定积分的简单应用知识讲解

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1、定积分的简单应用【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线 x a， x b (a b)， x轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲S a f (x)dx a f (x) g(x)dx aa2.如图，由三条直线 x a， x b (a b)， x轴(即直线 y g(x) 0 )及一条曲线y f(x)( f (x) 0 )围成的曲边梯形的面积：bag(x)3由三条直线 x a,x b(af (x)dxc b), x 轴及一条曲线 yf ( x)(不妨设在区间 a,c 上f(x) 0，在区间 c,b上 f (x)0 )围成的图形的面积：cbf (x)dx f (x)d

2、x .ac4. 如图，由曲线 y1f1(x) y2 f2(x) f1(x) f2(x)及直线 x a， x b (a b)围成图形的面积：bbbS f1(x) f2(x)dxf1( x)dxf2(x)dxaaa要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： 当平面图形的曲边在 x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； 当平面图形的一部分在 x 轴下方时，其在 x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取 其相反数(或绝对值) ；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤( 1)画出图形； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； (

3、3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；( 4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。要点三、定积分在物理中的应用 变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程 S，等于其速度函数 v v(t)(v(t) 0) 在时间区间ba,b 上的定积分，即 S v(t)dt .a变力作功物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与F ( x)相同的方向从 x a移动b到 x b (a b) ，那么变力 F(x) 所作的功 WF(x)dx.a要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的

4、关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂： 定积分的简单应用 385155 例 1】例 1计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的图形的面积 .【思路点拨】 两条抛物线所围成的图形的面积， 可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积 的差得到。解析】yx2yxx 0及x 1，所以两曲线的交点为（ 0， 0）、（1，1），面积 S=10x2dx，1 1 2 所以 S 0 xdx 0 x2dx2x3213x32 1 1333总结升华】 1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两

5、条曲线所对应的曲边梯形的 面积的差得到。2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤：作图象；求交点，定积分上、下限；用定积分表示所求的面积；微积分基本定理求定积分。举一反三：变式】求曲线 y log 2 x 与曲线 y log 2 (4 答案】所求图形的面积为1 1 yS 0【g(y) f (y)dy 0 (4 2 2y)dyx） 以及 x 轴所围成的图形面积。例 2 求抛物线 y2x 与直线 x 2y 3 0所围成的图形的面积思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。 解析】解法解方程组2y2 x, 得 x 1 或 x 9x 2y 3 0, y 1 y 3即交点 A(1, 1),B(9,

6、3) .(4y 2 2y log2 e)|10 4 2log2 e由于阴影的面积不易直接由某个函数的定积分来求得，我们把它合理的划分一下，便于进行积分计算。过 A 点作虚线，把阴影部分分成了两部分，分别求出两部分的面积，再求和0 x ( x)dx x 1(x 3)dx2S1S2321091 9xdx xdx12 19dx12x23x941 32 .3.【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线 三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分的上、 下限，我 们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。解法二：若选 y 为积分变量，则上限、下限分别为 1

7、 和 3，所以要求的面积为： 32S1(2 y 3) y2dy12 3 3 y 3 32 y 1 3y 1 3 1 3 .【总结升华】需要指出的是，积分变量不一定是 x ，有时根据平面图形的特点，也可选 y 作为积分变量，以简化计算。但要注意积分上限、下限的确定 .举一反三：【高清课堂： 定积分的简单应用 385155 例 2】【变式 1】计算由直线 y x 4，曲线 y 2x以及 x 轴所围图形的面积 S.答案】阴影部分解方程组直线 y xyy4 与曲线 y的交点的坐标为得直线 yxx44与 x 轴的交点为( 4,0).作 出 直 线 y x 4 ， 曲 线y 2x 的草图， 所求面积为上图

8、的面积8,4) .因此，所求图形的面积为 S=S1+S22xdx 2xdx84 (x 4)dx232x2|40232x2|8412(x 4)2 |84403变式 2】求抛物线2y2 2x 与直线 y 4x 围成的平面图形的面积 .答案】由方程组 y 2xy4解出抛物线和直线的交点为( 2, 2 )及( 8,x4)解法一 :选 x 作为积分变量，由图可看出S=A1+A2在 A1 部分：由于抛物线的上半支方程为y 2x ，下半支方程为SA10 2x ( 2x)dx22201x2dx是：22322x32 16038242x)dx(4x12x2232x32)2832x ，所以8,-4)163338 1

9、8.解法二 : 选 y 作积分变量，将曲线方程写为S 4 (4 y) y2 dy (4y y23y63)30 1218.类型二、求变速直线运动的路程到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 a 2例 3汽车以每小时 36 公里的速度行驶， 米/ 秒 2 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 【思路点拨】 因为距离速度 时间， 所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度 变化函数式成为该题的关键 .【解析】因为距离速度 时间，所以找到该汽车从刹车开始到停车所用的时间与速度变化函数 式成为该题的关键 .首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，当 t 0时，汽车速度 v0 36公里/ 小时

10、 36 1000 米/秒=10 米/秒.0 3600刹车后汽车减速行驶，其速度为 V(t) V0 at 10 2t .当汽车停车时，速度 V(t) 0，故从 V(t) 10 到V(t) 0用的时间 t 10 0 5秒.2 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是55S V(t)dt (10 2t)dt1 2 5 (10t 2 t2)|50 25 (米)2 即在刹车后，汽车需走过 25.【总结升华】 解决实际应用问题， 解题的关键是弄清事物变化发展的规律， 再根据规律变化 找到相应的函数式 .举一反三：变式】一点在直线上从时刻t=0 ( s)开始以速度 v=t 24t+3 ( m s)运动，求：1)

11、在 t=4 s 时的位置；2)在 t=4 s 时运动的路程。答案】( 1)在时刻 t=4 时该点的位置为：4(t24t 3)dt1 3 2t3 2t2 3t4即在 t=4s 时该点距出发点m。32)因为 v (t)=t2 4t+3=(t 1)(t 3) ，所以区间 0，1 及3，4 上的 v(t ) 0，在区间 1 ，3 上， v(t ) 0，所以在 t=4 s 时的路程为：1 2 3 2 4 2 s 0(t2 4t 3)dt 1(t2 4t 3)dt 3 (t2 4t 3)dt1 2 3 2 4 20 (t 2 t4 3)dt 1 (t2 4t 3)dt 3 (t 2 4t 3)dt即在 t

12、=4 s 运动的路程为 4 m。4(m) 。类型三、求变力做功例 4 直径为 20cm，高为 80cn 的圆柱体内充满压强为 10N/cm2 的蒸气，设温度保持不变， 要使蒸气的体积缩小为原来的一斗，求需要做多少功？【解析】 设上端为活塞，且如图所示取定 x 轴.另设底面面积为 S ，活塞压缩至 x 位置时气体的体积为 V (x) ，压强为P(x)，由于 PV k (其中 k为常数)，则P(x)其中 kkV(x)kS(h x)P(x)SkhxP(0)V (0) 80000 (N cm)800 (J)故所求的功为 W02Fdxdx800 ln 2(J).【总结升华】 求变力作功问题， 一般利用定

13、积分加以解决， 但要注意寻找积分变量与积分区 间。举一反三：高清课堂： 定积分的简单应用 385155 例 5】 变式】求证： 把质量为 m（单位 kg）的物体从地球的表面升高 h（单位：m）处所做的功 W= G Mmh ， k（k h）其中 G是地球引力常数， M是地球的质量， k 是地球的半径 答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力 f 为 f = G m1m2 2 ，其中 G为引力常数 rMm f (x) = G(kMmx)2故该物体从地面升到h 处所做的功为hW 0 f (x) dx =h0G=GMm （ 1 1 khk 类型四、定

14、积分的综合应用Mm2 dx = (k x)2Mnh h)k(k2例 5 已知抛物线 y px2qx其中h1GMmh 1 0 (k12 dx = GMm(x)2kx)|h0p 0,q直线 x y 5 相切， 且此抛物线与 p 和 q 为何值时， S 达到最大值？求出此最大值【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值 【解析】依题意知，抛物线如图所示，求得它与x 轴所围成的平面图形的面积为 S. 问0 ）在第一象限内与,再由积分式算出 S。x 轴的交点横坐标为x1 0, x2面积 Sq0 p ( px 23qx)dx q 2 .6p2因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组5,得2px

15、 qx,px2 (q 1)x0 ，其判别式必等于零，因而有p 1 (120q)2.从而得到S(q)2(2q00q13)2S(q) 200q3(33(q 1)2q) 解得 q 3.则当质量为 m物体距离地面高度为 x（ 0xh）时，地心对它有引力3 时，S (q) 0; 当 q 3时， S (q) 0.于是当 q 3时， S（q） 取得极大值，即最大值4 225 此时 p54 ，从而最大值为 S 23225总结升华】这是一道综合了导数与定积分等概念的题目. 利用定积分求出 S 的面积S（ p,q） ，再利用抛物线与直线相切的条件，确定p 和q的关系，从而将求 S（p,q）的极值化为一元函数极值问题举一反三：【变式】已知抛物线 y ax2 矩形分成两部分，其面积之比为(a1：0） ，将以（ 0，0），（b，0），（b，h），（0，h）为顶点的 2，试求抛物线方程中的系数答案】如图分两种情况讨论：）如S1ha0(h2ax )dx hS2ha ax02dxbh hdxa13a ha由已知 S1S22）如图二：bS1 0 (h2ax)dx hbab ， S23由题意知：S1S222 ，解得1hb2 。3解得 a1ab3ax2dx0124h b2 .