线性代数行列式学习教案

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1、会计学1第一页，共109页。第1页/共109页第二页，共109页。同济大学同济大学(tn j d xu)数学系数学系.线性代数线性代数M.第六版第六版.北京：高等北京：高等教育出版社，教育出版社，2014.第2页/共109页第三页，共109页。第3页/共109页第四页，共109页。第4页/共109页第五页，共109页。nn行列式的概念行列式的概念(ginin).(ginin).行列式的计算行列式的计算(j sun).(j sun).第5页/共109页第六页，共109页。在以往的学习中，我们接触在以往的学习中，我们接触(jich)过过二元、三元等简单的线性方程组二元、三元等简单的线性方程组.但是

2、，从许多实践或理论问题里导出但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等也不一定相等.第6页/共109页第七页，共109页。我们先讨论未知量的个数与方程的我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形个数相等的特殊情形.在讨论这一类在讨论这一类(y li)线性方程组时线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具，我们引入行列式这个计算工具.第7页/共109页第八页，共109页。我们我们(w men)(w men)从最简单的二元线性方程组出发，从最简单的二元线性方程组出发

3、，探探求其求解公式，并设法化简此公式求其求解公式，并设法化简此公式. .第8页/共109页第九页，共109页。二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一时，该方程组有唯一(wi y)(wi y)解解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 第9页/共109页第十页，共109页。求解求解(qi ji)公式为公式

4、为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定(qudng).(qudng).分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得. .第10页/共109页第十一页，共109页。其求解其求解(qi ji)公式为公式为11112212112222a xa xba xa xb 12212211122

5、1221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进我们引进(ynjn)新的符号来表示新的符号来表示“四四个数分成两对相乘再相减个数分成两对相乘再相减”.1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号(j ho) 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行

6、； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原则：横行竖列原则：横行竖列第11页/共109页第十二页，共109页。二阶行列式的计算二阶行列式的计算(j sun) 11122122aaaa11221221a aa a主对角线主对角线 副对角线副对角线 即：主对角线上两元素即：主对角线上两元素(yun s)(yun s)之积副对角线上两元素之积副对角线上两元素(yun s)(yun s)之积之积 对角线法则对角线法则(fz) 第12页/共109页第十三页，共109页。二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 111221

7、22aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数方程组的系数(xsh)(xsh)行列式行列式) )则上述则上述(shngsh)二元线性方程组的解可表示为二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 第13页/共109页第十四页，共109页。例例1 求解求解(qi ji)二元线性方程组二元线性方程组 1212232121xxxx解解 因为因为(yn wi) (yn wi) 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232

8、D所以所以(suy) (suy) 11142,7DxD222137DxD 第14页/共109页第十五页，共109页。定义定义(dngy) 设有设有9个数排成个数排成3行行3列的数表列的数表原则原则(yunz)：横行：横行竖列竖列引进记号引进记号称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则

9、并不适用！并不适用！第15页/共109页第十六页，共109页。三阶三阶(sn ji)行列式的计算行列式的计算 对角线法则对角线法则(fz) 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：对角线法则只适用注意：对角线法则只适用(shyng)(shyng)于二阶与三阶行列式于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .第16页/共109

10、页第十七页，共109页。12-4-221-34-2D 例例2 2 计算计算(j sun)(j sun)行列式行列式 解解按对角线法则按对角线法则(fz)(fz)，有，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 第17页/共109页第十八页，共109页。方程方程(fngchng)左左端端解解由由 得得2111230.49xx 例例3 3 求解求解(qi ji)(qi ji)方程方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或第18页/共109页第十九页，共109页。利用利用(lyng)(lyng)对角

11、线法则计算下列三阶对角线法则计算下列三阶行列式：行列式：xyxyyxyxxyxy 332()xy 第19页/共109页第二十页，共109页。主要主要(zhyo)(zhyo)内容：内容：一、排列及其逆序数一、排列及其逆序数二、对换的定义二、对换的定义三、对换与排列奇偶性的关系三、对换与排列奇偶性的关系第20页/共109页第二十一页，共109页。引例引例(yn (yn l)l)用用1 1、2 2、3 3三个数字三个数字(shz)(shz)，可以组成多，可以组成多少个没有重复数字少个没有重复数字(shz)(shz)的三位数？的三位数？解解1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位(sh wi

12、)1231个位个位1232 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有6123 一一、排列及其逆序数排列及其逆序数第21页/共109页第二十二页，共109页。问题问题 把把 n 个不同的元素个不同的元素(yun s)排成一列，共有多少种不同的排成一列，共有多少种不同的 排法？排法？定义定义 把把 n 个不同的元素个不同的元素(yun s)排成一列，叫做这排成一列，叫做这 n 个个元素元素(yun s)的全排列的全排列. n 个不同元素个不同元素(yun s)的所有的所有排列的种数，通常用排列的种数，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 显然显然(xinr

13、n) 即即n 个不同的元素一共有个不同的元素一共有n! 种不同的排法种不同的排法.第22页/共109页第二十三页，共109页。所有所有6种不同种不同(b tn)的排法中，只有一的排法中，只有一种排法（种排法（123）中的数字是按从小到大的）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“顺序顺序”，而是，而是“逆序逆序”. 3个不同的元素个不同的元素(yun s)一共有一共有3! =6种不同的排法种不同的排法123，132，213，231，312，321第23页/共10

14、9页第二十四页，共109页。25对于对于(duy)n 个不同的元素，可规定各元素之间的标个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序准次序.n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 当某两个元素当某两个元素(yun s)的先后次序与标准次序不同时，的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素就称这两个元素(yun s)组成一个逆序组成一个逆序.例如例如(lr) 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：3和和1，2和和1也构成逆序也构成逆序.第24页/

15、共109页第二十五页，共109页。定义定义 排列中所有排列中所有(suyu)逆序的总数称为此排列的逆序数逆序的总数称为此排列的逆序数.排列排列 的逆序数的逆序数(xsh)(xsh)通常记为通常记为 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列奇排列(pili)(pili)：逆序数为奇数的排列：逆序数为奇数的排列(pili).(pili).偶排列：偶排列：逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列. .思考题：思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：答：符合标准次序的排列（例如：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数）的逆序数等于零，因而是

16、偶排列等于零，因而是偶排列. .第25页/共109页第二十六页，共109页。计算计算(j sun)排列的逆序数的方法排列的逆序数的方法则此排列则此排列(pili)的逆序数为的逆序数为12ntttt设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，并规定个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序由小到大为标准次序(cx). 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;12np pp1p1p1t2p2

17、p2tnpnpnt第26页/共109页第二十七页，共109页。例例1：求排列求排列(pili) 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)010315t 练习练习(linx)1(linx)1：求排列求排列(pili) 453162 的逆序数的逆序数.9t 解：解：思考思考1 1：设设n阶排列阶排列a1 a2 an-1 an的逆序数为的逆序数为k，求，求n阶排列阶排列an an-1 a2 a1的逆序数？的逆序数？n ntk(1)2 解：解：第27页/共109页第二十八页，共109页。练习：计算下列排列练习：计算下列排列(pili)的逆序数，并讨论其奇偶性的逆序数，并讨论其奇偶性(2 )

18、1(21)2(22)3(23)(1)(1) .kkkkkkk 第28页/共109页第二十九页，共109页。111lmnaabbcb ca定义定义(dngy) (dngy) 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做这种作出新排列的手续叫做(jiozu)(jiozu)对换对换将相邻两个元素对换，叫做将相邻两个元素对换，叫做相邻对换相邻对换例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaabbca cb第29页/共109页第三十页，共109页。备注备注相邻对换是对换的特殊情形相邻对换是对换的特殊情形(qn

19、g xing). (qng xing). 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. . 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. . m 次相邻对换次相邻对换 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相邻对换次相邻对换 m 次相邻对换次相邻对换 111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb cam+1次相邻对换次相邻对换 第30页/共109页第三十一页，共109页。定理定理1 1对换改变对换改变(gibin)(gibin)排列的奇偶

20、性排列的奇偶性. . 证明证明(zhn(zhngmnggmng) )先考虑相邻对换的情形先考虑相邻对换的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 第31页/共109页第三十二页，共109页。11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序数外，其它元素的逆序数(xsh)(xsh)不改变不改变. .,a b第32页/共109页第三十三页，共109页。11 lma baabb11 lmb aaabb11lma

21、baabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 当当 时，时， ， ， . . ab 当当 时，时， ， ， . . ab 因此相邻对换改变因此相邻对换改变(gibin)(gibin)排列的奇偶性排列的奇偶性. . 1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 第33页/共109页第三十四页，共109页。既然相邻对换改变排列既然相邻对换改变排列(pili)(pili)的奇偶性，那么的奇偶性，那么 2m+1次相邻对换次相邻对换因此，一个因此，一个(y )(y )排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变性改变. .111lmnaabbc

22、b ca111 lmnaabbca cb推论推论(tuln) (tuln) 奇排列奇排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为奇数奇数， 偶排列偶排列变成标准排列的对换次数为变成标准排列的对换次数为偶数偶数. . 由定理由定理1 1知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，知，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列( (逆序数为零逆序数为零) )，因此可知推论成立，因此可知推论成立. .证明证明 第34页/共109页第三十五页，共109页。第35页/共109页第三十六页，共109页。第36页/共109页第三十七页，共109页。1 12122121122

23、,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因为数的乘法是可以交换因为数的乘法是可以交换(jiohun)(jiohun)的，所以的，所以 n n 个元素相乘的个元素相乘的次序是可以任意的，即次序是可以任意的，即 每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列每作一次交换，元素的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同时改同时改变变(gibin)(gibin)奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变不变. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第37页/共109页第三十八

24、页，共109页。于是于是(ysh) (ysh) 与与 同时为奇数或同时为偶数同时为奇数或同时为偶数. . 即即 是偶数是偶数(u sh). (u sh). 因为因为(yn wi)(yn wi)对换改变排列的奇偶性，对换改变排列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇也是奇数数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . st s t所以所以 是偶数，是偶数， ss tt ()()sstt()()stst()st ()st 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标排列中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和

25、的奇偶性不变与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .1 12 2,n ni ji ji jaaa设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为第38页/共109页第三十九页，共109页。1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 经过一次对换是如此，经过多次对换还是经过一次对换是如此，经过多次对换还是(hi shi)(hi shi)如此如此. . 所所以，在一系列对换之后有以，在一系列对换之后有第39页/共109页第四十页，共109页。定理定理2

26、n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第40页/共109页第四十一页，共109页。例例1 试判断试判断(pndun) 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否是否(sh fu)都是六阶行列式中的项都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为 4312650122

27、016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.142331425665a a a a a a 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和(341526)(234156)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.324314512566a a a a a a 第41页/共109页第四十二页，共109页。例例2 用行列式的定义用行列式的定义(dngy)计算计算 0001000200100000000nDnn 第42页/共109页第四十三页，共109页。 1221!nnnD

28、n 解解 1,12,21,11 1 1 21 1!tnnnnnnttDaaaannn 12212321122 tnnnnnnn 第43页/共109页第四十四页，共109页。1. 对换对换(du hun)改变排列奇偶性改变排列奇偶性2. 行列式的三种行列式的三种(sn zhn)表示方法表示方法121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第44页/共109页第四十五

29、页，共109页。第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换(du (du hun)hun)1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展行列式按行（列）展开开第45页/共109页第四十六页，共109页。111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律：三阶行列式共有三阶行列式共有6 6项，即项，即

30、3!3!项项每一项都是位于不同行不同列的三个元素每一项都是位于不同行不同列的三个元素(yun s)(yun s)的的乘积乘积每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中 是是1 1、2 2、3 3的某个排列的某个排列. .当当 是偶排列时，对应的项取正号；是偶排列时，对应的项取正号； 当当 是奇排列时，对应的项取负号是奇排列时，对应的项取负号. . 123123pppaaa123p p p123p p p123p p p第46页/共109页第四十七页，共109页。所以所以(suy)(suy)，三阶行列式可以写成，三阶行列式可以写成 123123123()123( 1)

31、t p p ppppp p paaa 其中其中(qzhng) (qzhng) 表示对表示对1 1、2 2、3 3的所有排列求和的所有排列求和. . 123p p p 二阶行列式有类似二阶行列式有类似(li s)(li s)规律规律. .下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形. . 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a第47页/共109页第四十八页，共109页。1. n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项2.每一项都是位于不

32、同行不同列的每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积个元素的乘积3.每一项可以写成每一项可以写成 （正负号除外），其中（正负号除外），其中(qzhng)4. 是是1, 2, , n 的某个排列的某个排列.5.当当 是偶排列时，对应的项取正号；是偶排列时，对应的项取正号；6. 当当 是奇排列时，对应的项取负号是奇排列时，对应的项取负号. 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记简记(jin j)(jin j)作作 ，其中其中 为行列式为

33、行列式D D的的(i, j)(i, j)元元det()ijaija第48页/共109页第四十九页，共109页。思考题：思考题： 成立成立(chngl)吗？吗？答：符号答：符号 可以可以(ky)(ky)有两种理解：有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .11 1 11 11 注意：当注意：当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与绝对，注意不要与绝对值的记号值的记号(j ho)相混淆相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 第49页/共109页第五十页，共109页。1112131422232433

34、33444000000aaaaaaaDaaa 例：例：写出四阶行列式中含有写出四阶行列式中含有(hn yu)(hn yu)因子因子 的项的项. . 2311aa例：例：计算计算(j sun)(j sun)行列式行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 第50页/共109页第五十一页，共109页。解：解：112213344000000000000aaDaa 14232324

35、1000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中(qzhng) (qzhng) 第51页/共109页第五十二页，共109页。111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a a a a a11223344 第52页/共109页第五十三页，共109页。12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四个结论四

36、个结论(jiln)：(1) (1) 对角对角(du jio)(du jio)行列式行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa 第53页/共109页第五十四页，共109页。nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主对角线下侧元素（主对角线下侧元素(yun s)(yun s)都为都为0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主对角线上侧元素（主对角线上侧元素(yun s)(yun s)都为都为0 0）nnaaa2211

37、 第54页/共109页第五十五页，共109页。思考题：用定义思考题：用定义(dngy)计算行列式计算行列式解：用树图分析解：用树图分析(fnx)111 13 33 31 12 23 311222211(2134)1t(2143)2t(2413)3t(2431)4t491223D故故1130230021011210D第55页/共109页第五十六页，共109页。思考题思考题已知已知 ，求，求 的系数的系数(xsh). 1211123111211xxxxxf 3x第56页/共109页第五十七页，共109页。故故 的系数的系数(xsh)为为1.解解含含 的项有两项，即的项有两项，即3x 1211123

38、111211xxxxxf 对应对应(duyng)于于 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3x第57页/共109页第五十八页，共109页。1 12122121122,nnnni ji ji jpppnpnppaaaaaaaaa 因为数的乘法是可以交换的，所以因为数的乘法是可以交换的，所以(suy) n (suy) n 个元素相乘的个元素相乘的次序是可以任意的，即次序是可以任意的，即 每作一次交换，元素每作一次交换

39、，元素(yun s)(yun s)的行标与列标所成的排列的行标与列标所成的排列 与与 都同时作一次对换，即都同时作一次对换，即 与与 同时改同时改变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变变奇偶性，但是这两个排列的逆序数之和的奇偶性不变. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii第58页/共109页第五十九页，共109页。于是于是 与与 同时同时(tngsh)(tngsh)为奇数或同时为奇数或同时(tngsh)(tngsh)为偶数为偶数. . 即即 是偶数是偶数(u sh). (u sh). 因为对换因为对换(du hun)(du hun)改变排列的奇偶性，改变排

40、列的奇偶性， 是奇数，是奇数， 也是奇数也是奇数. . 设对换前行标排列的逆序数为设对换前行标排列的逆序数为 ，列标排列的逆序数为，列标排列的逆序数为 . . st s t所以所以 是偶数，是偶数， ss tt ()()sstt()()stst()st ()st 因此，交换因此，交换 中任意两个元素的位置后，其行标中任意两个元素的位置后，其行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性不变. .1 12 2,n ni ji ji jaaa设经过一次对换后行标排列的逆序数为设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为第59页/共109页第

41、六十页，共109页。1 21 21212()()(12)()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 经过一次对换是如此，经过多次对换还是经过一次对换是如此，经过多次对换还是(hi shi)(hi shi)如如此此. . 所以，在一系列对换之后有所以，在一系列对换之后有第60页/共109页第六十一页，共109页。定理定理2 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理3 n 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)n

42、nn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第61页/共109页第六十二页，共109页。例例1 试判断试判断(pndun) 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否是否(sh fu)都是六阶行列式中的项都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为 4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.142331425665a a a a a a 行标和列标的逆序数之和行标和列标的逆序数之和(341526)(23415

43、6)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.324314512566a a a a a a 第62页/共109页第六十三页，共109页。例例2 用行列式的定义用行列式的定义(dngy)计算计算 0001000200100000000nDnn 第63页/共109页第六十四页，共109页。 1221!nnnDn 解解 tnnnnttnnDaaaannn1,2,1 1 ,121 1 1 21 1! tnnnnnnn 122123211 22 第64页/共109页第六十五页，共109页。 行列式的三种表示行列式的三种表示(biosh

44、)方法方法nnnt p ppppnpp ppDaaa121212()12( 1) 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 第65页/共109页第六十六页，共109页。第第1 1章章 行列式行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1.2 1.2 全排列和对换全排列和对换1.3 n1.3 n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)(dngy)1.4 1.4 行列式的性质行列式的性质1.5 1.5 行列式按行（列）展开行

45、列式按行（列）展开第66页/共109页第六十七页，共109页。111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 称为称为(chn wi)(chn wi)行列式行列式 的转置行列式的转置行列式. . TDD若记若记 ，则，则 .det(), det()TijijDaDb ijjiba 记记性质性质(xngzh)1 (xngzh)1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等, ,即即 . .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 第67页/共109页第六十八页，共109页。121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp

46、ppDbbb 性质性质(xngzh)1 (xngzh)1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .证明证明(zhngmng)(zhngmng)根据根据(gnj)(gnj)行列式的定义，有行列式的定义，有若记若记 ，则，则det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn 1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp naaa D 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立. .第68页/共109页第六十九页，共109页。性质性质(xngz

47、h)2 (xngzh)2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行行列式变号列式变号. .验证验证(ynzhng)(ynzhng)于是于是(ysh)(ysh)175662358175358662196 196 175175662358358662 推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 . DD 0D 备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 . .ji()ijijrr cc第69页/共109页第七十页，共109页。

48、性质性质(xngzh)3 (xngzh)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证验证(ynzhng)(ynzhng)kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我们我们(w men)(w men)以三阶行列式为例以三阶行列式为例. . 记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 . .ki()iirk ck第70页

49、/共109页第七十一页，共109页。1112131212223313233kkaaaDaaaaaak kkkaaaaaaaaaakaaaaaaaakk112233122331132132132231122133112332()()()()()()a a aa a aa a aa a aa a aa aka112233122331132132132231122133112332()Dk 推论推论 行列式的某一行（列）中所有行列式的某一行（列）中所有(suyu)元素的公因子可元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面备注备注(bizh)(bizh)：第：第 行（列）提出公因子行（列

50、）提出公因子 ，记作，记作 . .ki()iirk ck第71页/共109页第七十二页，共109页。kakakakaaaaaaaaaaaaa21222324311112132333111214331414 验证验证(ynzhng)(ynzhng)我们我们(w men)(w men)以以4 4阶行列式为例阶行列式为例. . 性质性质(xngzh)4 (xngzh)4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零行列式为零aaaaakaaaaaaaaaaa21222324311111121312323313134414 k 00 第72页/共109页第

51、七十三页，共109页。性质性质5 5 若行列式的某一列若行列式的某一列(y li)(y li)（行）的元素都是两数之和（行）的元素都是两数之和, ,例如第例如第i i行的元素都是两数之和：行的元素都是两数之和：niiiiininnnnnnaaaaaaaaaDaaaa 111211122122 则则nniiiniiinnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa 11121111211212122122 第73页/共109页第七十四页，共109页。121222221113212331332323aaDaaabababaa pt p p pppppppaaab1231232312

52、()2321()( 1) pt p p ptpp p pppppp p pp p paaabaa123123131312312322()()131223( 1)( 1)111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa验证验证(ynzhng)(ynzhng)我们我们(w men)(w men)以三阶行列式为例以三阶行列式为例. . 第74页/共109页第七十五页，共109页。性质性质6 6 把行列式的某一列（行）的各元素把行列式的某一列（行）的各元素(yun s)(yun s)乘以同一个倍数乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列(

53、(行行) )对应的元素对应的元素(yun s)(yun s)上去，行列式不变上去，行列式不变则则1.DD 验证验证(ynzhng)(ynzhng)122211132123313323,aaDaaaaaaa 我们我们(w men)(w men)以三阶行列式为例以三阶行列式为例. . 记记 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 . .kiijijrkrckc(). j第75页/共109页第七十六页，共109页。例例2101044614753124025973

54、313211 D计算计算(j sun)行列式常用方法：利用运算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值3 ()ijijrr cc()iirk ckijijrkrckc() 第76页/共109页第七十七页，共109页。2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr第77页/共109页第七十八页，共109页。2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr

55、 2 3 122rr 4 第78页/共109页第七十九页，共109页。42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 第79页/共109页第八十页，共109页。2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 第80页/共109页第八十一页，共109页。6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 第81页/共109页第八十二页

56、，共109页。例例2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2第82页/共109页第八十三页，共109页。 11(1)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 第83页/共109页第八十四页，共109页。例例3 设设 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbb

57、bbD .21DDD 证明证明(zhngmng) 第84页/共109页第八十五页，共109页。证明证明(zhngmng)1111110;kkkkkpDpppp对对 作运算作运算(yn sun) (yn sun) ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 1Dijrkr 1D设为设为对对 作运算作运算(yn sun) (yn sun) ，把，把 化为下三角形行列式化为下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp设为设为第85页/共109页第八十六页，共109页。对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算(yn sun) ，再对后，再对后 n 列作运算列作运算(y

58、n sun) ，把把 D 化为下三角形行列式化为下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故第86页/共109页第八十七页，共109页。 ( (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位(dwi), (dwi), 凡是对行成立的性质对列也同样成立凡是对行成立的性质对列也同样成立).). 计算行列式常用计算行列式常用(chn yn)(chn yn)方法：方法：(1)(1)利利用定义用定义;(2);(2)利用性质把行列式化为上三角形行利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行

59、列式的值列式，从而算得行列式的值行列式的行列式的6 6个性质个性质第87页/共109页第八十八页，共109页。对角线法则只适用对角线法则只适用(shyng)(shyng)于二阶与三阶行于二阶与三阶行列式列式. .本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式列式. .第88页/共109页第八十九页，共109页。122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa a

60、aaaaa aaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132结论结论 三阶行列式可以三阶行列式可以(ky)(ky)用二阶行列式表示用二阶行列式表示. .思考题思考题 任意一个行列式是否任意一个行列式是否(sh fu)(sh fu)都可以用较低阶的行都可以用较低阶的行列式表示？列式表示？第89页/共109页第九十页，共109页。例如例如(lr) 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把

61、称为元素称为元素(yun s) (yun s) 的代数余子式的代数余子式 1ijijijAM ija在在n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在所在(suzi)的第的第 行和第行和第 列划后，留下来的列划后，留下来的n1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，的余子式，记作记作 . ijijMijaija结论结论 因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式. .第90页/共109页第九十一页，共109页。引理引理 一个一个n 阶行列

62、式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素行所有元素(yun s)除除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如(lr) 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija第91页/共109页第九十二页，共109页。11212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有111

63、1.Da M 又又 1 11111111,AMM 从而从而(cng r)1111.Da A 下面再讨论一般下面再讨论一般(ybn)情形情形.分析分析(fnx) 当当 位于第位于第1 1行第行第1 1列时列时, ,ija（根据（根据P.14例例10的结论）的结论）第92页/共109页第九十三页，共109页。11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我们我们(w men)(w men)以以4 4阶行列式为例阶行列式为例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1211121314212223

64、2441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考题：能否以思考题：能否以 代替代替(dit)(dit)上述两次行变换？上述两次行变换？13rr第93页/共109页第九十四页，共109页。231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考题：能否以思考题：能否以 代替上述代替上述(shngsh)(shngsh)两次行变换？

65、两次行变换？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr第94页/共109页第九十五页，共109页。1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 342312141112132421222344434(3 1)331424000( 1)( 1)ccccccaaaaaaaaaaaaa 14111234(13 1)32421222344414243(4 1)000( 1)(

66、 1)aaaaaaaaaaaaa 3 4 2( 1) 3 434( 1)a 3434a A 被调换被调换(diohun)到第到第1行，第行，第1列列34a11121321222341424334aaaaaaaaaa34M11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa第95页/共109页第九十六页，共109页。定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应(duyng)的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 第96页/共109页第九十七页，共109页。111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa