选修2_2定积分真题和答案

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1、 选修2-2定积分真题及其答案参考答案与试题解析一选择题共14小题12015校级二模设，以下关系式成立的是AabBa+b1CabDa+b=1【考点】定积分；不等关系与不等式菁优网所有【专题】导数的综合应用【分析】利用微积分根本定理分别求出a、b，再利用三角函数的有关性质即可得出答案【解答】解：sinx=cosx，=sin1；cosx=sinx，=1cos1sin1+cos11，sin11cos1，即ab应选A【点评】正确应用微积分根本定理和sin1+cos11是解题的关键22015会宁县校级模拟曲线y=与直线y=x1及x=4所围成的封闭图形的面积为A2ln2B2ln2C4ln2D42ln2【考

2、点】定积分菁优网所有【专题】导数的概念及应用【分析】作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到此题的答案【解答】解：令x=4，代入直线y=x1得A4，3，同理得C4，由=x1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x1交于点B2，1SABC=S梯形ABEFSBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln42ln2=2ln2S梯形ABEF=1+32=4封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEFSBCEF=42ln2应选D【点评】此题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考察

3、了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于根底题32015模拟设集合A=x，y|x|+|y|2，B=x，yA|yx2，从集合A中随机地取出一个元素Px，y，那么Px，yB的概率是ABCD【考点】定积分；几何概型菁优网所有【分析】集合A是一个正方形区域的部及边界，4个顶点是0，20，22，02，0，集合B是抛物线y=x2 下方的区域，分别求出面积，即可求出Px，yB的概率【解答】解：集合A是一个正方形区域的部及边界，4个顶点是0，20，22，02，0，集合B是抛物线y=x2 下方的区域 由，可求得两图象在第一象限的交点坐标为1，1抛物线y=x2 下方的区域的面积，根据对称性，可得面积为

4、=5+2=，正方形的面积为，Px，yB的概率是应选B【点评】此题考察几何概型，考察学生分析解决问题的能力，其中确定抛物线y=x2 下方的区域的面积是关键42015一模等比数列an，且a4+a8=dx，那么a6a2+2a6+a10的值为A2B4CD9【考点】定积分；数列的求和菁优网所有【专题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列an的公比为q，由dx表示圆的x2+y2=4的面积的，可得dx=由于a4+a8=dx=，可得a6a2+2a6+a10=2【解答】解：设等比数列an的公比为q，dx表示圆的x2+y2=4的面积的，dx=a4+a8=dx=，a6a2+2a6+a10=2应选：A【点评】此题考察

5、了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题52015XX二模函数fx=sinx10，且fx+1dx=0，那么函数fx的一个零点是ABCD【考点】定积分；函数的零点菁优网所有【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用【分析】把fx=sinx1代入fx+1dx=0，由定积分求得，得到函数解析式，再由fx=0求得函数fx的一个零点【解答】解：由fx=sinx1且fx+1dx=0，得sinxdx=0，cosx=0即，0，=，那么fx=sinx1，由sinx1=0，解得：取k=0，得x=应选：A【点评】此题考察了定积分，考察了由三角函数值求角，训练了函数零点的判

6、断方法，是中档题62015二模函数fx=，那么ABCD【考点】定积分菁优网所有【专题】导数的概念及应用【分析】先根据条件可化为x+12dx+dx，再根据定积分以及定积分的几何意义，求出即可【解答】解：x+12dx+dx，x+12dx=x+13|=，dx表示以原点为圆心以1为为半径的圆的面积的四分之一，故dx=，x+12dx+dx=，应选：B【点评】此题主要考察了定积分的计算和定积分的几何意义，属于根底题72012海珠区模拟用maxa，b表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=fx的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是ABCD【考点】定积分菁优网所有【专题】计算题；压轴题【

7、分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分【解答】解：由题设知：，应选A【点评】此题考察定积分的运用，运用定积分求面积，求解此题的关键是确定出积分区间以及被积函数82010赫山区校级一模=A4ln2B4ln2+1C4ln2+3D3ln2+3【考点】定积分菁优网所有【专题】计算题；压轴题【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可【解答】解：=x2lnx|12=4ln2ln1=4ln2；故答案为A【点评】此题考察定积分的计算，关键是找出被积函数的原函数，属于根底题92015二模定积分dx的值为ABCD2【考点】定积

8、分菁优网所有【专题】导数的概念及应用【分析】根据的定积分的几何意义，所围成的几何图形的面积是的四分之一，计算即可【解答】解：y=，x12+y2=1表示以1，0为圆心，以1为半径的圆，定积分dx所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，定积分dx=，应选：A【点评】此题主要考察了定积分的几何意义，根据数形结合的思想，属于根底题102015模拟求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的选项是ABCD【考点】定积分的简单应用菁优网所有【分析】画出图象确定所求区域，用定积分即可求解【解答】解：如下图S=SABOS曲边梯形ABO，应选：B【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，此题属

9、于根本运算112015兴安盟二模如下图，正弦曲线y=sinx，余弦曲线y=cosx与两直线x=0，x=所围成的阴影局部的面积为A1BC2D2【考点】定积分的简单应用菁优网所有【专题】导数的综合应用【分析】由图形可知，阴影局部的面积等于正弦函数与余弦函数图形到的面积，所以利用此区间的定积分可求【解答】解：由图形以及定积分的意义，得到所求封闭图形面积等价于；应选：D【点评】本小题主要考察定积分的几何意义以及定积分的根本运算，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求122015模拟如下图，由直线x=a，x=a+1a0，y=x2及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即a2x

10、2dxa+12类比之，nN*，+A+恒成立，那么实数A等于ABCln2Dln【考点】定积分的简单应用菁优网所有【专题】新定义【分析】令A=A1+A2+A3+An，根据定积分的定义得到：A1=lnn+lnn+1，同理求出A2，A3，An的值，相加求出即可【解答】解：令A=A1+A2+A3+An，由题意得：A1，A2，A3，An，A1=dx=lnx|=lnn+1lnn，同理：A2=lnn+1+lnn+2，A3=lnn+2+lnn+3，An=ln2n1+ln2n，A=A1+A2+A3+An=lnn+lnn+1lnn+1+lnn+2lnn+2+lnn+3ln2n1+ln2n=ln2nlnn=ln2，应

11、选：C【点评】此题考察了定积分的简单应用，根据定积分的定义得到A1，A2，A3，An的值是解题的关键，此题是一道中档题132015模拟如图，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O0，0，A，0，B，1，C0，1，记线段OC，CB以及y=sinx0的图象围成的区域图中阴影局部为，假设向矩形OABC任意投一点M，那么点M落在区域的概率为AB1C1D【考点】定积分的简单应用菁优网所有【专题】概率与统计【分析】利用积分求出阴影局部的面积，结合几何概型的概率公式，即可得到结论【解答】解：阴影局部的面积是：=，矩形的面积是：，点M落在区域的概率：，应选：C【点评】此题是与面积有关的几何概率的计算，求解需要分别

12、计算矩形的面积及阴影局部的面积，考察了利用积分计算不规那么图象的面积142015潍坊模拟如下图，由函数fx=sinx与函数gx=cosx在区间0，上的图象所围成的封闭图形的面积为A31B42CD2【考点】定积分在求面积中的应用；正弦函数的图象；余弦函数的图象菁优网所有【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】求出图象的交点坐标，根据定积分的几何意义，所求面积为S=cosxsinxdx+sinxcosxdx+cosxsinxdx，再用定积分计算公式加以运算即可得到此题答案【解答】解：由y=sinxx0，和y=cosxx0，可得交点坐标为，由两曲线y=sinxx0，和y=cosxx0，所围成的封闭图

13、形的面积为S=cosxsinxdx+sinxcosxdx+cosxsinxdx=sinx+cosxsinx+cosx+sinx+cosx=2应选：D【点评】此题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考察了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于根底题二填空题共2小题152011模拟假设y=fx的图象如下图，定义Fx=，x0，1，那么以下对Fx的性质描述正确的有1241Fx是0，1上的增函数；2Fx=fx；3Fx是0，1上的减函数；4x00，1使得F1=fx0【考点】定积分；导数的概念菁优网所有【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=fx0在a，b上形成的曲边梯形的

14、面积为S=abfxdx，可得如图的阴影局部的面积为Fx，根据上边的图形得到Fx为增函数；且fx为Fx的原函数；根据下边的图形可得4正确【解答】解：由定积分的集合意义可知，Fx表示图中阴影局部的面积，且Fx=fx，当x0逐渐增大时，阴影局部的面积也逐渐增大，所以Fx为增函数，故1、2正确；由定积分的几何意义可知，必然x00，1，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F1=01ftdt=fx0，故4正确所以对Fx的性质描述正确的有124故答案为：124【点评】此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函数间的关系，是一道根底题162005设函数fx的图象与直线x=a，x=b及

15、x轴所围成图形的面积称为函数fx在a，b上的面积，函数y=sinnx在0，上的面积为nN*，iy=sin3x在0，上的面积为；iiy=sin3x+1在，上的面积为【考点】定积分菁优网所有【专题】计算题；压轴题【分析】i函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在0，上的面积，得出函数y=sin3x在0，上的面积是函数y=sin3x在0，上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在0，上的面积ii设t=x，t0，那么y=sin3t+1，同理可求【解答】解：i函数y=sinnx在0，上的面积为nN+，对于函数y=sin3x而言，n=3，函数y=sin3x在0，上的面积为

16、：，那么函数y=sin3x在0，上的面积为ii设t=x，t0，那么y=sin3t+1，y=sin3x+1在，上的面积为故答案为：，【点评】在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神三解答题共13小题172015蒙城县校级模拟国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯投掷飞镖比赛每3人组成一队，每人投掷一次假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性一样某人投中靶面阴影区域记为“成功靶面正方形ABCD如下图，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx

17、的图象每队有3人“成功获一等奖，2人“成功获二等奖，1人“成功获三等奖，其他情况为鼓励奖即四等奖其中任何两位队员“成功与否互不影响求某队员投掷一次“成功的概率；设X为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型；离散型随机变量的期望与方差菁优网所有【专题】导数的综合应用；概率与统计【分析】由题意，求出矩形和阴影局部的面积，利用几何概型公式解答；明确X的取值，分别求出随机变量对应的概率，列出分布列，求期望【解答】解：由题意知：S矩形=1010=100，=20，记某队员投掷一次“成功事件为A，那么PA=5分因为X为某队获奖等次，那么X取值为1、2、3、4，PX

18、=2=，PX=3=，PX=4=9分即X分布列为：X1234PX10分所以，X的期望EX=1+2+3+4=12分【点评】此题考察了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望182015模拟函数fx=lnx假设函数hx=fx+x2ax在点1，h1处的切线与直线4xy+1=0平行，数a的值对任意的a1，0，假设不等式fxax2+2x+b在x0，1上恒成立，数b的取值围假设函数y=gx与y=fx的图象关于直线y=x对称，设Aa，ga，Bb，gb，N=，gab，试根据如下图的曲边梯形ABCD的面积与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的大小关系，写出一个关于a和b的不等式，并加以证明【考点】定积分在求面积

19、中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网所有【专题】综合题；导数的综合应用【分析】求导数，利用函数hx=fx+x2ax在点1，h1处的切线与直线4xy+1=0平行，建立方程，即可数a的值；不等式blnxax22x对任意的a1，0恒成立，那么blnxax22xmax，进而转化为不等式blnxx22x在x0，1上恒成立，即可数b的取值围；由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，可得ebeabaeb+ea+2，再进展证明即可【解答】解：hx=x0，依题意得：h1=4即2a=4，a=24分由不等式blnxax22x对任意的a1，0恒成

20、立，那么blnxax22xmax，函数a=lnxax22x在a1，0上为单调递减，amax=1=lnx+x22x问题转化为不等式blnx+x22x在x0，1上恒成立，7分令Gx=lnx+x22x，那么Gx=0Gxmax=G1=b的取值围为b9分由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，用不等式表示为baga+g+bagb+g10分即ebeabaeb+ea+211分证明：设b=lnm，a=lnn，那么=0nm，不等式ebeabaeb+ea+2等价于m+n+211分即ln令=tt1，那么只要证lnt，即lnt0，又令mt=lnt，那么mt=0，函数mt在1，+上

21、单调递减，mtm1=0ebeabaeb+ea+214分【点评】此题考察知识点较多，涉及导数的几何意义，函数的最值，定积分知识，综合性强192009春如东县期末设y=fx是二次函数，方程fx=0有两个相等的实根，且fx=2x+21求y=fx的表达式；2求y=fx的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算菁优网所有【分析】1根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案2根据定积分的定义可得答案【解答】解：1fx=2x+2 设fx=x2+2x+c，根据fx=0有两等根，得=44c=0解得c=1，即fx=x2+2x+1；2S=【点评】此题主要考

22、察导数的逆运算和定积分在求面积中的应用属根底题202010永州校级模拟求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积【考点】定积分的简单应用菁优网所有【专题】计算题【分析】因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解【解答】解：联立，解得x1=1，x2=2S=01x2+23xdx+123xx22dx=+=1【点评】用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于根本运算212013秋琼山区校级期末如图，计算由曲线y=x2+1，直线x+y=3以及两坐标轴所围成的图形的面积S【考点】定积分在求面积中的应用菁优网所有【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先确定积分区间

23、与被积函数，再求原函数，即可求得结论【解答】解：如图，由y=x2+1与直线x+y=3在点1，2相交，2分直线x+y=3与x轴交于点3，03分所以，所求围成的图形的面积=【点评】此题考察利用定积分求面积，先确定积分区间与被积函数，再求原函数是关键222011春天门校级期末如图，在区间0，1上给定曲线y=x2，试在此区间确定点t的值，使图中阴影局部的面积S1+S2最小【考点】定积分在求面积中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网所有【专题】计算题【分析】先利用定积分分别表示出阴影局部的面积S1与S2，然后求出S1+S2关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值【解答

24、】解：，4分6分令St=0，得或t=0舍去当时，St0；当时，St0；当时，St为减函数，当时，St为增函数10分所以，当时，12分【点评】此题主要考察了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题232015春蠡县校级期末Fx=dt，x01求Fx的单调区间；2求函数Fx在1，3上的最值【考点】微积分根本定理；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网所有【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】1由定积分计算公式，结合微积分根本定理算出再利用导数，研究Fx的正负，即可得到函数Fx的单调增区间是2，+，单调递减区间是0，22根据Fx的单调性，分别求出F1、F2、F3的值并

25、比拟大小，可得Fx在1，3上的最大值是F3=6，最小值是【解答】解：依题意得，定义域是0，+2分1Fx=x2+2x8，令Fx0，得x2或x4； 令Fx0，得4x2，且函数定义域是0，+，函数Fx的单调增区间是2，+，单调递减区间是0，26分2令Fx=0，得x=2x=4舍，由于函数在区间0，2上为减函数，区间2，3上为增函数，且，F3=6，Fx在1，3上的最大值是F3=6，最小值是10分【点评】此题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考察了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题242013一模函数fx=alnx+xa0I假设曲线y=fx

26、在点1，f1处的切线与直线x2y=0垂直，数a的值；讨论函数fx的单调性；当a，0时，记函数fx的最小值为ga，求证：gae4【考点】微积分根本定理；利用导数研究函数的单调性菁优网所有【专题】综合题；导数的综合应用【分析】I先求fx的定义域为x|x0，先对函数进展求导，由f1=2可求aII由=，通过比拟a与2a的大小解不等式fx0，fx0，从而可求函数的单调区间III由II可知，当a，0时，函数fx的最小值fa，结合可求a，然后结合单调性可求，从而可证【解答】解：I由可知fx的定义域为x|x0x0根据题意可得，f1=21=2a2a2+1=2a=1或a=II=a0时，由fx0可得x2a由fx0可

27、得0x2afx在2a，+上单调递增，在0，2a上单调递减当a0时，由fx0可得xa由fx0可得0xafx在a，+上单调递增，在0，a上单调递减III由II可知，当a，0时，函数fx的最小值fa故ga=fa=alna3a那么ga=lna4令ga=0可得lna4=0a=e4当a变化时，ga，ga的变化情况如下表a=e4是ga在，0上的唯一的极大值，从而是ga的最大值点当a0时，=e4a0时，gae4【点评】此题主要考察了导数的几何意义的应用，函数的导数与函数的单调性的应用，及函数的极值与最值的求解的相互关系的应用，属于函数知识的综合应用252014春阿勒泰市校级月考计算定积分：142x4x2dx；

28、2dx【考点】微积分根本定理菁优网所有【专题】导数的概念及应用【分析】根据微积分的根本定理即可得到结论【解答】解：142x4x2dx=2x34x28x+16dx=|=；2dx=2x2dx=x22xlnx|=1ln2【点评】此题主要考察微积分定理的应用，要求熟练掌握常见函数的微积分公式262013渝水区校级一模等差数列an和等比数列bn中，a1=b1=2，b2=a2+1=，1分别求数列an、bn的通项公式；2求数列的前n项的和Sn【考点】微积分根本定理；数列的求和菁优网所有【专题】等差数列与等比数列【分析】1先求，进而根据等差数列an和等比数列bn的通项公式，即可解出公差和公比，即可求出通项公式

29、2先求出，再利用错位相减法即可求出其和Sn【解答】解：1=40=4，b2=a2+1=4设等差数列an和等比数列bn公差、公比分别为d、q那么2q=2+d+1=4，解得d=1，q=2an=2+1n1=n+1，2由1可得，Sn=，2Sn=2+错位相减得【点评】此题考察了等差数列和等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的和，充分理解以上知识和方法是解题的关键272013春无为县校级期中计算以下定积分的值1234【考点】微积分根本定理菁优网所有【专题】计算题【分析】先找到被积函数的原函数，然后运用微积分根本定理计算定积分即可【解答】解：1=x2cosx|0;frac2=1+；2=6x2+12x+6d

30、x=2x3+6x2+6x=112；3=lnx=ln2ln3+；4=+x=【点评】此题主要考察了定积分，运用微积分根本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于积分中的根底题282012集美区校级模拟函数fx=2cos2sinx1求函数fx的最小正周期和值域；2假设为第二象限角，且，求的值3将函数f x图象上每一点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位，得到的函数设为gx，求的值【考点】微积分根本定理；二倍角的余弦菁优网所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】1将函数fx变形为fx=1+2cosx+，从而求出函数的周期和值域；2将化简为，再求出sin，cos的值，代入即可；3由

31、1知，经过变换后得到的函数gx=1+2cos2x，从而得出答案【解答】解：1=，函数fx的周期为2，又，故函数fx的值域为1，3；2，即，=，又为第二象限角，且，原式=；3由1知，经过变换后得到的函数gx=1+2cos2x，=【点评】此题考察了三角函数的图象及性质，考察了三角恒等变换，考察了微积分根本定理，是一道中档题29y=exsin2x，求微分dy【考点】微积分根本定理菁优网所有【专题】计算题【分析】求微分dy，设y=fx，那么dy=fxdx，此题fx=exsin2x，再根据积分公式uv=uv+vu求解fx，故可求解出微分dy【解答】解：dy=exsin2xdx=exsin2x+exsin2xdx=2excos2xexsin2xdx=ex2cos2xsin2xdx【点评】此题考察微积分的根本定理及根本计算，其中涉及到乘法函数的求积分问题题目涉及知识点教少但计算能力要求较高在计算方面要稍加注意19 / 19