数列和数学归纳法专项训练[附含答案解析]

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1、 WORD格式整理版 数列与数学归纳法专项训练1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形OP1Q1,Q1P2Q2,Qn-1PnQn设正三角形的边长为,nN,.1求的值; 2求数列的通项公式。2. 设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,都有成等差数列,成等比数列1试问是否成等差数列？为什么？2如果,求数列的前项和3. 已知等差数列中,8,66.求数列的通项公式；设,求证：.4. 已知数列中,n2,数列,满足1求证数列是等差数列；2求数列中的最大项与最小项,并说明理由；3记,求5. 已知数列an中,a10, 且an+1=, 试求a1的值,使得数列an是一个常数数列； 试求a

2、1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立； 若a1 = 2,设bn = | an+1an| ,并以Sn表示数列bn的前n项的和,求证：Sn6. 1已知：,求证；2已知：,求证：。7. 已知数列各项均不为0,其前n项和为,且对任意,都有p为大于1的常数,并记 .1求；2比较与的大小；3求证：.8. 已知,各项为正的等差数列满足,又数列的前项和是。1求数列的通项公式；2求证数列是等比数列；3设,试问数列有没有最大项？如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。9. 设数列前项和为,且3,其中m为常数,m(1) 求证:是等比数列;若数列的公比q=f,数列满足求证:为等差数列,求.10. 已

3、知数列满足：且,求,的值及数列的通项公式；设,求数列的前项和；11. 将等差数列所有项依次排列,并作如下分组：第一组1项,第二组2项,第三组4项,第n组项。记为第n组中各项的和。已知。1求数列的通项；2求的通项公式；3设的前n项的和为,求。12. 设各项为正数的等比数列的首项,前n项和为,且。求的通项；求的前n项和。13. 设数列是首项为0的递增数列, 满足：对于任意的总有两个不同的根。1试写出,并求出；2求,并求出的通项公式；3设,求。14. 已知数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列.若,求；试写出关于的关系式,并求的取值范围；续写已知数列,使得是

4、公差为的等差数列,依次类推,把已知数列推广为无穷数列. 提出同2类似的问题2应当作为特例,并进行研究,你能得到什么样的结论？ 15. 一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序：当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为 ；当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果的倍.1当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数？试猜想的关系式,并证明你的结论；2记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时,求此时对应的的值.16. 已知数列,其前n项和Sn满足是大于0的常数,且a1=1,a3=4.1求的值；2求数列的通项公式an；3设数列的前n

5、项和为Tn,试比较与Sn的大小.17. 定义：若数列满足,则称数列为平方递推数列已知数列中,且,其中为正整数设,证明：数列是平方递推数列,且数列为等比数列；设中平方递推数列 的前项之积为,即,求数列的通项及关于的表达式；记,求数列的前项之和,并求使的的最小值18. 在不等边ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知,依次成等差数列,给定数列,1试根据下列选项作出判断,并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列,A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列D既非等比数列也非等差数列2证明你的判断19. 已知是等差数列,其前n项和为Sn,已知a2=8,S

6、10=185, 1求数列的通项公式； 2设,证明是等比数列,并求其前n项和Tn.20. 已知数列an中,n2,3,4, I求的值； II证明当n2,3,4,时,21. 已知等差数列中,是其前n项的和且 I求数列的通项公式。 II若从数列中依次取出第2项,第4项,第8项,第项,按原来的顺序组成一个新数列,求数列的前n项和。22. 已知正项等比数列满足条件：；,求的通项公式23. 已知函数fxaxb图象过点A2,1和B5,21求函数fx的解析式；2记,是否存在正数k,使得对一切均成立,若存在,求出k的最大值,若不存在,请说明理由24. 已知f=log2,mR1如果f,f,f成等差数列,求m的值；2

7、如果a,b,c是两两不等的正数,且a,b,c依次成等比数列,试判断f+f与2f的大小关系,并证明你的结论。25. 已知等差数列an的公差d0.Sn是它的前n项和,又与的等比中项是,与的等差中项是6,求an。26. 和分别是等比数列和等差数列,它们的前四项和分别为120和60,而第二项与第四项的和分别是90和34,令集合,求证：27. 已知曲线C：, ： 。从上的点作轴的垂线,交于点,再从点作轴的垂线,交于点,设。 I求的坐标； II求数列的通项公式；III记数列的前项和为,求证：答案：1. 解：由条件可得,代入得；代入曲线并整理得,于是当时,即又当；,故 所以数列是首项为、公差为的等差数列,

8、。2. 由题意,得, 1 2 1因为,所以由式2得,从而当时,代入式1得,即,故是等差数列2由及式1,式2,易得因此的公差,从而,得 3又也适合式3,得,所以,从而3. 解：, =而是递增数列 , . 4. 1,而,是首项为,公差为1的等差数列2依题意有,而,对于函数,在x3.5时,y0,在3.5,上为减函数故当n4时,取最大值3而函数在x3.5时,y0,在,3.5上也为减函数故当n3时,取最小值,-13,5. 欲使数列an是一个常数数列,则an+1= an 又依a10,可得an0并解出：an=,即a1 = an = 研究an+1an= 注意到0因此,可以得出：an+1an,anan1,an1

9、an2,a2a1有相同的符号7要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2a10即可.由0,解得：0a1用与中相同的方法,可得当a1时,an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时,an+1an0 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=, 故Sn0,t1,原不等式等价于令f=t-1-lnt,当时,有,函数f在递增ff即t-1lnt另令,则有g在上递增,gg=0综上得2由1令x=1,2,并相加得即得7. 易求得2作差比较易得：3当时,不等式组显然成立. 当由2知 再证而同理：,以

10、上各式相加得：即 .8. 1,又 或 若,则,与矛盾； 若,则,显然,2, 当时,欧时,数列是以9为首项,为公比的等比数列。 3,设是数列中的最大项,则 由 可得数列有最大项,最大项是。9. 1由是等比数列。210. 经计算, 当为奇数时,即数列的奇数项成等差数列,； 当为偶数,即数列的偶数项成等比数列, 因此,数列的通项公式为 , 121、2两式相减,得 11. 设的公差为d,首项为,则 1 2解得,则。2当时,在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项是数列中的第项,且第n组中共有项。所以当n=1时,也适合上式,故。3。即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数。则12. 由 得 即可得

11、因为,所以 解得,因而 因为是首项、公比的等比数列,故则数列的前n项和 前两式相减,得 即 13. 1,当时, 又对任意的,总有两个不同的根, 由,对任意的,总有两个不同的根, 对任意的,总有两个不同的根, 由此可得, （1） 当,当,14. 1. 2,当时,. 3所给数列可推广为无穷数列,其中是首项为1,公差为1的等差数列,当时,数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式,并求的取值范围 15. 1由已知得当时, 1分同理可得 3分 猜想下面用数学归纳法证明成立当时,由上面的计算结果知成立 6分假设时,成立,即 ,那么当时,即当时,也成立 综合所述,对 ,成立。 2由1可

12、得16. I解：由得, II由,数列是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,当n=1时a1=1满足 III,得,则. 当n=1时,即当n=1或2时,当n2时,17. 1由条件an12an22an, 得2an114an24an12bn是平方递推数列lgbn12lgbnlglg50,2lg为等比数列2lglg5,lg2n1lg5,2an15,anlgTnlglglglg5Tn53cn2,Sn2n12n2n212n22由Sn2008得2n222008,n1005,当n1004时,n1005,当n1005时,n1005,n的最小值为100518. 1B2因为、成等差数列,所以,所以又,显然,即、

13、成等差数列若其为等比数列,有,所以,与题设矛盾19. 1 解得 27分 是公比为8的等比数列10分20. I, 4分 II当k2,3,4,5,时,21. I设数列的公差为d,则, 又 由12得数列的通项公式 II数列的前n项和22. 设等比数列的公比为q,由已知条件,得得：,所以,得,即或舍去由得：23. 1由已知,得解得：2设存在正数k,使得对一切均成立,则记,则,Fn是随n的增大而增大,当时,即k的最大值为24. 1f,f,f成等差数列,f+f=2f.即log2+log2=log22=2即m2+5m+4=m2+4m+4m=0 f+f=log2+log2=log2,2f=2log2=log2

14、2,a,b,c成等比数列,-2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m-b2-2bm=m-2ma0,c0.a+c2m0时,-20, log2log22f+f2f;m0时,-20,log2log22f+f2f;m=0时,-2=0log2=log22f+f=2f;25. 即即解之,得把d=2代入a1+2d=6, 得a1=226. 等比数列中,当时,化简得,所以,等差数列中,解得所以,B9,13,17,4n5设A中任意元素为,则需证是B中的一个元素,设其为,则需证,即,则需证是4的倍数因为,所以以上多项式各项都是4的倍数,能被4整除所以集合A中的任意元素都是B中的元素,又,所以27. 1由题意得知,2,点的坐标为在曲线上,又在曲线上,III+7分 =,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19 / 19