压电柔性悬臂板的多时滞主动控制

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1、压电柔性悬臂板的多时滞主动控制蔡国平，陈龙祥（上海交通大学工程力学系,上海200240）摘 要：本文对柔性悬臂板主动控制中的多时滞问题进行研究，其中控制律采用离散最优控制方法进行设计，作动器采用压电形式。首先得岀含有多时滞项的控制模态状态方程，然后 对方程进行离散化和一种特殊的状态变量增广，得到形式上不含有时滞项的标准差分方程。连续形式的性能指标函数也通过离散化转换成增广状态变量的函数。最优控制律可针对该增广形式的标准状态方程进行设计。在所得出的时滞控制律中， 除了包含有当前步的状态反馈，还包含有前若干步控制的线性组合。仿真结果显示，时滞有可能引起控制系统的失稳，而本 文中的时滞处理方法能够取

2、得良好的控制效果。关键词：柔性悬臂板；多时滞；离散最优控制；压电作动器1引言现实工程中柔性构件大量存在，柔性构件的振动控制近几十年来得到 了人们的广泛关注，并有许多成果。柔性构件的振动控制大致可分为两大类： 被动控制，主动控制。被动控制无需外界能量输入，通过在柔性构件上粘贴 阻尼材料或安置阻尼器，以达到耗散振动能量的目的。该控制策略简单易行， 便于维护，对高频振动控制效果较好，但是对低频控制欠佳。而主动控制是 通过向被控系统中输入能量，以获得期望的阻尼、刚度特性，达到对振动主 动调节和镇定的目的。主动控制方法由于具有控制效果基本不依赖于外部扰 动的特性，并且控制效果明显优于被动控制，因此该控制

3、策略在柔性构件的 振动控制中得到了广泛应用。然而主动控制系统中不可避免地存在着时滞问 题，传感器信号的采集和传输、控制器的计算、作动器的作动过程等，都会 导致最后作用于结构的控制力产生时滞。时滞存在于整个控制时间域内，控 制效率的恶化会被逐渐放大，最终导致系统失稳 。柔性构件由于规模庞大或结构复杂，往往需要多个作动器联合作动以对 其振动进行控制，各个作动器由于性能或在线计算等原因有可能存在不同的 时滞量。文献2对柔性悬臂板的主动控制进行了理论和实验研究，其中传感 器和作动器采用压电形式，取得了很好的控制效果。文献 3对单时滞柔性悬 臂梁的主动控制进行了研究，该控制律具有全程状态记忆功能，能够取

4、得良 好的控制效果。本文采用压电作动器对柔性悬臂板的多时滞主动控制进行研 究，研究方法可推广到复杂柔性结构系统。2运动方程考虑柔性悬臂薄板的自由振动控制问题，见图1。采用Kirchhoff-Love假设，无阻尼板的自由振动方程为2:.4. .4. .4. 2Dp（2. ）w（x,y,t）（ 1）其中，w（x,y,t）为横向振动位移；Dp二Eph/12（1-. 2）为抗弯刚度，Ep为杨 氏模量，p为泊松比，h为板厚度；为板材料密度。柔性板上的压电作动器所产生的弯矩mx、my和扭矩mxy分别表示为2:国家自然科学基金（10472065）和教育部重点项目（107043 ）资助项目mx二 my 二 C

5、o ；peH(X-Xi n)-H(X- x2n )H(y-yin ) - H(y-y2 n)( 2)mxy =C0 ；e6【H(X Xin) - H(x - X2n) H (y - yin) - H(y - y2n)(3)其中，H ()为单位Heaviside阶跃函数；(x1n,y1n)和(x2n, y2n)分别为压电片左 下角和右上角的坐标；:Pe = d31nVn /han和；Pe6二ds6nVn /分别为第n个压电作动器的无约束弯曲应变和剪应变，dam和d36n分别为第门片压电作动器的弯 曲应变常数和剪应变常数，Vn为第n片压电片上所加的控制输入电压，han为压电作动器的厚度；co1为薄

6、板和压电作动器的物理参数有关的机电耦合系 数，可以表示为2:22(1 +Vpen)EphpPn3(1- p)1 p - (1 pen)PnPn23han hpE pen(1 - i p )( 2hphan )Ep(1i ：邛2侃 h；n)其中，Epen和 pen分别为压电作动器的杨氏模量和泊松比， 二维平板的弯矩可以表示为：_ 2_ 2_2_ 2d wd w6 w& wMx =-Dp(p 2), My =-Dp(才.p “ Mexdycydxxyhp为板的半厚度。一 2w、p)Dp(E(4)并考虑板的忽略压电材料引起的质量和刚度效应。采用经典薄板理论， 材料阻尼，薄板运动方程可以写为：2_ 2

7、_ 2:(M X - mx) (M xy _mxy) J (My _my)w222Csph 2jx;x :y； y:t；:t进行控制设计时，使用Na个压电作动器对板进行控制，并且各个压电作动器中存在不同的时滞量-(i =1,，Na)。将(2)、(3)和(4)式代入(5)式，并考虑压电不同压电作动器中存在不同的时滞量，此时带有时滞的系统动力学方程可表示为：i di+ CsW + Pphw+E 丿CO(x XiJ 6 (x X2i) H (y 切)H (y y2i) haiW=0(5)Dp 4wNad iCOH(x xii) H(x X2i)、 (y yij 、 (y y、) haid 12C0

8、36 (x-xii) -、(x-X2i)、(y-yii)-、(y-y2i) Vi(t- i) = O (6) hai其中，Cs为结构阻尼算子，；：2/：x2 2C：2/;x:y) ；：2 /；:y2，()为Dirac 函数，(百，yii)和(X2i, y2i)分别为第i个压电作动器左下角和右上角的坐标，V 为第i个压电作动器中的控制输入电压。将板的横向位移w(x, y,t)展开成模态叠加形式，可表达式为：w(X, y,t)Wmn(X,y) mn(t)( 7)m廿n T其中，Wmn表示板的第m、n阶模态试函数，mn表示第m、n阶模态坐标。 由于悬臂板模态函数没有解析解，因此采用模态试函数的方法。

9、板的第m、 n阶模态函数可以分解为X方向的悬臂梁和y方向的自由梁的模态函数Xm(x) 和 Yn(y)的乘积，即 Wmn(x,y)二 Xm(x)Yn(y)。考虑使用Na个压电作动器对板的前Na阶模态进行控制，则mn = Na。利 用模态函数的正交性，可以得到控制模态动力学方程：.Na(t) C(t) K(t)二 H iVi(t - i)(8)i=1其中，(t) “ 11,，mF , C= diag(2 n n/ ,2 m mn),K 二diag(；，爲),H i 二 M piezo；,，piezomT , M 为模态质量阵， 压电作动器系数piezon由下式给出：d iyd ipiezom VC

10、0 严Xm(X2i) Xm(Xii) y2iYn(y)dy C0严Yn(y2i) Yn (yii) haiy1ihaiXd ix2iXm(x)dX 2C0 严Xm(X2i) -Xm(X1i)Yn(y2i) -Yn(y1i)( 9)%hai3多时滞控制模态方程的离散化和标准化假设时滞量-i可表示成如下形式:(10)其中，T为数据采样周期；li为任意正整数；0乞mi : T O本文仅讨论m0， 即时滞量为采样周期整数倍的情况。对于 mi =0的情况，可以参考文献3 O将方程(8)写为状态方程的形式，有：.NaZ(t)二 AZ(t) BiVi(t - i)1I 1-C廿+-(M其中，Z (t)=(t

11、L采用零阶保持器，即：Vj(t)=Vj(k)，kT Et ：(k 1)T则方程(11)可离散为3:，aJ0：-K，BiJ0lH i 一NaZ(k 1) = F Z(k) GjVj(k -h)(11)(12)(13)，GieA d. Bi，i =1, ,Na o其中，F= e at对方程(13)进行如下状态变量增广：Z2Na41(k)=V1(k-h)(14)i4a并定义新的状态变量:TZ (k) “ Z (k), Z2Na l(k), Z Na (k)2Nai J.则方程(13)可转变成如下标准离散状态方程形式：Z (k 1) = FZ (k) GV (k)其中：V (k) =Vl(k), ,V

12、Na(k)T，F = F 0, F1, F Na，G = Gl, ,GNa上式中:Fl0F o =00 JG.0001 0F1 =0010003333000Gi000-*.00-01-F i =:*00-| 00- 00-iGi（2Na ”Tj） =1（其余各项全为零）j 二4多时滞离散最优控制01（15）（16）（17）（i“），（18）目标函数：TtJ 二 0 Z T (t)Q1 Z (t) V T(t) Q 2V (t)dt( 19)为了保证系统具有令人满意的连续动态响应性能，选取如下连续二次型其中，Q1为非负定对称阵，Q2为正定对称阵。对性能指标函数进行离散化 并转成标准形式，有3:o

13、d _J = ZT(k)(?1 Z(k) V T(k)Q2V (k)k d(20)-(1Q01Q1Q1100Q0iQ1i00Q0NaQ1Na0【000000009-99-99- - - Q?=Q0iQi10Qii0QiNa0，0000000aa*3333- - -QnQn 10Qn i0Qn n0aaaa a1_ 0000000 一上式中：其中:(2 二 Q 2T(21) T T -Q =仁 FTgF (t)dtq =J0 FT(t)QGi(t)dtB,i=1广,Na(22)Qj = BT f0 Gn(t)QiGn(t)dtBj, i,j =1,，N其中，Gn(t)二;eA d 。上式中Q、Q

14、oi、Qj以及F (t)、G/t)的迭代计算 见文献3。根据离散最优控制设计方法，可得控制律为3:V (k) - -LZ(k)一 L Z (k)-L2(k-IJ-LWk-1)-L i 丄 Vi(k-h) Z32j 1Li (k-1)-LNaX VNa(k1也)一 -L NaVNa(k0X |j 1X |j 27 U 1j 1j 1j 1(23)其中，Lp L2、LNa 是L中相应维数的分块矩阵。L的递推过程可参考j 1文献3。由公式(23)可看出，在每一步的控制实现中，不但包含有当前步 的状态反馈，而且包含有前若干步控制的线性组合。上式的控制律为模态坐 标的函数，实际中应由所测量的物理坐标中提

15、取出模态坐标，具体提取方法 可参考文献3。5数值仿真为显示文中所给方法的有效性，在此进行仿真验算。悬臂板采用铝合金 材料，尺寸为 600mm 300mm 1.5mm，弹性模量 Ep =69GPa，材料密度 订=2.7 103kg/m3，材料的泊0.3m0.6m图1压电作动器板上的位置松比为p =0.3。与文献2中相 同，压电作动器位置及粘贴如图 1所示。采用两组压电作动器对 板的前2阶模态进行控制，并且 每组压电作动器中使用同样大 小的控制电压。压电作动器尺寸 为 60mm 15mm 0.5mm，弹性 模量Epe二69GPa，材料的泊松 比为pe二0.3，压电作动器的弯 曲应变常数和剪应变常数

16、d31 =1.75 1040 m/V和d36 =0。其中一组位于悬臂 板的根部，正面和反面各两片，对称粘贴，其中心的坐标分别为 (0.043m, 0.1m)和(0.043m, 0.2m)，时滞量用表示；另一组压电片中心坐标 为(0.55m, 0.15m)，共两片，沿板平面反对称粘贴，其中在板正面的压电片 与x轴成45，反面一片与x轴成135 ，时滞量用2表示。梁的各阶模态阻尼比为i = 0.005。计算中数据采样周期取为0.01s。假定梁自由端存在初始条件 w（0.6,0,0） =0.02m，w（0.6,0,0） = 0。压电陶瓷一般每毫米可以承受高达2000伏的电压，但只有在外加电场强 度不

17、超过每毫米300伏的时候，压电陶瓷的电场强度才和应变关系体现为线性 关系。本算例中假定压电作动器最大工作电压为 _150V o通过仿真计算对以下几种情况进行比较：（1）无时滞控制设计；（2） 系统存在时滞量0.10s、匕=0.15s，但是对时滞不进行处理；（3）系统存在时滞量 0.10s、J = 0.15s，采用本文的时滞处理方法。选取增益 矩阵为 Q =diag（100, 100, 1, 1），Q2=diag（10，10J） o图2为悬臂板右下端（0.6m,0）处的响应时程和压电电压时程。可看出，女口 果对时滞不进行处理，控制系统出现发散；使用本文中的时滞控制方法，板 的响应可以得到抑制，可

18、以取得与无时滞控制设计同样的结果。另外仿真计 算可以显示出，当所有作动器中存在同样的时滞量，即r二匕时，如果对时滞不进行处理，控制系统将在= 0.02s出现发散。0.03m a P Di-o.301002468，Time（s）有时滞，本文方法r =0.10s,二= 0.15s有控制，无时滞 无控制 有控制，不考虑时滞 OLyLeagLUOVO846Time(s)1800-180468Time(s)图2板右下端响应和压电作动器电压时程:10（a）板右下端响应，（b）作动器1电压，（c）作动器2电压6结论本文对柔性悬臂板主动控制中的多时滞问题进行了研究，其中控制律采 用离散最优控制方法进行设计，作

19、动器采用压电形式。通过仿真计算得出如 下结论：（1）主动控制系统中的时滞问题是一个值得关注的问题，时滞有可 能引起控制系统失稳；（2）当系统控制中存在多个不同时滞量时，本文中的 多时滞控制律能够取得良好的控制效果。参考文献1 胡海岩.振动主动控制中的时滞动力学问题.振动工程学报，1997,10(3): 273-2792 Qiu ZC, Zhang XM, Wu HX etc. Optimal placement and active vibration control for piezoelectric smartflexible cantilever pate. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301:521-5433 蔡国平，洪嘉振.考虑时滞影响的柔性悬臂梁的离散最优控制.航空学报，2003, 24(4): 306-311