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1、 圆与方程 1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是. 特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.2. 点与圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆内 dr； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 dr (2). 给定点及圆. 在圆内 在圆上 在圆外（3）涉及最值： 圆外一点，圆上一动点，商量的最值 圆内一点，圆上一动点，商量的最值 思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）3. 圆的一般方程： .(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.(2) 当时，方程表示一个点.(3) 当时，方程不表示任何图形.注：方程表示圆的充要条件是：且且.4. 直线与
2、圆的位置关系： 直线与圆 圆心到直线的距离1）；2）；3）；弦长|AB|=2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来推断：（1）当时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆与圆， 圆心距 ； ； ； ； ； 外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程圆：， 圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明： 若与相切，则表示其中一条公切线方程； 若与相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆：和：交点的圆系方程为（）补充： 上述圆系不包括； 2）当
3、时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过直线与圆交点的圆系方程为6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即求解k，得到切线方程【肯定两解】例1. 经过点P(1，2)点作圆(x+1)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为 。(2) 过圆上一点的切线方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2 特别地，过圆上一点的切线方程为.例2.经过点P(4，8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。7切点弦(1)过C
4、：外一点作C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：8. 切线长：若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2 +y2 2x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试推断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为(
5、)(A) (B)(C) (D)二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线与圆没有公共点，则的取值范围是( )(A) (B)(C) (D)三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆相切的直线方程为( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线与圆相交于两点，且弦的长为，则 .五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A) (B) (C) (D) 0六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆上的
6、点到直线 的最大距离与最小距离的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率k取值范围_圆的方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圆方程，则t的取值范围是A.1t B.1tC.t1 D.1t22. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.3.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=04.（200
7、4年全国，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条5. （2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0上两点P、Q关于直线kxy+4=0对称，则k=_.6.（2004年全国卷，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y10=0的 距离的最小值为_.7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例1 求经过两已知圆：和的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2 设圆方程为： 其中4 求证： 不论为何值，所给圆必经过两个定点。 直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆的圆的切线方程；(1) 经过点，(2)经过点，(3)斜率为直线和圆1 自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程2. 求圆心在直线上，且过两圆，交点的圆的方程3. （2002北京文，16）圆x2y22x2y10上的动点Q到直线3x4y80距离的最小值为 弦长【例题】 已知直线lx+2y-2=0与圆Cx2+y2=2相交于A、B两点，求弦长AB.8 / 8
圆方程知识点总结典型例题
