B互不相容，P(A)=p，P(B)=q，则_1-p-q48. 试利用逐项积分法求下列幂级数的和：试利用逐项积分法求下列幂级数的和：提示 其答案依次为： 49. 证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根证明令f(x)=e3-x-2，f(x)在0，1上连续，且f(0)=-10，f(1)=e3-30，由零点存在定理知，至少存在一点(0，1)，使f()=0，即方程e3x-x=2在(0，1)内至少有一个实根50. 两个本原多项式g(x)和h(x)若在Qx中相伴，那么g(x)h(x)等于多少?A、1B、任意常数cC、任意有理数两个本原多项式g(x)和h(x)若在Qx中相伴，那么g(x)/h(x)等于多少?A、1B、任意常数cC、任意有理数D、任意实数正确答案： A