第一节：多元函数的概念学习教案

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1、会计学1第一节：多元函数的概念第一节：多元函数的概念第一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（1）邻域一、多元函数的概念第1页/共77页第二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（2）区域 例如，即为开集 内点：设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点如果存在点 P 的某一邻域则称为的内点的内点属于如果点集的点都是内点，则称为开集第2页/共77页第三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。EP 边界点：外点：如果存在 U( P ) , 使得则称点P 为 E 的外点连通集：连通的开集称为开区域，简称区域第3页/共77页第四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例如，xyo例如，xyo第4页/共7

2、7页第五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。有界闭区域；无界开区域xyo例如，第5页/共77页第六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（3）聚点I： 内点一定是聚点；如果对于任意的 0 , 点 P 的去心邻域内总有 E 中的点，则称点 P 是点集 E 的聚点II： 在 内，总有 E 的无穷多个点；),( PUIII： 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E例如,(0,0) 是聚点但不属于E第6页/共77页第七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。 E中任何一点都是 E 的边界点，又如,xy E 中的任何一点都是 E 的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？第7页/共77

3、页第八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（4）n 维空间当 n = 3 时，( x , y , z ) 表示空间中的一个点或向量表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称为中的一个点或一个 n 维向量。第8页/共77页第九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。因此，我们也称),(21nxxxx 为nR中的一个点或一个 n 维向量。定义线性运算如下：这样定义了线性运算的向量集合nR称为 n 维空间第9页/共77页第十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。称 ( x, y ) 为空间两点 x 和 y 之间的距离设中两点间的距离公式nR中变元 x 的极限nR如果则称变元 x 趋于固定元 a , 记作

4、第10页/共77页第十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义中变元 x 的极限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 设设如果, 0| ax则称变元 x 趋于固定元 a , 记作, ax结论：中邻域、区域等概念nR则称 中的点集nR为 中点 a 的 邻域。nR第11页/共77页第十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。二、多元函数的概念 f 称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y )处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作函数与选用的记号无关，如则称 f 是 D 上的二元函数,

5、记为 第12页/共77页第十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。类似地可定义三元及三元以上函数 n 元函数通常记为或简记为第13页/共77页第十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。一元函数与多元函数的概念比较 一 元函数 y = f (x): 二元函数 y = f (x, y): ,:RDf n 元函数,:RDf第14页/共77页第十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例1 求 的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解所求定义域为2yx 第15页/共77页第十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。二元函数 的图形),(yxfz （如下页图）当 P ( x, y ) 取遍

6、D 上一切点时, 得到空间点集第16页/共77页第十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。二元函数的图形通常是一张曲面.第17页/共77页第十八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。xyzo例如,单值分支:第18页/共77页第十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。一元函数极限回顾：如果在 的过程中，0 xx f (x) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x) 当 时的极限，记为0 xx 二元函数的极限：如果在 的过程中),(),(00yxPyxP f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x, y ) 当 时的极限，记为),(),(00yxPyxP第19

7、页/共77页第二十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。都有第20页/共77页第二十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。说明：（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）定义中 的方式比 的方式复杂的多0PP 0 xx o 0 x第21页/共77页第二十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例2 求证 证当 时， 22)0()0(0yx原结论成立第22页/共77页第二十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例3 求极限 解其中yxu2 第23页/共77页第二十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。证例4 证明 不存在 2630

8、0limyxyxyx （2）取此时，仍不能确定极限是否存在（1） P ( x , y ) 沿 x 轴趋于 ( 0 , 0 )，此时 y = 0 , x 0 xyo第24页/共77页第二十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例4 证明 不存在 证（3）取26300limyxyxyx 极限值随 k 的不同而变化，故极限不存在 xyo第25页/共77页第二十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察第26页/共77页第二十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第27页/共77页第二十八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。

9、不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第28页/共77页第二十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第29页/共77页第三十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第30页/共77页第三十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第31页/共77页第三十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第3

10、2页/共77页第三十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第33页/共77页第三十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第34页/共77页第三十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第35页/共77页第三十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第36页/共77页第三十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察2

11、6300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第37页/共77页第三十八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第38页/共77页第三十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第39页/共77页第四十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。确定极限不存在的常用方法：第40页/共77页第四十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。求二元函数的极限常用的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；（2）利用变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；（3）

12、消去分子分母中极限为 0 的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；第41页/共77页第四十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。解：例5：求极限第42页/共77页第四十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。解：例6：求极限第43页/共77页第四十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。解：例7：求极限42lim00 yxyxyx第44页/共77页第四十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。, 0, 0 第45页/共77页第四十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。一元函数连续性回顾：二元函数的连续性第46页/共77页第四十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。

13、如果函数 f ( x, y ) 在 D 的每一点都连续， 二元函数连续的三个要素则称函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，或者称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数。第47页/共77页第四十八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。 二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多因为当 f ( x , y ) 无定义，所以在整个圆周 f ( x , y ) 间断。第48页/共77页第四十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例8 证明函数在(0,0)处连续解取xyo , 0 故函数在(0,0)处连续.第49页/共77页第五十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。例9 讨论函数在(0,0)的连续

14、性解取其值随k的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当第50页/共77页第五十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。定义3 如果函数 f ( P ) 在 D 的每一点都连续，则称函数 f ( P ) 在 D 上连续，或者称 f ( P ) 是 D 上的连续函数。 n 元函数的连续性第51页/共77页第五十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（2）多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是

15、指包含在定义域内的区域或闭区域关于多元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。 不同自变量表达的一元基本初等函数第52页/共77页第五十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。例解第53页/共77页第五十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点（1）存在正数 M ，使得对于任意的点 P D ，均有第54页/共77页第五十

16、五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。（二）介值定理 在有界闭区域 D 上连续的多元函数 f ( P ) ，必取得介于最小值 m 和最大值 M 之间的任何值。即对任意的 c , m c M ,至少存在一点 P D ,使得：第55页/共77页第五十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）多元函数的定义第56页/共77页第五十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。习题91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8 第八章作业第一节：多元函数的基本概念第57页/共77页第五十八页，编辑于星期二：十二点

17、五十三分。答案：121(1),(2),0(3)6(4)4e第58页/共77页第五十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。思考题第59页/共77页第六十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。思考题解答不能.例取但是 不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因为若取第60页/共77页第六十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。练 习 题第61页/共77页第六十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。第62页/共77页第六十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。第63页/共77页第六十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。练习题答案第64页/共77页第六十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。不存

18、在.观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第65页/共77页第六十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第66页/共77页第六十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第67页/共77页第六十八页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第68页/共77页第六十九页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第69

19、页/共77页第七十页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第70页/共77页第七十一页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第71页/共77页第七十二页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第72页/共77页第七十三页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第73页/共77页第七十四页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第74页/共77页第七十五页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第75页/共77页第七十六页，编辑于星期二：十二点 五十三分。观察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 不存在.第76页/共77页第七十七页，编辑于星期二：十二点 五十三分。