自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化

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1、来源于网络自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化，例的暴发力等等。量测这些瞬间变化率的一个量规 求法、它们的物理观念3.13.23.33.4 3与363.73.8如果数据可以简化成一个数学函数，那麽，而导数即是用量规所以及有关 Maple用来计切线与导函数导函数的求法Maple的微分指令三角函数的导函数,fA或者是运动选手(derivative)即是 将介绍导函数的3-173-223-283.-333-373-413-463.1切线与导函数本节介绍了函数图形於某一点的切线，以及切线与导函数之间的关系。首先从几何上的观点来探讨切线於几何上的意义。3.1.1切线m 比一yof(x1) f(xo

2、)ITsecX1 _XoX1 Xohmtaf(X1) f (X with(stude nt): showta ngen t(xA2,x=1,x=o.2, y=o.2,scali ng=c on stra in ed);现在再嚐试利用showtangent指令来绘出此条切线，并由图上来验证所得之斜率的正确性。 载入student绘图程式库。绘岀通过(1,1)之切线，并指定 绘图的比例为1:1。由图中约略 可见切线的斜率为 2,刚好符合 本题的计算结果。绘制函数的切线，除了使用showta ngent指令之外，也可以利用割线的绘图来一步步的逼近切线， 如此更可说明了函数图形之切线於几何上的意义。接

3、下来以函数为范例来做说明。首先於函数图形上取 P、Q两点，求出通过P、Q两点之直线方程式并做图，然 後将Q点往P点移动，看看通过P、Q两点的直线会有什麽变化。载入plots与student绘图程式库。定义 f (x)二 Jx _3)29。绘岀f(x)的图形，由图中可见其图形 为一开口向下的抛物线。设定P为f(x)图形上的一点，其坐标为 P(x,y) =(1, f(1) =(1,5)。设定Q为f (x)图形上的另一点，其坐 标为 Q(x, y) (3, f (3) =(3,9)。利用student程式库里的slope指令计算 连接P、Q两点之直线的斜率，得到斜 率为2。利用点斜式，可以求岀通过

4、P、Q两点 的直线方程式为 y=32x。绘岀f(x)的图形，并把图形设给变数 g1。注意在指令之後加上冒号，目的 在不显示任何输出，但会执行运算。绘岀通过 P Q两点的直线 y=32x与 f(x)的函数图。很明显的，直线交 f(x)於(1,5)与(3,9)两点，由此可验证 所求的直线方程式正确无误。现在把Q点移近P点，取Q(x,y)=(2, f(2) =(2,8)。计算P、Q两点连线的斜率，得到斜率为3。这是通过P、Q两点之直线方程式。绘岀通过 P Q两点的直线 y =2 3x与 f(x)的图形。由图中可看岀直线交 f(x)於(1,5)与(2,8)两点。接下来，再将Q点往左移，令Q(x,y)

5、(1.1, f(1.1)。计算得P、Q两点连线的斜率为3.9。这是通过P、Q两点之直线方程式。 绘岀f(x)与通过P、Q两点的直线图。 由图中可观察到P、Q两点的连线近似一条切f(x)於P点的切线。最後，取 Q =(1.01, f (1.01)。直觉上， 现在的Q点相当接近於P点。P、Q两点连线的斜率为3.99。综观上面的计算，若把 Q点越往P点移动， 其连线的斜率越接近4.0。这是利用定义3.1.1来求切线斜率的数 学式。用value指令来对上式求值，可得斜率之函数为-2x 6。因P点的x坐标为1,故可找岀当x =1 时，切f(x)於P点的切线斜率为 4。 此值与先前的预测颇为吻合。事实上，

6、利用(3.1.2)式亦可求岀相同的 结果。右式是以(3.1.2)式所求岀的数学 式。用value指令求值，可得相同的答案。 with(plots): with(stude nt): f:=x-(x-3)A2+9; plot(f(x),x=0.6); P：=1,f(1)； Q：=3,f(3); m:=slope(P,Q); eqn :=f(1)+m*(x-1); g1:=plot(f(x),x=0.6): display(plot(e qn, x=0.6, y=0.10),g1)； Q:=2,f(2); m:=slope(P,Q); eqn :=f(1)+m*(x-1); display(plo

7、t(e qn, x=0.6, y=0.10),g1)；ll Q:=1.1,f(1.1); m:=slope(P,Q); eqn :=f(1)+m*(x-1); display(plot(e qn, x=0.6, y=0.10),g1)； Q:=1.01,f(1.01); slope(P,Q); Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); L:=value(%); eval(L,x=1); Limit(f(x)-f(x0)/(x-x0),x0=x); value(%); showta ngen t(f(x),x=1,x=0.6, y=0.10);showtangent指令可以更快速的绘岀

8、函数於某点的切线。右图显示直线切函数於(1,5)。本例已经求出斜率的函数为-x 6，而有趣的是，在哪一点斜率会是零？还有，斜率为零的点会有哪些特性？接下来将初浅的探讨这两个问题。solve指令可求得於 x =3时，斜率为0。绘岀切f(x)於x =3的切线与函数图。由图中可看岀，斜率为 0之点正是函数f (x)的极大值。f=9,故可知f(x)的极大值为9。用student程式库里的 maximize指令来验证，亦可得到相同的极大值。由上面的讨论可观察到，函数的极值日 solve(-2*x+6=0,x); showta ngen t(f(x),x=3,x=0.6, y=0.10); f(3)； m

9、aximize(f(x),x);(extrema,意指极大或极小值)可能位於函数斜率为零之处，这 疋-个重要的观念，关於这个部分留到 4.2节再做详细的介绍，目前读者仅需要知道於几何上有这 项性质即可。3.1.2导函数与导数如果删掉定义3.1.1中x的下标，即可得到微积分学里一个重要的函数-导函数(derivative)。而f (x)的导函数之物理意义，即是f(x)之切线的斜率函数。定义3.1.2导函数函数f(x)的导函数定义为.f(x+h) f(x)f(X)他，而f (x)的定义域为使得该极限存在的所有x所组成求导函数的过程称为微分(differentiate)，而其方法则称为微分法。通常以

10、Dx或伐来代表微分运算子(differential operator)，因此 f (x) =Dxf (x)赵 f (x)。【例题3.1.2】设f(x)=x2 3x4，试依导函数的定义式来计算f (x)。【解】f(x)=limi f(x h) -f(x)h 0=2x 3h0hx2 2xh h2 3x 3h4-(x2 3x4)(展开平方项)=lim (2x h 3)h )0(消去相同的项)(约去h)虽然於例题3.1.2中，导函数的计算颇为烦琐，然而大多数的导函数公式却是经由这个推导过程而 得的。定义计算导函数的计算公式留於3.2节再做讨论，在此先看看如何利用Maple模仿例题3.1.2的步骤来计算

11、导函数。 f:=x-xA2+3*x-4; Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0);、:I . 7.汪意 出右式。f (x) =x2 3x4。 lim f(x h)f(x)。h_QhMaple已做了少量的化简，再输 expa nd(%); value(%);用expand指令展开上式，可化简得lim 2x h 3。h0value计算得上式的极限值为2x亠3 ,与例题3.1.2所得的答案相同。【例题3.1.3】设f(x)，试依导函数的定义式来计算(x)x解f (xlim f(x h)-f(x)1xx(x - h)h珂叫x(x h)(通分)(约去h并化简)(约去h)的极值。 f:=x-xA

12、3+xA2-3*x+2; I| plot(f(x),x=-3.2); Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); value(%); fp:=u napply(%,x); plot(f(x),fp(x),x=-3.2,y=-7.8); sol:=fsolve(fp(x)=0,x); map(subs,sol,f(x);函数的极值是导函数的一个有趣的应用。於3.1.1节已提过，导函数即代表切线的斜率，而函数的极值则可能(但不一定)位於切线斜率为零之处。下面的范例说明了如何利用导函数来求解方程式I i .*/ i J定义 f (x) =x3 亠x2 -3x2。绘岀f (x)的函数图。由图中

13、可看岀f (x)有两个斜率为零之处，而这两个位置也就是函数极值之所在。它们约略位於 x ：、-1.4与 x ： 0.7。於数学上，这两个极值称为区域极值(local extrema)或相 对极值(realtive extrema)，有别於全域极值(global exterma)，因为它们并不是整个函数的 极值。利用定义3.1.2来求f(x)的导函数。 用value指令求解上式，可解得导函数为3x2 2x-3，这个函数也就是f (x)之切线斜率的函数。定义fp(x)为f (x)的导函数。绘岀f (x)与fp(x)的函数图。读者可以 发现f(x)为三次曲线，而fp(x)为二次 曲线。此外，於函数

14、f(x)相对极值的 点其对应的斜率 (即fp(x)的值)均为 零O用fsolve指令可以解得斜率为零之处 的数值解。将所求得的解代入f (x)中，解得相对极大值为5.416，而相对极小值为 0.731 o您可以与上图比对看看这两个 值是否与图形吻合。函数f(x)的导函数f(x)本身亦为一函数，而导函数f(x)上的某个点的值f(a)则称为导数，下面说明了导数的定义定义3.1.3导数函数f (x)在x =a的导数记为f (a)，亦即f(a)=imf(a h)-f 若函数f(x)在x =a的导数f (a)存在，亦即则称f在x =a可微分(differe ntiable)。若f(x)於定义域内的每一点

15、皆可微分，则函数 f(x)称为可微分 函数(differe ntiable fun ctio n)。一般而言，若f在x =a可微分，则必可绘出一条通过(a,f(a)点的切线。这也意味着此切线於(a,f(a)不能有断裂，或者是不连续的情况发生。【例题3.1.4】试讨论(a)f(x)=x3， (b)f(x)=.x於x = o的可微分性。【解】(a)因为当x=0时f(0)=0为一定值，故f(x)=x3於x=0为可微分。事实上，因f(x)=x3为平滑且连续，所以一定可以找到一切线切函数於任意点，故f(x)处处可微分。(b)当 f (x) = 时，少vf (x) lim _(试验证之!)hTh2依因f

16、(x)於x_0时并不存在，故f(x)-.x於x=0不可微分。. Ii i般而言，函数f(x)於x =a不可微分通常发生於下面三种情况:1.函数的图形於x二a为一尖角或折点。2.函数於x=a不连续(断点)。3.函数於x二a的切线为一垂直线(斜率为：) 下面的范例分别探讨了这几种常见的情况。利用piecewise指令定义I一、_(2)1/3 岀 x 2绘岀f (x)的函数图。由图中隐约可 f:=x-piecewise(x -(2-x)A(1/3)+1,x2,(x-2)A(1/3)+1); plot(f(x),x=0.4,y=-0.5.2.5);见於x=2之处，函数切线的斜率为 一垂直线。计算f (

17、x)於x =2的右极限与左极 限，二者均得到1,故可知f(x)於x 2连续。依定义3.1.2来计算f(2)，其值为 limit(f(x),x=2,left), limit(f(x),x=2,right); limit(f(2+h)-f(2)/h,h=0);无限大，故f(2)并不存在，所以f (x)於x =2不可微分 g:=x-5-abs(xA2-4);绘岀g(x)的函数图。由图中可看岀 於x =2之处图形有一尖点存在，因 而可预测g(x)於x =2不可微分。 g(x)於x =2的双边极限存在，故可知g(x)於此处连续。依(3.1.4)式来测试g是否存 plot(g(x),x=0.4); lim

18、it(g(x),x=2); limit(g(2+h)-g (2) )/h,h=0,left);在，计算得.g(2 比)-g(2)imo 匚f=4 limit(g(2+h)-g (2) )/h,h=O,right); limit(g(2+h)-g (2) )/h,h=0); p:=x-piecewise(x1, 2*x);lim 竺耳竺2二/。因左右极限 h_Q 亠h不相等，故可知g (2)并不存在。直接以定义 3.1.3来求g,Maple回 应 undefined，故可知g (x)於x 2并没有定义，亦即不存在。广2宀 、/, 、 x +1, x 1绘岀p(x)的函数图。虽然p(x)为一片段函

19、数，但右图中显示於x=1之处既连续，且无尖角、折角，或 者是跳跃的情形发生，故可预测p(x)於x =1之处可微分。lim p(1 7亠=2,因为双边极限存h_0在，故可知 p(x)於x =1之处可微 分。宀、 ,、x2 一2 x 兰1疋义 q(x)=。x 2 x 1绘岀q(x)的函数图。虽然 q(x)於x 1之处为连续，但於此处有折角 发生，故可预测q(x)於x =1之处不 可微分。因双边极限并不存在，故可知q(1)也不存在，因而q(x)於x =1之处不 可微分。 plot(p(x),x=-2.3); limit(p(1+h)-p(1)/h,h=1); q:=x-piecewise(x1, x

20、-2); plot(q(x),x=-2.4); limit(q(1+h)-q(1)/h,h=0);由上面的讨论可知，函数於某一点为可微分(differentiable)的必要条件之一为-函数於该点必须要连 续(continuous)。事实上，函数的连续性与是否可微分有着密切的关系，下面的定理说明了这两者 的关系。定理3.1.1可微分与连续若函数f(x)在x=a为可微分，则f(x)在x=a连续。因此由定理3.1.1可知，若f(x)在x=a可微分，则f(x)在x=a连续，但此定理反过来并不成立，亦 即若f(x)在x =a连续，则f(x)在x =a并不一定可微分。事实上，前面的几个范例已说明了这个事

21、实，读者可由这些范例来做验证。习题3.1於习题16中，依导函数的定义式来求f (x)。1.f(x)=4x32.f(x) =x323.f (x)=7x2 24.f(x)二x5. f (x) =x6. f (x) = x4 12於习题79中，给予一函数f与函数图形上的一点p,试计算f於p点之切线斜率7. f (x) =2x2 3；於点(1,5)。8. f(x) =X3 -4；於点(2,4)。9. f (x) =1/x；於点(1,1)。yy =f(x)11.若10. 考虑下面的函数图。(1)於X，哪一个函数的导函数之值较大？ 於X ybg(x)哪一个函数的导函数之值较大？=g (x)，是否意味着f

22、(x) = g (x)必须成立？为什麽？|、 ” |12.试以几何上的观点来说明为什麽1/x於x=0的导函数不存在？3.2导函数的求法於上节中，已介绍了如何以导函数的定义式来求得函数的微分。但因其计算的过程颇为烦琐，故许多微分法则也就相继发展而出。本节将介绍一些微分的基本公式，以方便导函数的计算。限於篇幅的关系，本书并无法对每一个定理都详加证 明，有兴趣的读者可以参考相关的微积分书籍。定理3.2.1常数的微分为零设f(x) =c为一常数函数，则f(X)=0定理3.2.1的证明并不难，把f(x)=c代入中，可得故可得证。以几何的观点来看，常数函数的图形为一水平线，无论位於何处，其切线的斜率均为零

23、, 故也可由此推测常数函数的导函数为 0。定理 3.2.2 乘幕律(power rule)I i 若n为正整数，则一d(xn)= nxndx虽然於定理3.2.2中，指数n为正整数，但事实上，n为实数时，本定理亦成立。定理 3.2.2可以利用二项式公式(a b)n =an = nan4b - n(n _1) an b - nabn bn2消去分子与分母中的共同因子来证明。令f(x) =xn，则h,於括号内除了第一项之外，每一项均含有 极限值均为0,故可得(h。当h： 0时这些项的利用Maple的limit指令也可以验证这个结果:定义 f(x) =xn f:=x-xA n;这是求解导函数的公式。

24、Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0);利用 value指令求解极限值并化简 simplify(value(%);之，可得与定理322相同的结果。定理3.2.3常数与函数相乘之微分若C为一常数，且f为可微分函数，则cf亦为可微分函数，且d cf (x) =c d f(x)dxdx定理3.2.3可以直接将cf(x)代入定义中来验证明定理324和与差的公式若f与g为可微分函数，则dddddd丁(f(x) +g(x) )=丁 f(x) +=g(x) , 丁(f (x) g(x)f(x g(x) dxf dxdxdxr dxdx定理3.2.4说明了函数之和或差的导函数，等於各别函数之导函数的

25、和或差【例题321】 试求6x3_4x+3的导函数。(定理 3.2.4)【解】(6x3 -4x 3) d(6x3) (-4x) 3dxdxdxdx心3)心(定理 321、3.2.3)2 2= 6(3x2)4 =18x24(定理 3.2.2)定义 f (x) =6x3 4x 3。 利用(式，可求得与先前之计算 相同的答案。现在利用Maple来验证所求得的结果: f:=x-6*xA3-4*x+3; limit(f(x+h)-f(x)/h,h=O);【例题3.2.2】设f (x) =3x，试求通过f上之一点(1,1)的切线方程式。【解】 因f(X)代表函数图形之切线斜率，故只要计算出f，即可利用点斜

26、式来求出通过点(1, 1)的切线方程式。依定理3.2.2,可得因此，当x=1时，函数图形之切线斜率m为由点斜式y = y m(x)，可得切线方程式为现在，以？Maple来验证上面的计算过程： f:=x-xA(1/3);定义 f (x) =3 x。由(式可求得f (x)。将X =1代入f (x)f (1) =1/3，故可知於x =1时， 函数图形之切线斜率为1/3。由点斜式可知切线方程式为 y =1 (x -1)/3。绘岀f(x) =3 x的图形与切线的 图形。由图中可看岀切线切函数 图形於(1,1)这点，故可验证计 算的正确性。，可求得 limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); su

27、bs(x=1,%); y:=1+(x-1)/3; plot(f(x),y,x=0.4);值得注意的是，函数乘积或商的导函数并不等於各别函数之导函数的商或和。下面的定理列出了函数乘积与商之导函数之公式，相关的证明可以参考本节的习题。定理325积的公式(product rule)若 f 与 g 皆为可微分函数，则2(f(x)g(x) )=f(x)2g(x)+g(x)2 f (x)dxf dxdx定理 3.2.6 商的公式(quotient rule)-J-Jg(x) f(x)_f(x) g(x) dxdx若f与g皆为可微分函数，且g(x)，则 d f(x)dx (g(x)丿dxg2(x)解【例题

28、3.2.3设 f(x)=x2x2 -1，试求f(X)0f(X)2 dx幺2 _1丿2(x 一1) -2x(x -2)2 dd 2x-2 (x 一%2% 一1)I =(x2 -1)2(定理3.2.6)2 2(x -1)-X2 4x -122(x -1)(1)接下来，利用定义 f(x) = x_ 2 ox 1以3.2.1式求导函数，Maple回应与(1)式相同的结果。Maple以导函数的定义式来验证所求得的结果。 f:=x-(x-2)/(xA2-1);1 I一 7 丿/ I* . limit(f(x+h)-f(x)/h,h=O);到目前为止，本书均以导函数的定义式来要求Maple计算函数的导函数。

29、事实上，Maple的内建指令diff提供了更方便的方法来计算微分，於下节里，我们将介绍它的使用方法与技巧，读者更能藉此了解Maple在符号运算上的潜能，以及它所带来的便利性。习题3.2於习题16中，试计算各式的导函数。1. f (x) =X52. f (x) =x/33. f(x)=x2 +皈4. f(x) = 4x2：2xTX3 +2625. f(x)=16. f(x)=(6x +4)(5x1)Vx7.设f(x) =6x3 3x2 -4，试求出切f於(1,5)的切线方程式。8. 试以导函数的定义式来导出积的公式9.试以定理3.2.5来证明定理3.2.6。(提示：f(x)/g(x)可以写成f(

30、x) g(x)_1)10.如果f (x) =g (x)，这个关系是否意味着f (x) =g(x) ?试解释之。3.3 Maple的微分指令Maple提供了微分指令diff与微分运算子D来处理函数的微分。diff是用来计算函数的微分，而 D 则是针对函数运算子所设计，用以求出运算子的微分式。以下两个小节分别介绍这两个微分指令。3.3.1微分指令diffMaple以diff来计算函数的微分。diff可以把一函数对单一变数微分，或者是对多个变数微分。而 Diff指令则保留了微分的原式，而不对微分式求值。diff(f(x),x)或 diff(f(x),x)计算微分式2 f (x)dx保留微分的原式，不

31、对微分式求值Maple的微分指令计算dx除了指定的变数之外， Maple 的符号为常数。於此例中，指定视其它x为 diff(xA3,x); diff(x-2)/(xA2-1),x); diff(a*xA2+b*x+c,x);变数，而a, b与c均为常数。Diff指令(以大写的D开头)有别於diff指令，Diff并不对微分式求值，而只会回应所输入的微分式。 如果想求出微分式的值，可以使用 value指令来达成。此外，数学上惯用以jx f来表示单变数函数f对x微分。若f为多变数函数，贝U习惯上以；f来表示f对x的偏微分(partial differentiation)。值得注意的是，Maple的输

32、出是以较广义的偏微分符号x来取代惯用的。Diff以标准的数学式来显示所输入的 Diff(xA2+b*x,x);微分指令。於数学上，惯用仪来代表对单变数函数做微分，但Maple则以 Diff(xA2+b*x,x)=diff(xA2+b*x,x); diff(f+g)(x),x); diff(f*g)(x),x); diff(f/g)(x),x); n ormal(%);偏微分符号-f-来表示所有的微分式。 用右式的语法，可以建构一个完整的数学式。微分f(x)亠g(x)。读者可以注意到， 函数和的微分等於微分的和。这是微分的乘法公式。这是微分的除法公式。normal指令则可以把两个分式合并成 一个

33、分式。您可以对照一下，右式正 是定理3.2.6的公式。3.3.2微分运算子D()在介绍微分运算子之前，读者必须先了解 Maple的函数运算子(functional operator)。Maple的内建 函数如sin、cos、abs与sqrt等皆为函数运算子，而函数运算子加上引数 (如sinx、cosx .等)即成为 一个标准的函数，如图3.3.1所示。函数运算子加上引数即成为一个标图3.3.1函数运算子与其引数的关系 (sin+sqrt)(x);准的函数如果於Maple里自定一个函数f(x) =X23，其语法为f:=x-2*x+3则其中的x-2*x+3 即为自定的函数运算子。因自定的函数运算子

34、通常颇为冗长且不易记忆，故 习惯上，常会把它设给一个变数(如f:=x-2*x+3)，而以这个变数来代表这一整个函数运算子图3.3.2说明了函数运算子与其引数的关系。设定f为函 数运算子利用函数运算子来计算f (6)f:=x-2*x+3函数运算子函数运算子引数图3.3.2自定的函数运算子与其引数的关系x-2*x+3 是一个函数运算子。 在函数运算子之後加上一个引数， Maple即可求得其函数值。设定f为函数运算子 x-2*x+3。利用所定义的函数运算子来计算f(4)的值。於此例中，读者可以发 现f与sin两个函数运算子实有异曲 同工之妙。熟悉了 Maple的函数运算子之後，所设计，给予一函数运算

35、子，微分运算子D即可求出这个运算子的微分式。因此,函数运算子的微分，而diff则是用来计算数学运算式的微分。由此可知，算式，而D的运算结果则是一个运算子。 x-2*x+3; (x-2*x+3)(4); f:=x-2*x+3; f,si n( Pi);再来看看微分运算子D。Maple的微分运算子系针对函数运算子 D是用在计算 diff的运算结果是一个运D(f)求函数运算子f的一阶微分运算子微分运算子D()接下来的范例介绍了微分运算子的各种用法，其中有部份的范例取材於三角函数的微分，这个部分的微分理论很快的於下节中便会介绍，但读者可以先参考一下微分运算子D()的用法。sin为Maple的一个内建函

36、数运算子，微分此一运算子可得cos,而cos本身也是一个函数运算子。diff则是用来计算数学式的微分。D(sin)回应 cos，故 D(sin)(x)回cos(x) o同时对数个函数运算子的组合微分。注意其结果是一组函数运算子。函数运算子加上引数即成一般的数学表示式。 D(si n); diff(si n(x),x); D(si n) (x); D(sin+cos+sqrt); D(sin+cos+sqrt)(x);D指令不仅可以用在Maple的内建函数运算子，同时也可以用在自定的函数运算子，其用与上面的几个例子相同於。 f:=x-xA3+x+1; g:=D(f)；定义一函数运算子 f。D(f

37、)的结果亦为一函数运算子。於右边的范例中，我们把运算结果设给另 一变数go求g(k)的值，得到 f (x)在x = k时的 导数。 g(k);计算f(x) g(x)。计算d f (x)g(x)於x =1时的导数。 D(f+g)(x); D(f*g)(1);除去f与g的定义。 un assig n(f,g);因f并没有任何定义，故 D(f)回应原 D(f);式。这是函数运算子的一阶微分，并於零 D(f)(0);这一点求值。此式相当於f (0)。此式相当於f (x)。 D(f)(x);利用con vert指令可以将微分运算子 con vert(%,diff);的表示式转换成传统的数学表示式。D(s

38、in)得 cos，而 cos(0)=1。 D(s in )(0);习题3.3於习题18中，试以Maple的diff指令计算各式1.124x 32. 2sin (x1).x3 -13. x4/5 - sin , x h *r 1 1 1x4. x5. x xT6. (x+3广 x2c、127. (x -2)crI L8. sin(cosx)9. 试以Maple的微分运算子D来计算习题18,并验证所得的结果是否相同於习题1012中，试以Maple的微分运算子D来计算各式。10. f (x) = J4X2 +2，求 f(4)。11. f(x)=24X+3，求 f(jr)。sin x +cosx12.

39、 f (x) =xx，求 f (1)。13.设 f (x) =x -6x 4x -4。、:(1)试绘出f(x)的图形，范围取-3兰x兰3。(2)绘出f(x)的图形，范围取-3兰x兰3。f(x) =0的点约位於何处？试由所绘的图形来说明 试以solve指令求出f(x)=0所有的解，并由函数图形来验证所求得的答案。f(x)的最高点与最低点约位於何处？试由函数的图形来说明(6)於f(x)的最高点与最低点之处，f (x)的值为何？试由函数的图形来说明3.4三角函数的导函数本节将探讨如何计算三角函数的导函数，而於推导的过程中，所有的角度均以弪度为单位。附录E附有三角函数简单的复习，有需要的读者可迳行参考

40、。於本节一开始先来推导sinx的导函数，其它 三角函数的导函数均可藉由sinx的导函数与微分的基本公式来导出。由导函数的定义，(导函数的定义)dsin(x h) -sin xsin x =limdxhohsin xcosh cosxsin h sinxh(将 sin(x 亠 h)展开)(提出 sin x与 cosx)稍後将证明lim=o与h 0 h(3.4.2)故(式可以化简成d .sin x = cosxdxcosx的导函数可仿照上例， 由(342)式，可得dcosx = -sin xdxtanx的导函数可由与式来推导而得: 於是，可得(3.4.3)(344)d tan x .sec2 x

41、dx其它三角函数的导函数之证明将留做习题:d2dx(3.4.5)(3.4.6)(3.4.7)(3.4.8)定理341(b) himocosh -15.来源于网络由图中可看出打却，其中r为半径，二为角度。所以定理3.4.1的证明颇为有趣，以下先证出(a)的部份，而(b)的证明则型习题。如图3.4丄所示，先 於纸上绘一个半径为1的四分之一圆，并交x轴於A点。绘一线段OC交圆於B点，而CA垂直於x 轴。半径r= 1OAB的面积：:扇形OAB的面积：:OAC的面积 角形面积为底乘高除二，而扇形面积为OAB 的面积 =sinh/2，扇SC的WR的寫 2故可得将上式同乘2/sinh，再取倒数，可得式系在0

42、：h/2的区间内所推导而得，事实上，在0 .h ._二/2区间内，式亦成立，因为当h)0时,cosh=1，故由夹击定理可推得mT Hh(3410)定理3.4.1 (b)式的证明可由(3.4.10)推导而得，这个部分留做习题。有趣的是，如果把的每一个函数 绘於/2 plot(cos(h),sin(h)/h,1,中显示最顶端的水平线为y =1，而最 h=-Pi/2.Pi/2,y=0.4.1.2);底端的曲线为 cosh，而sin h/h的图形则被“夹击“在1与cosh之间。由图中可看岀当 hr0时，sin h/h =1。接下来，再来看几个Maple计算三角函数之导函数的范例。-J这是 一 sin

43、x的定义式。 dxd利用value求值，得到 一sin x =cosx。dx直接以diff指令计算 sin x。dx以微分运算子D也可以求得相同的结果。绘岀sinx (红色)与其导函数(即cosx，绿 色)的图形。由图中可看岀於 si nx的极大 值处，其导函数的值为零，相同的，当 导函数cosx的值为极大时，sin x的值亦 为零。计算tanx的导函数。由三角恒等式2 2sec x =1 tan x，故可知 tan x的导函d2数亦可写成dx tanx=sec这是secx的导函数。 value(%); diff(si n(x),x); D(si n) (x); plot(si n(x),di

44、ff(si n(x),x), x=-Pi.2*Pi); Diff(ta n(x),x):%=value(%); Diff(sec(x),x):%=value(%);习题3.4於习题13中，试导出各恒等式。I, Limit(si n(x+h)-si n(x)/h,h=0);d d21. 一 cot X - -csc xdx2.dsecx =secxta nx dx3.cscx = - cscx cot x dx4.试证明(提示：将空上1的分子与分母同乘cosh 1，经运算後再利用(3.4.10)式来计算)h於习题510中，试计算各微分式(si n xcosx) dxA _1 -dx sin x

45、tan x7.d tan x 亠2 dx sin x8.d tandx x -secxsin x9.(tanx secx) dx10.d sin x cscxdx tan x11. 试求y=sin x之图形在点(0,1)之切线方程式，并绘图来验证所求得的结果I2丿3.5链锁律本节将探讨合成函数(composite function)的微分，而合成函数的微分需要用到一些小技巧。在此先举一个范例来做说明，於前几节里已经学过如何微分函数I P 1 IJ. _f(x) =s inx 与 g(x) =2x21那麽，要如何利用已知的微分方法，来求得合成函数的导函数呢？首先，设u =2x2 1，贝U y 二

46、sinu，於是如果把dx看成是一个简单的除法，则dx可以改写成将与式代入式，可得再把u=2x2+1代入上式，即可得如此便可求得合成函数y = f(g(x)的导函数。式所用的微分方法称为链锁律(chain rule)，下面的定理说明了链锁律的法则。定理3.5.1链锁律设g在x为可微分，且f在g(x)为可微分，则合成函数f兀在x为可微分，且如果设y = f(g(x)且u=g(x)，则定理3.5.1可以改写成dy=dy du(3.5.4)dx du dx读者可以注意到，此式与式相同。【例题3.5.1】 设y=a(x3+6x)12，试求凹。dxdx【解】 令u =x3 6x， y=u12，由式，可得有

47、些函数可能须要用到两次，或者是两次以上的链锁律才能求得其导函数。下面的范例说明了这个情形。【例题3.5.2】 设ysin3(x2 4)，试求矽。dxdx【解】设口 =sin(x2 4)，则y =u3，所以女sin3(x2 4鱼理u2 dsin(x2 4)(a)dx dxdu dxdx来源于网络要求出上式中的2 sin (x24),必须再用一次链锁律。设y = x2 4 ,z=s inv,於是dxdzd . 2 八 dz dvs i rx(4)cos (2x)(b)dx dxdv dx将(b)式入(a)中可得於许多的应用中，计算(f (x)n = fn(x)的微分可直接利用广义的乘幕律(gene

48、ral power rule)此定律的叙述如下：定理3.5.2广义的乘幕律若f(x)为X的可微分函数，则dx)nJ(x)dxf(x)读者该不难发现，事实上，广义的乘幕律仅是链锁律的一个应用。通常这个定律可用来快速的计算函数的导函数。例如，下面为Maple应用在链锁律之计算的几个例子。Maple也是利用链锁律来计算合成函数的导函数。计算(dxsin3(x24)。您可以比较右式的结果，看看与例题3.5.2的结果是否相同。这是合成函数 f(g(x)的Maple表示法，其中fg为合成函数运算子。对合成函数运算子的微分。右边的结果可以看成(D(f)g D(g)，亦即D(f)合成g，再将其结果乘上 D(g

49、)。与上例做比较，f即为sin，而g则为sqrt D(f)=cos，D(g)=1/(2sqrt)，故 Maple回应 cossqrt/(2*sqrt)。加上引数则可求得 dd_sin x。利用diff指令直接对sinx微分，也可以得到相同的结果。 diff(xA3+6*x)A12,x); diff(si n( xA2+4)A3,x); (fg)(x)； D(fg); D(si n sqrt); D(si n sqrt)(x); diff(s in (sqrt(x),x);於习题习题3.518中，计算dy/ dx。1. y = x212. y =电 3x2 +43. y =(6x2 5)124.

50、 y =sin5 ( , x 1)5. y =tan2 , x6. y = 4cos(sirx)2x 37 .4x2-6x 28. y =x2 x 29.设x2(1)试验证(-1,1)为图形上的一点。(2)试求出通过点(-1,1)的切线方程式，并绘图来验证所求得的结果42来源于网络10.设 f (x) = . 4x 1试绘出f(x)的图形。 试求函数图形上的一点p(x, y)，使得通过p的切线与y轴截交於(0,2)这点。u为小鱼的数目，而x为11.大鱼吃小鱼，小鱼吃小虾为海洋生态的食物链。设y为大鱼的数目,小虾的数目(1)试解释dy/du、du/dx与dy/dx的涵义。(2)试以食物链的关系来

51、解释键锁律dy dy dx dudu。dx来源于网络3.6高阶导函数如果函数f (x)的导函数f (x)为一可微分函数，则f (x)称为f的一阶导函数(first order derivative)。如 果再把f (x)微分一次，则可记之为f (x)，而函数f (x)称为f的二阶导函数(second order derivative) 依此类推，可定义f的三阶、四阶导函数：d3dx3f (x)。一般而言，f (x)的n阶导函数可以写成f(n)(x)，或者是f (x)。例如f (x)则可以写成f(2)(x)，或者 是d；f(x)，而f(x)的三阶导函数可写成 厂(x)、f(3) (x)或者是【例

52、题361】试求f(x) =6x2，5x4的一阶、二阶、三阶与四阶导函数。【解】依式，可得f(x)的高阶导函数:因0的导函数为零，故其余较高阶的导函数均为0【例题362】试求Hqsinxdx【解】利用链锁律，sin2 x=2sinx cosx， dx=2 cos2 x - sin 2 xMaple计算二阶以上之导函数的指令与一阶相同，只是语法稍有不同。下表列出了diff指令与微分运算子D在二阶以上之导函数的用法。n计算微分式n f (x)dx(D n)(f)计算函数运算子f的n阶导函数定义 f (x) =xsinx。这是f (x)的定义式。求岀 f (x) =xcosx亠sinx， 再利用 un

53、apply 设定 fp(x) =xcosx sin x。这是f(x)的二阶导函数之定义式。以value指令即可求得f(x)的二阶导函数，即f (x)的值。计算高阶导函数的指令 f:=x-x*si n( x); Limit(f(x+h)-f(x)/h,h=0); fp:=u napply(value(%),x); Limit(fp(x+h)-fp(x)/h,h=O); value(%);以diff计算f (x)的值，可以得到相同 的结果。计算於x =2时，f (x)的二阶导数之 值。利用微分运算子 D来计算f (X)。以微分运算子 D来计算f(2)的值计算注意本例中所得的答 diff(f(x),x$2); eval(%,x=Pi/2); (D2)(f)(x); (D2)(f)(Pi/2); Diff(si n(xF2,x$2):%=value(%);案与例题362相同如果函数f没有任何的定义，则以D运算子来计算f的导函数时,Maple会以特定的格式来表示f移去f的所有设定。这是函数运算子的二阶微分式。(D2)表示函数运算子的二阶微分。 这是函数运