比例及平行线分线段成比例定理

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1、、比例1、比例的基本性质:1)a b2) a ba3)-ba4)ba5)b6) a b7) a bc d c d cadbc,这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式d c d c d c d c ddbbbbbbd（反比定理）;cb（或d c）（更比定理）;bd dd ddm(b d n2、比例中项:若a:b（合比定理）;（分比定理）;（合分比定理n 0)）；ma-(等比定理).nbb:c,则b叫做a,c的比例中项.3、如图，设三条平行线11 / 12 / 13，则公B DE.此定理BC EF称为平行线分线段成比例定理，它的逆定理仍然成立.二、平行线分线段成比例定理及其推论1.平行

2、线分线段成比例定理BC EF如下图，如果11 / 12 / L则BC三AC DFAB DEAC DF ABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果ADDE / BC ,则 & ABAE DEAC BC3.平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB ACDEBC重、难点AE那么 DE / BC 。重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用关键：掌握好与相似的过渡勖3蛆 例题精讲板块一、比例的基本性质【例1】 已知：a 9,求证：ab cd是a2 c2和b2 d2的比例中项。 b d【例2】

3、已知：-y z。求x y 3Z23 4 3x y, ci、几 a c e 1 t a ce【例3】设一 一 一 一，则b d f 4 b d f板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】 如图，DE / BC ,且DB AE,若AB 5, AC 10,求AE的长。【例5】如图，在梯形 ABCD中，AB / CD , AB 12, CD 9 ,过对角线交点。作EF / CD交AD , BC于E , F ,求EF的长。【例6】如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AD a, BC b, E, F分别是AD , CE交DF于Q ,求PQ的长。BC的中点，AF交BE于板块三、定理及

4、推论与中点有关的问题【例7】（2007年北师大附中期末试题）11如图 1 ,在 ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且 AE AB ,4，连接EM并延长，交BC的延BC长线于D ,则BCCDA. 5B.1 C.23D.22AFFD的值为（）(2)如图(2),已知 ABC 中，AE : EB 1:3 , BD : DC 2:1 , AD 与 CE 相交于 F ,则受 FC【例8】（2001年河北省中考试题）如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O .AE 1 iq AO /击(1)当一时，求的值；AC 2 AD(2)当AE、时，求AO的值；AC 3 4

5、AD(3)试猜想AE 时AO的值，并证明你的猜想AC n 1 AD【例9】(2003年湖北恩施中考题)如图，AD是 ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交与 八、.(1)如果E是AD的中点，求证：王1；FC 2AF 1 AE(2)由(1)知，当E是AD中点时， 成立，若E是AD上任意一点(E与A、D不重合)，上述FC 2 ED结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由 【例10如图，已知 ABC中，AD是BC边上的中线, 求证：AF EF 。E是AD上的一点，且 BE AC ,延长BE交AC于F。【例11(宁德市中考题)如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E

6、,延长AB交CE的延长线于P。若 AD 2DE ,求证：AP 3AB。E1【例12（济南市中考题；安徽省中考题）如图，ABC中，BC a ,若Di , E分别是AB , AC的中点，则D -a ； 21 a 3若D2、E2分别是DiB、EiC的中点，则D2E2 2 2a -a ；1 37右D3、E3分别是D2B、E2c的中点，则 D3E3 a a a；2 48若工、巳分别是Dn-6 巳-心的中点，则 口口巳 板块四、利用平行线转化比例111【例 13如图，已知 AB/EF/CD ,若 AB a , CD b , EF c,求证：一 一 _.cab【例14（黄冈市中考题）如上图，AB BD ,

7、CD垂足为F .证明：.AB CD EFBD ,垂足分别为 B、D , AC和BD相交于点E , EF【例15如图，找出Sabd、Sbed、Sbcd之间的关系，并证明你的结论【例16如图，在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O ,直线l平行于BD ,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点 M、N、R、S和P.求证：PM PN PR PS【例17已知，如图，四边形ABCD ,两组对边延长后交于 E、F ,对角线BD II EF , AC的延长线交EF于G .求证：EG GF.【例18】 已知：P为 ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边 AC、AB于D、E

8、, 求证：股些1DC EB【例19】在 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H 两点，求证： BG :GH :HM 5:3: 2【例20 如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BM MN NC , 一条平行于AC的直线分别交 AB、 AM和AN的延长线于点D、E和F .求证：EF 3DE .ADMF【例21 已知：如图，在梯形 ABCD中，AB/CD , M是AB的中点，分别连接 AC、BD、MD、MC ,且AC与MD交于点E , DB与MC交于F .(1)求证：EF /CD(2)若 AB a , CD b ,求 EF 的长.【例22

9、如图，在梯形 ABCD中，AD / BC ,AD 3, BC 9, AB 6 , CD 4 ,若EF / BC ,且梯形 AEFD与梯形EBCF的周长相等，求 EF的长。【例23 如图，YABCD的对角线相交于点 O ,在AB的延长线上任取一点 E ,连接OE交BC于点F ,若 AB a, AD c, BE b ,求 BF 的值。【例24】已知等腰直角 ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CE CD ,过E、D分别作AE的垂线，交斜边 AB于L, K .求证：BL LK .【例 25如已知 DE II AB , OA2 OC OE ,求证：AD II BC .【例26】在 ABC中，BD CE, DE的延长线交 BC的延长线于 P,求证：AD BP AE CP.DAE【例27如图，在 ABC的边AB上取一点D ,在AC取一点E ,使AD AE ,直线DE和BC的延长线相交于P ,求证：BPCPBDCEPG BC , PH AC,【例28】已知，在 ABC中，AD、BE、CF为其三条高线,PK AB, G、H、K为垂足，求证:PG PHAD BEPKCFP为此三角形内一点，且