抽象函数的对称性奇偶性周期性总结习题

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念：抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数 符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值, 特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的 一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起 来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想 象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于f(x)定义域内的每一个 X,都存在非零常数 T,使得f(x T) f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k

2、Z,k 0)也是f(x)的周期，所有周期中的最小正数叫f (x)的最小正周期。分段函数的周期：设y f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y f(x),x a,b ,T b a。把y f(x)沿x轴平移KT K(b a)个单位即按向量a (kT,0)平移，即得yf(x)在其他周期的图像：y f (x kT),x kT a, kT b。f(x)f(x)f (x kT)x a,bx kT a,kT b2、奇偶函数：设 y f (x), x a,b 或x b, a a, b若f ( x) f(x)，则称yf(x)为奇函数；若f ( x)f(x)则称yf (x)为偶函数。分段函数的奇偶性3、

3、函数的对称性：(1)中心对称即点对称：点A(x, y)与B(2a x,2b y)关于点(a, b)对称；点A(a x,b y)与 B(a x, b y)关于(a,b)对称；函数yf(x)与2b y f (2a x)关于点(a,b)成中心对称；函数b y f (a x)与b y f (a x)关于点(a,b)成中心对称; 函数F (x, y) 0与F(2a x,2b y) 0关于点(a,b)成中心对称。(2)轴对称：对称轴方程为：Ax By C 0。/ /、 2A(Ax By C) 2B(Ax By C)、辛工古点 A(x, y)与 B(x ,y ) B(x 22, y 220 关于直A2 B2

4、A2 B2线Ax By C 0成轴对称;函数 y f(x)与y 2B(Ax By? C) f(x 2A(A： By2 O)关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。 F(x,y) 0与F(x 2A(AX By2 C),y 2B(AX By2 C) 0关于直线 A2 B2A2 B2Ax By C 0成轴对称。函数对称性的几个重要结论(一)函数y f(x)图象本身的对称性(自身对称)若 f(x a) f (x b),则 f (x)具有周期性；若 f(a x) f (b x),则 f(x) 具有对称性：”内同表示周期性，内反表示对称性”。1、f (a x)f (b x)yf(x)图象

5、关h直线x(a x) (b x)a b对称22推论1： f (a x) f (a x) y f (x)的图象关于直线 x a对称推论2、f (x) f (2a x) yf(x)的图象关于直线 x a对称推论3、f ( x) f(2a x) y f(x)的图象关于直线 x a对称.一.一 a b 2、 f(a x) f (b x) 2c yf(x)的图象关于点 eab,c)对称2推论1、f (a x) f (a x) 2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) f (2a x) 2byf (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f ( x) f(2a x) 2byf (x)的

6、图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y*)与丫f ( x)图象关于Y轴对称2、奇函数y”*)与丫f ( x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与yf(x)图象关于X轴对称4、互为反函数y f(x)与函数y f 1(x)图象关于直线y x对称一，a、， 一， ba,5.函数y f (a x)与y f (b x)图象关于直线x y对称推论1:函数yf (a x)与y f (a x)图象关于直线x= a对称推论2:函数yf(x)与y f (2a x)图象关于直线x a对称推论3:函数y f ( x)与y f (2a x

7、)图象关于直线x a对称抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质1若函数y= f(x)关于直线x = a轴对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a + x) = f(a x) (2) f(2a x) = f(x)(3) f(2a + x) = f( x)性质2若函数y= f(x)关于点(a, 0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：(1) f(a + x) = f(a x) (2) f(2a x) = f(x) (3) f(2a + x) = f( x)易知，y = f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1 (或2)当a= 0时的特例。2、复合函数的奇偶性定义1、若对于定义域内的任一

8、变量x,均有fg(x)=fg(x),则复数函 数y=fg(x)为偶函数。定义2、若对于定义域内的任一变量x,均有fg(x) = fg(x),则复合 函数y = fg(x)为奇函数。说明：(1)复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg( x) = fg(x)而不是 f g(x) =fg(x), 复合函数 y = fg(x)为奇函数，则 fg( x) = fg(x)而不是 f g(x)=一 fg(x) 。(2)两个特例：y = f(x+ a)为偶函数，则 f(x+ a) = f( x+a)； y = f(x + a)为 奇函数，则 f(x + a) = f(a + x)(3) y= f(x + a)

9、为偶(或奇)函数，等价于单层函数y = f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点( a， 0)中心对称) 3、复合函数的对称性性质3复合函数y= *2+乂)与丫 = 8乂)关于直线x= (b a) /2轴对称性质4、复合函数y= *2+乂)与y= f(bx)关于点(b a) /2, 0)中心对称推论1、复合函数y = f(a + x)与y=f(ax)关于y轴轴对称推论2、复合函数丫 = *2 + 乂)与y= f(a x)关于原点中心对称4、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y = f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y = f(x)是周期函数，且21a电它的一个周期。 f

10、(x + a) = f(x a) f(x + a)= f(x) f(x + a) = 1/f(x) f(x + a) = 1/f(x)5、函数的对称性与周期性性质5若函数y= f(x)同时关于直线x = a与x = b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 2|a b|性质6、若函数v= f(x)同时关于点(a, 0)与点(b, 0)中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T = 2|a b|性质7、若函数y = f(x)既关于点(a, 0)中心对称，又关于直线x = b轴对称, 则函数f(x)必为周期函数，且T = 4|a b|6、函数对称性的应用(1)若 y f (x)关于点(h,k

11、)对称，则 x x/ 2h,y y/ 2k ,即f(x) f(x/)f (x) f(2h x) 2kf(xi) f(x2)f(xn) f (2h xn) f(2h xni)f (2h xi) 2nk(2)例题1、 f(x).,1 1.,关于点(二1)对称:f(x)f (1 x) 1;4x 1f(x) 3k3、f(x a) f (x)y f(x)的周期为T 2a2x 1 关于(0,1)对称：f (x) f ( x)f (x)R,x 0)关于(1)对称：f (x) f(3 1x 12 2x2、奇函数的图像关于原点(0, 0)对称：f(x) f( x) 0。3、若f(x) f (2a x)或f(a

12、x) f (a x),则y f(x)的图像关于直线x a对称。设f(x) 0有n个不同的实数根，则x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2a xn) na.22(当 n 2k 1时，必有 x1 2a x1,x1a)(四)常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、f (x T) f (x)( T 0) y f(x)的周期为T, kT(k Z )也是函数的周期 2、 f (x a) f (x b) y f(x)的周期为 T b a4、f(x a)y f (x)的周期为T 2a5、 f (x a)6、 f(x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 2ay f(x)的周

13、期为T 3a7、 f (x a)1f(x) 1y f(x)的周期为T 2a8、 f (x a)1 f(x)1 f(x)y f(x)的周期为T 4a9、 f(x 2a)f (x a) f(x)y f (x)的周期为T 6a10、若 p Qf(px) f (px -2p),则T -p.11、yf(x)有两条对称轴x a和x b (b a) y f(x)周期T 2(b a)推论：偶函数 y f(x)满足f(a x) f (a x) y f(x)周期T 2a12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (b a) y f(x)周期 T 2(b a)推论：奇函数y f(x)满足f(a x) f

14、(a x) y f(x)周期T 4a13、y f(x)有一条对称轴x a和一个对称中心(b,0) (b a) f(x)的T 4(b a)四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1 .求函数值例1.(1996年高考题)设(刈是(，)上的奇函数，f(2 x)f(x)，当0 x 1时，f(x) x ,则 f (7.5)等于()(A) ；(B) ；(C) ；(D).例2. ( 1989年北京市中学生数学竞赛题)已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f (x 2

15、)1 f (x)1 f(x), f (1) 2 E,求 f (1989)的值.f (1989) 33 2。2、比较函数值大小1例3.若f(x)(x R)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x) x1998一98101104-f () f(7V)、f ()的大小.191715解： f(x)(x R)是以2为周期的偶函数，又1f(x) x礴在0,1上是增函数，且c11614,01,1719153、求函数解析式14101吟)即聿f(10475)例4. ( 1989年高考题)设f(x)是定义在区间()上且以2为周期的函数，对k Z ,用Ik表示区间(2k解析式.解：设 x (2k 1,2k 1),

16、2x I0时，有 f(x) x ,1,2k 1),已知当x I。时,2k 1 x 2k 11由 1 x 2k 1 得 f(x2f (x) x2.求 f (x)在 Ik 上的x 2k 1_22k) (x 2k)f (x)是以2为周期的函数,f(x 2k) f (x), f (x) (x 2k)2.例5 .设f(x)是定义在(，)上以2为周期的周期函数，且 f(x)是偶函数，在区2间 2,3 上，f (x)2(x 3)4.求 x 1,2 时，f(x)的解析式.解：当 x 3, 2 ,即 x 2,3 ,2_ 2f (x) f( x) 2( x 3)42(x 3)4又f(x)是以2为周期的周期函数，于

17、是当x 1,2 ,即 3x42 时,有 f(x)f(x 4)一一一 2f(x)2 (x 4) 3422(x 1)2 4(1 x 2).f (x)2(x 1)2 4(1 x 2).4、判断函数奇偶性例6.已知f(x)的周期为4,且等式f (2 x)f (2 x)对任意x R均成立,判断函数f(x)的奇偶性解：由f (x)的周期为4,得f (x)f(4 x),由 f(2 x) f(2 x)得f( x) f (4 x) , f( x) f (x)，故 f(x)为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2 x) f (2 x) , f (7 x)f (7 x)且

18、f(0) 0,判断函数f(x)图象在区间 30,30上与x轴至少有多少个交点解：由题设知函数 f(x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间 0,10上，f (0) 0, f(4)f(2 2)f(2 2)f(0) 0且f(x)不能恒为零，故f (x)图象与x轴至少有2个交点.而区间 30,30有6个周期，故在闭区间 30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交与 八、.6、在数列中的应用,求数列的通项公式，并计算)8.在数列 an中，aJ3,anan 1 , (nan 12)a1a5a9a1997 -分析：此题的思路与例 2思路类似解：令a

19、1 tg1a11a1tg1 tga31 a21 a21 tg(4)-tg(21 tg(4)an 1 tg(n 1) 4，于是anan 11 an 1tg不难用归纳法证明数列的通项为:an(n 1); 4),且以4为周期.于是有1 , 5, 9 1997是以4为公差的等差数列,a1a5a9a1997 ,由 1997 1 (n 1) 4 得总项数为 500项，a1 a5 a9a1997500 a1500 3.7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可9292 c 092 c191c 902 c 91角

20、牛： 92(91 1) C 92 91C92 91C 92 91 C 92 91 19292 (7 13 1)92 C；2(7 13)92 C92(7 13)91C.92)(7 13)2C：；(7 13) 1因为展开式中前 92项中均有7这个因子，最后一项为 1,即为余数，92故92天为星期四.8、复数中的应用例10.(上海市1994年高考题)设z 3i(i是虚数单位),则满足等式zn z, 22且大于1的正整数n中最小的是(A) 3 ;(B) 4;(C) 6;(D) 7.1 3分析：运用z Ji方哥的周期性求值即可. 22解： zn z, z(zn 1 1) 0zn 1 1 ,z3 1, n

21、 1必须是30勺倍数，即n 1 3k(k N),n 3k 1(k N).k 1时,n最小，(n)min 4.故选择(B)9、解“立几”题例一A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1 A1D1，黑蚁爬行的路线是ABBB1.它们都遵循如下规则：所爬行的第i 2段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线(其中i N).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是(A) 1;(B) V2 ; (C) V3 ;(D) 0.解：依条件列出白蚁的路线 AA1 A1D1 D1cl C1C CBBA AA1

22、，立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期1990=6 331 4,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是 近.例题与应用例 1: f(x)是 R 上的奇函数 f(x尸一f(x+4) , xC0, 2时 f(x)=x ,求 f(2007)的值例2:已知f(x)是定义在 R上的函数,且满足 f(x+2)1 f(x)=1+f(x) , f(1)=2 ,求f(2009) 的值。故 f(2009)= f(251 x8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定义在R上的偶

23、函数，f(x尸f(4-x),且当x 2,0时，f(x)= 2x+1,则当x 4,6时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在 R上的函数，且满足 f(x+999)=- , f(999+x)=f(999 -x),f(x)试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x),且当x 2,0时，f(x)是减函数,求证当x 4,6时f(x)为增函数例 6:例)满足 f(x) =-f(6-x) , f(x)=例-x),若 f(a) =-f(2000) , a5, 9且 f(x)在5, 9上 单调.求a的值.例 7：已知 f(x)是定义在 R上的函数，f(x)=

24、 f(4 -x), f(7+x)= f(7 x),f(0)=0,求在区间 1000, 1000上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2, x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故 f(x+10)=f(x) ，f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0即在区间(0, 10上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，、一，一，- c 2000 一因此万程f(x)=0在区间 1000, 1000上至少有1 + 2 =401个根.10例1、函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y= f(x+4)与y=f(6

25、x)的图象之间(D )A.关于直线x = 5对称B.关于直线x=1对称C.关于点(5, 0)对称D.关于点(1,0)对称解：据复合函数的对称性知函数y= f(x+4)与y=f(6 x)之间关于点(6 4) Z2, 0)即(1, 0)中心对称，故选Do (原卷错选为C)例2、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，证明f(x)是周期函数。(2001年理工类第22题)例 3、设 f(x)是1 8, +2 上的奇函数，f(x+2)= f(x),当 00x0时 f(x) =x,则f等于()(1996年理工类第15题)例4、设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10 + x) = f(1

26、0 x), f(20x)= -f(20 + x),则 f(x)是(C )A .偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数六、巩固练习1、函数y=f(x)是定义在实数集 R上的函数，那么 y= 仅+ 4)与丫 =f(6 x)的图象()。A.关于直线x=5对称 B.关于直线x=1对称C.关于点(5, 0)对称 D.关于点(1,0)对称2、设 f(x)是(一8, 十 oo)上的奇函数，f(x + 2) = f(x),当 0WxW时， f(x) = x，则 f=()。A. B. C. D.3、设f(x)是定义在(一 8, 十8)上的函数，且满足

27、 f(10+x) =f(10 x), f(20-x) = - f(20 + x),则 f(x)是()。A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x = 1对称，证明f(x)是周期函数。参考答案：D, B, C, T=2。5、在数列xn中，已知 Xx21, xn 2 xn 1xnN*),求 x。=-1 .、选择题(每题 5分，共40分)f(x)的最小正周期是1 .定义在 R上的函数f (x)既是奇函数又是周期函数，若A.x 0, 2时，f(x)B.的值为C.cosx2 .偶函数y= f(x)满

28、足条件r ,v 4f(x +1) = f(x 1),且当 xC 1,0时，f(x) =3x+ 9贝U f( log 1 5)3的值等于()29B.50101C.45D. 13.函数f12x ln x的图像大致是()4.设f x是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f x x2.若对任意的A. a 0 B. a v12C. a *2 D.5.函数f (x)1，一1的最大值是(1 x(1 x)4A. 5B.54C.6.已知f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当dT4x (0,3)时,2x a,a 2 ,不等式f x a f J2x恒成立，则实数a的取值范围是()f (x) ln(x2 x 1)

29、,则函数f (x)在区间0,6上的零点个数是()A. 3B. 5C. 7D. 95.f(x) x f(x) 2x 1 x f (-)1 1112 4 4 228 .若函数f(x) -g是偶函数，则常数 a的取值范围是()| a x| xA. a 1或a1 B. a 1C. 1 a 1D. 0 a 19 .已知a为参数，函数f(x) (x a)3x2a2 (x a)38x3a是偶函数，则a可取值的集合是()A. 0,5 B. -2,5 C. -5,2 D. 1,200910 .已知yf(x)是偶函数，而y f(x 1)是奇函数，且对任意0 x 1 ,都有一 .一51 f(x) 0,则 a f(2

30、010),b f(-),c f()的大小关系是()42A. bca B. cba C. acb D. abc二、填空题(每题 6分，共36分)11 .已知 f(x) 3ax 1 2a 在1, 1上存在 X0(Xo1),使得 f(x0)=0,则2勺取值范围是；2一 -12 .设f(x)是定义在R上的奇函数，当xW0时，f(x)=2x x,则f(1) .13 .函数f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数，f( 1) 0,且对任意实数x都有 xf(x 1) (1 x)f(x),则 f(0) f (1) f (1) |H 弯1)的值是，、1，14 .右f(x)a是奇函数，则实数 a 3x 12

31、15 .右函数f (x) x x a为偶函数，则头数 a .2x _16 .右 f(x) lg( a)(a R)是奇函数，则 a=.1 x217 .对于偶函数f(x) mx2 (m 1)x 2 x 2,2,其值域为 ；三、解答题(15-18题每题11分；19、20各15分；共74分)一 1 x18 .已知 f (x) lg .(1)求函数f (x)的定义域；(2)判断并证明函数 f(x)的奇偶性；4 11(3)若 一 a ,试比较 f(a) f( a)与 f(2a) f( 2a)的大小.222x b 一19.(本小题满分14分)已知定义域为 R的函数f (x) f-是奇函数2 a求函数f(x)

32、的解析式；判断并证明函数 f (x)的单调性；22若对于任意的t R,不等式f (mt 2t) f(1 t ) 0恒成立，求m的取值范围bf (x) 1 / n已知函数a 1 (a 0,a1,b R）是奇函数，且f(2)(1)求a, b的值;(2)用定义证明f（x）在区间（0,）上是减函数.已知：f X是定义在区间1,1上的奇函数，且1 .若对于任意的m,n1,1 ,mf m f n0时，都有0 .(1)解不等式f(2)若f x t2 2at 1对所有x1,1 ,a 1,1恒成立，求实数t的取值范围22.（本小题满分14分）已知奇函数qx rf(x) m有最大值f(1) 5,其中实数a 0，b

33、是正整数.f(x)的解析式；令 an f (n)an 1 an（n是正整数）.参考答案1. . C【解析】试题分析：根据题意，由于定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，且可知 f(x)的 最 小 正 周 期 是， 那 么 可 知522221f () f ( +) = f (-)=-f (-) =-f ( - -) =-f( ) =- cos7，故可知答3=3333332案为C考点：函数的奇偶性以及周期性点评：主要是考查了函数的性质的运用，属于基础题。2. D【解析】试题分析：根据题意，由于偶函数y=f(x)满足条件f(x+1) = f(x1),说明函数的周期为 2,74 一f(-x)

34、=f(x)当 xC 1,0时，f(x)=3x4一，则对于 10g 1 5=-log 3 5 ,f( log1 5)=f(2+ log1 5)=f(2-933410g3 5)=3 g35+=1故可知答案为 D.9考点：函数的奇偶性点评：主要是考查了函数的奇偶性以及函数解析式的运用，属于基础题。3. A【解析】由于函数为偶函数又过(0, 0)所以直接选 A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题4. B【解析】试题分析：利用“排除法 。a=0时，f(x a) f(x) x2,f(J2x) 2x2, x 0,2不等式f x a f V2x不恒成立；排除A,Doa=

35、1 时,f (x a) f (x 1) (x 1)2, f (V2x) 2x2 , , x 1,3不等式f x a f V2x不恒成立排除C,故选Bo考点：函数的奇偶性，二次函数的图象和性质。点评：中档题，本题综合考查函数的奇偶性，二次函数的图象和性质，利用“排除法”，简化了解题过程。5. C【解析】因为函数 f ( x)=-1x(1 x)，利用二次函数的性质可知，分母的最x 1小值为3 ,那么所求的最大值是4 ,选C43【解 析】:当 x C ( 0,)时 f (x) =ln X x2-x+1 )，令 f ( x) =0 ,则 x2-x+1=1 ,解得x=1,又函数f (x)是定义域为 R的

36、奇函数，在区间 C ,上，f (-1) =-f (1) =0, f (0) =0.-f () =f (+3) =f () =-f (),.f (-1) =f (1) =f (0) =f () =f () =0又函数f (x)是周期为3的周期函数，则方程f (x) =0在区间0, 6上的解有0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,共9个.7. (A)、一 5511【解析】f(x)是周期为2的奇函数，f( ) f()f(2 )f (-)2222又，当 0w x w 1 时，f (x) 2x 1 x ,51111f( 5) f( )2(1)22222故选(A)8. B【解析】9. C【解析】10.

37、A【解析】11. . ( 1 , +) U ( - 8, 1 )5【解析】试题分析：根据题意，由于 f(x) 3ax 1 2a在1, 1上存在x0(x。1),使得2a-12a-1f(x0)=0,那么可知3ax+1-2a=0,x= 在区间1, 1上，则根据题意，1 1 ,a331的取值氾围是(一，+) U (00, 1)。5考点：函数的零点点评：主要是考查了函数零点的运用，属于基础题。12. 3【解析】试题分析：因为，f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)是定义在R上的奇函数，所以，f (1) f ( 1)2( 1)2 ( 1)3考点：函数的奇偶性点评：简单题，奇函数应满足：定义域关于原点对称，

38、f(-x) =-f(x)。13. 0【解析】试题分析：根据题意，函数 f(x)是定义在实数集 R上的不恒为零的偶函数从xf (x+1)=(1+x) f (x)结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得f( - )=0 ,再由f( )=f( +1)2221 111依此求解.即又 xf (x 1) (1 x)f(x),令*=,可知 f( )=0, f( )= f(-),依2 222次可知赋值得到f( 5)=f( 3 +1)=0 ,由于f(1)=0-f(-1),那么可知22f(0) f(1) f(1) UI f(2211)的值为 0.考点：函数奇偶性和递推关系式点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推

39、的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律.114. 一2【解析】 一. 一一一一11试题分析：因为f(x)=0且定义域为R,所以f(0)=0,所以f(0)= a 0,所以a -。30 12考点：本题考查奇函数的性质。点评：若f (x)是奇函数，且在 x=0时有定义，则f(0)一定为0.做题时一定要灵活应用此性质。15. 0_ , 一-一 2 【解析】因为函数 f(x) x x a为偶函数，那么利用定义可知a=0.16. -1【解析】本题考查了函数的奇偶性。lg(-2 a) lg(-2x a)1 x1 x解： f(x)为奇函数f ( x) f (x)即

40、：lg(a (a 2)x) lga (a 2)x1 x1 xa (a 2)x1 x1 xa (a 2)x即(1x) (1 x) a (a 2)x a (a 2)x,222 21 x a (a 2) xa2 1(a 2)2解得:117. 2,2【解析】，一一 一 1 .18. (1) (-1,1) (2)奇函数(3)当 0 a 时，f(2a) f( 2a) f(a) f( a)； 2当 a 0时，f(2a) f( 2a)= f(a) f( a)；1 ，一一 一 _ 一 一当 一 a 0 时，f (2a) f ( 2a) f (a), 2f(2a) f( 2a) f(a) f(a)；当 a 0时，

41、f(2a) f( 2a)= f(a) f( a)；1，一 一一一 -当 一 a 0 时，f (2a) f ( 2a) f(a) f( a).2考点：对数函数点评：函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助。2x 119. (1) f (x) F (2)减函数，证明见解析(3) m 22x 12试题分析：: f(x)为奇函数，f(0) 0, f( 1)f(1)所以f(x) f(x)证明：设则 f(Xi).x1x21 b 0,41 a2x 12x 1 22x 12(2x 1)x1x2f(X2)2x1f(,解得 a 2,b 1.x) f(x),满足条件.R上的减函数12x212

42、x22x1(2x11)(2x21)2x22x22 x1(2x11) 0 (2x21)2x1(2均1)(2x21)f(x1)f(x2)f (x)为减函数 f(mt2 2t)f(1t2)-2_f(mt 2t)f(1t2)f (x)为奇函数，f(1t2)2f(t2 1)-2_2f (mt 2t) f (t 1).2f(x)为减函数 mt2t1 t22t 10恒成立,1时显然不恒成立,14分m 1 04 4(m 1) 0考点：本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式, 调性求解抽象不等式以及恒成立问题 .判断并证明函数的单调性，利用函数的单点评：如果奇函数在 x 0处有意义，则f (0) 0,这一性质在解

43、题时可以简化运算，特别尽量不要用已知函数的单调性来好用，另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简, 判断未知函数的单调性.解抽象不等式，关键是利用单调性“脱去”外层符号，得出具体的不等式，这一过程中要注意定义域是否有影响20. (1) a 2,b 2.； (2)见解析。试题分析：(1)由题意知,因为函数f (x)1是奇函数,所以f(2)b-2af(2)“I5一,3ba2所以-ba-1 a2也,分由可得2舍去)，所以2,b2.HIf(x)22x 10x1X2f(x1) f(X2)(21)(2X21)2(2 x21) 2(2%(2x11)(2x21) iT2x2 12 x1 1(2x11)(2

44、 x2 1)INI9 分因为0x1X22x在(0,)为增函数,所以2* 10,2x2102x2 12x112x2 1 2为1，所以x 0，(2x11)(2x21)所以fg)f(X2),所以f (x)在区间0,上是减函数“12分考点:本题主要考查利用函数的奇偶性求参数值及利用定义证明函数的单调性点评:已知一个函数为奇函数，如果f(0)有意义，则f(0) 0 ,这个条件非常好用，常常能使运算变得非常简单；用定义法证明函数单调性时，要严格按照函数单调性的定义，遵循设变量、作差、变形、判断符号、下结论等步骤进行证明，另外需要注意的是变形时要化到最简单的形式，不要用已知函数的单调性来证明未知函数的单调性

45、 调性是一个非常重要的考点，学生应该注意牢固掌握，灵活应用.用定义法证明函数的单21. (1)令 m x,nx2则有f x1fx20,即f x1f x20.x2时，必有fx1f x2x2在区间1,1上是增函数,“、八11解之0x 4一一一 1所求解集为0,1(2) ；f X在区间 1,1上是增函数,f X maxf 11又对于所有x 1,1 ,a1,1 , f X t2 2at 1 恒成立1,1时恒成立t2 2at 1 1,即 t2 2at 0 在 a、2 g 10 口u t2 2t 0记g a 2at t ,则有即 2g 10 t2 2t 0解之得，t 2或t 0或t 2t的取值范围是，2 |J 0 |J 2,【解析】略22.(1) f(X)(2)证明略XX2 1【解析】(1)由奇函数f( X)f (x)可得r 0-2 分qX2pX2 1_q_ pX 1 X_q=1q 22价以及f (1) P 15-4 分21可得到2q 5q 2 0, 2 q 2,只有q 1p . f(X) ,-2 分(2)an1f (n)n2 1n-2 分则由an1 an(n 1n11)(n n)1 n(n 1)0(n是正整数),-4 分可得所求证结论