第二章圆锥曲线

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1、章末检测卷二）时间：120分钟满分：150分）一、选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.双曲线3x2 y2= 9的实轴长是）A.2 3B.2 ,2C.4.3D.4 .2答案 A解析/2 23x2 y2= 9, X 9 = 1，- a =叮3, 2a = 2 3.2.抛物线y2= 8x的焦点到准线的距离是)A.1B.2C.4D.8答案 C解析/2p = 8, p= 4.22 2 23.椭圆行+七=i与双曲线xy=i有相同的焦点，贝yk应满足的条件是）9 kk 3A.k3B.2k3C.k= 2D.0k0, c=冷；9 k2 = “Jk+ 3,二 k= 2.2 24.F1、F2是椭圆字

2、+ *= 1 ab0）的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引/F1PF2的外角A.圆平分线的垂线，则垂足D.抛物线C.双曲线答案 A解析/ PQ平分/ F1PA，且PQ丄AF1, Q 为 AF1 的中点，且 |PF1|=|PA|,1 1 |0Q|= 2AF2|= 2 |FA|+ |PF2|)= a,Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆.25.直线y= x+ 3与曲线卷一字=1）A.没有交点B. 只有一个交点C. 有两个交点D. 有三个交点答案 D2 2解析当x0时，双曲线卷乡=1的渐近线为:y=，而直线y= x+ 3斜率为1,1b0）与双曲线m2 1 m0, n0）有相同的焦点一c,0）和c,0

3、），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是b1C.1答案解析c2= m2 + n2,由题意可得 c2= am,2n 2= 2m2+ c2,e=C=1 a 27.与抛物线x2= 4y关于直线x+ y= 0对称的抛物线的焦点坐标是A. 1,0)1小B. 116, )C. 1,0)D. 0，亦)答案 C解析 x2 = 4y关于x+ y= 0对称的曲线为y2 = 4x,其焦点为28.如图，F1, F2是椭圆C1: x + y2= 1与双曲线C2的公共焦点,1,0).A, B分别是C1, C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是A. .2B.

4、 .3C.1 2 3 4Di6答案解析|F1F2|= 2 3.设双曲线的方程为2 2a2-bh j|AF2|+ |AFi|= 4, AF2|- |AFi|= 2a, -|AF2|= 2+ a, |AF1|= 2 a.在 Rt F1AF2 中，/ F1AF2= 90 - |AF1| 2联立字 1 和 x=-4 得 A 4,16-a2), B 4, + AF2|2= |F1F2|2 , 即 2-a)2 + 2 + a)2= 2 ,3)2,2 故选D.a =2, e=a=气9.已知椭圆的中心在原点,离心率e=*且它的一个焦点与抛物线y2= 4x的焦点重合，则此椭圆方程为2 2A + 匚=1A. 43

5、2X 2.C2+y = 12B- +82 r X2*D + y2 = 14答案 A解析 I抛物线焦点为1,0), - c= 1, a= 2, b2= a2-c2= 3,10等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2= 16x的准线交于A, B两点,|AB|= 4 3,A. 2答案解析则C的实轴长为B.2 .2C.4D.82 2C: a2-仙1./抛物线y2= 16x的准线为x=- 4,-.16- a2), |AB|= 2 . 16- a2= 4 ,3, a = 2, 2a = 4. C的实轴长为211若点O和点F分别为椭圆x +4.2二=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则

6、OP FP的最大值为)A.2B.3C.6D.8答案C解析由椭圆方程得F 1,0)，设 P Xo, yo),2 0 * X- 4yo) = xo+ Xo+ yo.2y2= i32+2X0-4- OP FP = X =2|PF1| |MT| a = |MF1| |MT| a+ Xo+ 3 1 X0)T 2 Xo0, b0)的左焦点Fl引圆X2 + y2 = a2的切线，切点为T延长F订交双 曲线右支于P点，若M为线段的中点，O为坐标原点，贝U |MO| |MT|与b a的大小关 系为 )A.|MO| |MT|b aB.|MO| |MT|= b aC.|MO| |MT|b aD.不确定答案 B解析

7、如图，设双曲线的右焦点为F2,连接PF?.TO、M分别为的中点， OM是厶PF!F2的中位线，1- |OM|= 2IPF2I,由双曲线的定义，知IPF|PF2|= 2a, |PF2|= |PFi| 2a,1 |MO| |MT| = |PF1| 2a) |MT|=|TFi| a = |OFi|- |OT| 2 2 |AB| = a + b ,由题意得 |BF|=Jb2+ c2 = a, |AF|= a+ c./ Bf 丄 BA, |AB|2+ |BF|2= |AF|2, a+ c)2= a2 + b2 + a2,2 2c + ac a = 0.e + e 1 = 0,又 0eb0).16. 已知

8、双曲线的两个焦点为Fi ,5, 0)、F2 , 5, 0), P是此双曲线上的一点，且PFi丄PF2,|PFi|PF2|= 2，则该双曲线的方程是 .2 答案 7y求实数b的值； 求以点A为圆心，且与抛物线 C的准线相切的圆的方程.r”,y = x+ b,解（i）由2 x2= 4y得 x2 4x 4b = 0,*）因为直线I与抛物线C相切，所以= 4）2 4X 4b） = 0，解得 b= i.22）由i）可知b = i，故方程*）即为x 4x+ 4= 0,解得x= 2，代入x2 = 4y,得y = i.故点A 2,i），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线 y

9、= i的距离，即r=|i i）| = 2, 所以圆A的方程为x 2）2 + y i）2= 4.i9.i2分）过抛物线y2= 4x的焦点F作直线I与抛物线交于 A、B两点.求证： AOB是钝角三 角形.= i4解析 由 PFi 丄 PF2，有 |PFi|2+ |PF2|2= |FiF2|2? |PFi|PF2+ 2|PFi| |PF2|= |FiF2|2,由已知，得 |PFi| |PF2|= 2a, |FiF2|= 2c= 2 5, |PFi|PF2|= 2? 2a)2 + 2X 2= 2 5)2? a2 =24? b2= c2 a2 = 5 4= i.则双曲线方程为 X y2= i.4三、解答

10、题本大题共6小题，共70分)2 217. i0分)双曲线字一器=i a0, b0)，过焦点Fi的弦ABA, B在双曲线的同支上)长为m,另一焦点为F2，求 ABF2的周长.解 |AF2| |AFi|= 2a, |BF2| |BFi|= 2a, |AF2| AFi|)+ |BF2| |BFi|)= 4a,又 |AFi |+ |BFi|= |AB|= m, |AF2|+ |BF2|= 4a+ AFi|+ |BFi|)= 4a + m. ABF2 的周长等于 |AF21+ |BF21+ |AB|= 4a + 2m.18. i2分)如图，直线l: y= x+ b与抛物线C: x2= 4y相切于点A.证

11、明 T焦点F为1,0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为ky= x 1,代入抛物线 y 2 621. 12 分）已知椭圆G: * + 2= 1 ab0）的离心率为 丁，右焦点为2 2, 0）,斜率为1的直线I与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P 3,2）.1）求椭圆G的方程；2）求厶FAB的面积.解 1）由已知得c= 2.2, C=兰解得 a= 2 ,3,又 b2= a2 c2= 4.22所以椭圆g的方程为x+y=1.12 4= 4x,得 y2 4ky 4 = 0,则有 yAyB= 4,则 Xaxb=2 2yA b= 14 4 =又 |OA| |OB|cos/ A

12、OB = OA OB=Xaxb+ yAyB= 1 4 = 30 ,得/ AOB为钝角，故 AOB是钝角三角形.20. 12分）已知双曲线的中心在原点，焦点Fi,F2在坐标轴上，离心率为 2, 且过点4, 10）.1）求双曲线方程；2）若点M3, m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；3）在2）的条件下求 F1MF2的面积1）解离心率e= 2 ,双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x2 y2=入将0）,则由点4, ,10）在双曲线上，可得=42 10）2= 6,双曲线方程为x2 y2= 6.2）证明 T点M 3, m）在双曲线上，- 32 m2= 6, - m2= 3,又双曲线 x2

13、 y2= 6 的焦点为 F1 2 . 3, 0）, F2 2.3, 0）, - MF 1 MF 2 = 2； 3 3, m） 2、3 3, m）=3）2 2 3）2+ m2= 9 12+ 3= 0, MF1丄MF2, 点M在以F1F2为直径的圆上13）解 SAF1MF2= 2x 4 .3X |m|= 6.y= x+ m由 22由 x y ,+ J= 1 1242）设直线l的方程为y= x+ m.,得 4x2+ 6mx+ 3m2 12= 0.设A、B的坐标分别为 (Xi, yi), (X2, y2)(Xlb0)的左、右焦点分别是 F1、F?，离心率为 三，过F1且垂直 于x轴的直线被椭圆C截得的

14、线段长为1.1）求椭圆C的方程；2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1, PF2,设/ F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点 M m,0），求m的取值范围；3）在2）的条件下，过点 P作斜率为k的直线I，使得I与椭圆C有且只有一个公共点，设直 线PF. PF2的斜率分别为k2,若 2 0,试证明 合+-1为定值，并求出这个定值.kk1 kk2解 “由已知得e= c=于，字+ 4”= 1,又 c2= a2 b2,所以 a2= 4, b2= 1.2故椭圆C的方程为：7 + y2 = 1.42)方法一如图，由题意知JEjMJ=咱即 IPF1I = cm =3+ m 整理得|MF2| |

15、PF2|4 |PF1| c m .3 m耳3m= y |PF1| 2).又 a c|PF1|a + c,即卩 2 . 3|PF1|2+ 3.33 2m2.故m的取值范围为 m3 3)2，2 -方法二 由题意知：于W =年2旦,|PF1|PM| |PF2|PM|即PF1 PM PF2 PM |PF1|设 P xo,所以m=PF2|yo)，其中 xo 4,将向量坐标化得：m 4x0 16) = 3x0 12xo.3纠、2，2)3xo,而 x 2,2)，所以 m3)设 P xo, yo)沪 o),y yo= k x x).联立弓+y2=1,y yo= k x x , 所以= 64 kyo k2xo)22则直线I的方程为整理得 1 + 4k2)x2+ 8 ky k2xo)x+ 4 y2 2kxyo+ k2x() 1) = 0.16 1 + 4k2) y0 2kXoyo+ k2x() 1) = 0.即 4 x0)k2 + 2xyok+ 1 y0= 0.又 xo+ y2=1 ，所以 16y2k2+ 8xyok+ x2= o.故k=匹，又丄+ 1 = x0 + x0 =细4yok1 k2yoyoyok1k2yo所以肃+ kk2 k所以kJ； + 土为定值，这个定值为8.1又椭圆的离心率e=夕2 2椭圆的方程为7 + 土 = 1，故选A.43