导数与函数的综合问题

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1、导数与函数的综合问题一、选择题1 .方程X3 6x2 +9x10=0的实根个数是()A.3B.2C.1D.0解析 设 f (x) =x36x2+9x 10, f (x) =3x212x+9=3(x1)(x 3), 由此可知函数的极大值为 f(1) = 60,极小值为f(3) =100,所以方 程x3 6x2+ 9x10=0的实根个数为1.答案 C2 .若存在正数x使2x(xa) 1成立，则实数a的取值范围是()A.( +00 )B.( 2, +00)C.(0 , +00)D.( 1, +00)一 x1解析 ,避(xa) x q.人.1.，x令 f(x)=x 或，f (x) =1+2 ln 2

2、0.f(x)在(0, +oo)上单调递增， .f(x)f(0) =01 = 1,实数a的取值范围为(一1, +00).答案 D3 . (2017 山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)-x(x)0,则()A.3f (1) f (3)C.3f (1) =f (3)D.f (1) =f (3)f (x)xf (x) f (x)解析 由于f(x)xf (x),则 = 0包成立，因xxf (x) f(3) f (1)此 在R上是单调递减函数,V f(3). x31答案 BA. a= 14 . (2017 德阳模拟)方程f(x) = f (x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻

3、点”，如果函数g(x) = ln x的“新驻点”为a,那么a满足()B.0a1C.2a3D.1a2解析 gf (x)=1, In x = 1. xx设 h(x) =ln x-11,则h(x)在(0 , +oo)上为增函数.一1又h(1) = 10,h(x)在(1 , 2)上有零点，. . 1a2.答案 D5 . (2017 贵阳联考)已知函数f (x)的定义域为1 , 4,部分对应值如下 表：x-10234f(x)12020f (x)的导函数y=f (x)的图象如图所示.当1a2时，函数y = f(x)a的零点的个数为()A.1B.2解析根据导函数图象，知C.32是函数的极小值点，函数D.4y

4、 = f (x)的大致图象如图所示.由于f(0) =f(3) =2, 1a0 Xt?xC 1, +00 恒成立，.二 a-M?x ， x2x1 一一 1 12，+00 恒成乂，= x1=2,a2.答案2 , +oo)x8.(2017 安徽江南名校联考)已知xC(0 , 2),若关于x的不等式r e1, ， 恒成立,则实数k的取值范围为.k 十 2x x解析 依题意，知k + 2xx20.即kx2 对任意xC(0, 2)包成立，从而k0, ,tt rex2 t r因此由原不等式，得k0,函数 乂)在(1 , 2)上单 调递增，当xC(0, 1)时，f (x)0,函数f(x)在(0, 1)上单调递

5、减，所以 k0,都有f(x)ax成立，求 实数a的取值范围.解 令 g(x) =(x+ 1)ln( x+1) ax,贝(J g (x) = ln( x+1) + 1 a. (1)当 a&l 时，1 a0, x0, . ln( x+1) 0, g (x)0, ；g(x)在0, +oo)上是增函数， g(x)g(0) =0, 二当 a1 时，令 g (x)=0解得 x=eaj1.当 0xea11 时，g (x)ea1 1 时，g (x)0, .g(x)ft(0, e-11)上递减，在(e1 1, +8)上递增， g(ea1 1)1时，不是对所有的x0,都有f(x)ax成立.综上，由(1)(2)可知

6、，实数a的取值范围是(一,1.10.(2017 武汉调研)已知函数 f(x)=ln x-a (x-1) (aCR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证：不等式(x+1)ln x2(x1)对？x C (1 , 2)恒成立.、,-x a解定义域为(0, +8),(x)=, xa00时，f (x)0, f(x)在(0, +8)上为增函数;a0时，f(x)在(a, +8)上为增函数，在(0, a)上为减函数.(2)证明 法一 vx (1 , 2), .-.x+10, .2 (x1).g(x)=要证原不等式成立，即证ln x、/对?xC(1 , 2)包成立,x十1lnx-2 (x-1)x+ 1,

7、(x-1) (x-1).ln x一对?xC(1 , 2)包成立，x I 1. .(x+1)ln x2(x1)对？xC (1 , 2)恒成立.法二 令 F(x)=(x+1)ln x-2(x- 1),.g (x)=-1P0, g(x)在(0，+8)上为增函数, kx 十 1 /2 (1 1)当 xC(1, 2)时，g(x)g(1)=ln 1 -=0,F，(x) = ln x+x-2, xx- 1=In x-x令(|)(x) = ln x-x，由(1)知2= 1 时, x小(x)在(0, 1)上为减函数，在(1 , +oo)上为增函数.x (1 , 2),则小(x)在(1 , 2)为增函数,小(x)

8、小(1) =0,即xC(1, 2), F (x)0,.王在。，2)上为增函数,F(x) F(1) = 0,. .(x+1)ln x2(x1)对？xC (1 , 2)恒成立.11 .函数f (x) =3x2+ ln x 2x的极值点的个数是()A.0B.1C.2D.无数个解析函数定义域为(0, +00),且f (x)=6x + x 2 =26x -2x+ 1由于 x0, g(x)=6x2 2x+1 中 A= 200包成立，故f (x)0包成立，即f (x)在定义域上单调递增，无极值点.答案 A12 . (2014 全国I卷)已知函数f(x) =ax3 3x2+1 ,若f(x)存在唯一的零点xq,

9、且x00,则实数a的取值范围是()A.(2 , i)b.( oo, 2)C.(1 , +00)D.( -00, 1)解析 法一 由题意aw0,由f (x)=3ax2 6x=0得乂 = 0或乂=.a当a0时，f(x)在(8, 0)和2, +00上单调递增，在0, 2上单调递减. aa且f(0) =10,故f(x)有小于0的零点，不符合题意，排除 A, C.当a0且唯一，只需f 2 0,即a24, a a-2,故选B. a法二f(x)有唯一正零点x。，等价于方程ax3 3x2+1=0有唯一正根x。，即a3 1=x一 x有有唯一正根x0.令 g(x)=l x xg (x)3 (1-x)=4x1 +

10、x)- g(x)在(8, 1)上递减，(1, 0)上递增，(0, 1)上递增，(1, +OO)上递减.又 g( 1) = 2, g(1) =2,且当 x1 时，g(x)1 时，g(x)0,. g(x)的大致图象如图：;直线y=a与y = g(x)有唯一交点，且横坐标 x0,只需ag(1) = 2. 答案 B13.(2017 西安模拟)定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f (x),满足 f(x)f (x),且 f(0) =2,则不等式 f(x)2ex的解集为()A.( 8, 0)B.( 8, 2)C.(0,2)D.(2 , +oo)、f (x) r , f (x) f (x)解析设 g(x

11、) =-ex,贝u g ( =ex, f(x)f (x),.g (x)0, ；g(x)在 R上为减函数， f(0) =2, .g(0) =f(0) =2,x f (x)口r f(x)2e ,-r2,即 g(x)0, .不等式的解集为(0, +oo).答案 C14. (2017 广州调研)已知函数f(x)=em x,其中m为常数.(1)若对任意x C R有f(x) 0包成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0, 2ml上零点的个数，并说明理由.解(1)依题意，可知f (x)=em 1,令 f (x) =0,得 x = m故当 xC(oo, m)时，exmv1, f (x)1, f (x)0, f(x)单调递增.故当x = m时，f (m)为极小值也是最小值.令 f(m)=1 mE 0,得 me 1,即对任意xCR , f(x)。恒成立时，m的取值范围是(8, 1.(2) 刈在0 , 2m上有两个零点，理由如下：当 m1 时，f(m)=1 m0, f(0) f(m)1 时，g (m) = em 20,g(m)在(1 , +8)上单调递增.g(m)g(1) =e 20,即 f(2m)0.f(m) f(2m)0,“x)在(簿 2m 上有一个零点.故f(x)在o, 2m上有两个零点.