高中数学苏教版必修一学案3.2.1第2课时对数的运算及换底公式

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1、第 2 课时 对数的运算及换底公式学习目标 1.掌握积、商、幕的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件（重、难点）；2.掌握换底公式及其推论（难点）；3能熟练运用对数的运算性质进行化简 求值（重点）I课前預习“耋 ilif證噩 I盲至瑩旨鑒鬆逹基画预习教材 P75 78,完成下面问题：知识点一对数运算性质一般地，如果 a0,且 a 1, M0, N0,那么：(1) loga(M N) = logaM + logaN ；M(2) loga = logaM logaN.【预习评价】1.有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算那么，有没有类似乘法口诀的结论，使我们不必把对数式还原成指数式就能

2、计算？提示 有.例如，设 logaM = m, logaN = n,贝 U am= M , an= N,.MN = aman= am+n,.|oga（MN） = m+ n = logaM + logaN，得到的结论 loga（MN） = logaM + logaN可 以当公式直接进行对数运算.2. log24, log28, log232 之间存在什么关系?提示 log24 + Iog28= Iog232= Iog2(4x8),32Iog2= log24 = log232 log28,知识点二换底公式般地，对数换底公式log?3?Iog28= log232 log24.特别地：logab lo

3、gba= 1(a0,且 aM1, b0,且 bM1).logab =logcblogca(a0,且 a 1, b0, c0,且CM1);【预习评价】 思考 假设 lOg：；= x,则 Iog25=xlog23，即 Iog25= Iog23x，从而有 3x=5,再化为对数式可得到什么结论？提示 把 3x= 5 化为对数式为：Iog35 = x,知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论:1(1)Iogab 二丽；(2) logab Iogbc Iogca = 1;二 Iogab;I 二 mIogab；Io 営丄b二二 Iogab.【预习评价】1判断 Iog9(x+ 5) = 2 Iog3(x

4、+ 5).()提示V课童互甫竝型匸匚可曲卜究题型一积商幕的对数运算【例 1】化简 Iogax y解 0 且 x20, y0,3zy0, z0.Ioga= loga(x2) Iogaz3z=logaX + logay loga1 1=2loga|x| + 2logay glogaz.又因为 x=器所以得出Iog35=Iog25Iog23的结规律方法使用公式要注意成立条件，log2（ 3）（ 5）= log2（ 3）+ log2（ 5）是不成立的.logio（ 10）2= 2logio（ 10）是不成立的.要特别注意 loga(MN)工 logaMlogaN , loga(M N)工 logaM

5、ogaN.Jogag=loga,xloga(yz)=logaxlogaylogaz.题型二 利用换底公式化简、求值例 2】计算:(1) lg 20+ logioo25;(2) (log2l25+ log425+ log85) (log1258 + log254 + log52).解(1)lg 20 + Iog1oo25= 1 + lg 2+ 器 100= 1+ 2 + lg 5= 2.(2)(log2125+ log425+ log85) (log1258 + log254 + log52)(log253+ log2252+ log235)卜 -:- =(3 + 1+ 3)log25 (1 +

6、 1+ 1)log5213=3=13.规律方法（1）在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.(2)常用的公式有：logab logba= 1,=mlogab, logab=a 等.【训练 2(1)(log29) (log34) =_ .丄 11(2)log225log38log59=_ .【训练 1已知 y0,化简 loga-yz；.喘o, yo,x0, z0.解析(1)(log29) (log34)= (Iog231 2 3) (log322)=2log23 (2log32)=4log23 Iog32 = 4.1 1 1lg25lg8lg9lg 2 lg 3 lg 52lg

7、 5 3lg 2 2lg 3 lg 2lg 3lg 5 :答案(1)4 (2)12互动探究题型三换底公式、对数运算性质综合运用【探究 11已知 log189 = a,18b= 5,求 Iog3645.解.log189 = a,18b= 5,.log185= b.曰Iog1845log18(5X9)log189+log185于是log3645=log1836=log18丽 i 二1 + log182a+ b a+ b=1 + log18f2 a【探究21设 3=化36,求 a + *的值. 解由 3a= 4b= 36,得 a= log336, b= log436,2 1由换底公式得= log36

8、3, = log364,3 1a+2log363 + Iog364= Iog3636= 1.111【探究 31已知 2x= 3y= 5z,且 x+y +1,求 x, y,乙入y厶解令 2x= 3y= 5z= k(k0).x= Iog2k, y= Iog3k, z= Iog5k,原式=12.1 1 1 x =Iogk2，y=Iogk3，z=Iogk5,1 1 1由 x+ y+ Z= 1，得 Iogk2+ Iogk3 + Iogk5= Iogk30= 1， k= 30,x= Iog230= 1 + Iog2l5,y= Iog330= 1 + Iog3l0, z= Iog530= 1 + Iog56

9、.x【探究 4】 已知 Ig x+ Ig y= 2Ig(x2y)，求 Iog2y的值.解 由 lg x+ Ig y= 2lg(x 2y)，得 xy= (x 2y)2,x 亠 x 解得 y=1或 y= 4.又 x0, y0, x 2y0,.x2.x=4y y，xog2y= Iog24= Iog216= 4.规律方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.(2)对于这类连等式可令其等于 k(k 0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.I课堂反馈Ij鰹鰹靈霸薩麟畳

10、I曹首生寵繼测威魏课堂达标1. Ig 8+ 3Ig 5 的值为_.解析 Ig 8+ 3Ig 5= Ig 8 + Ig 53= Ig 8 + Ig 125=Ig (8X125)=Ig 1 000=3.答案 32 .已知 Ig a，Ig b 是方程 2x2 4x+ 1 = 0 的两根，则(Ig学)2的值是_ 2 2即 x 5xy+ 4y = 0，化为4= 0,1a222解析 lg a+ lg b =2, lg a lg b =女，(lg )= (lg a-lg b) = (lg a+ lg b) 4lg a lg b=224X1=2.答案 23.若 logab log3a=4,贝 U b 的值为_

11、 .lg b lg a lg b解析logab log3a=a lg 3 = lg 3=4，44所以 lg b= 4lg 3= lg 3，所以 b = 3 = 81.答案 811 1 4已知 2m= 5n= 10,则一+ -= .m n -解析 因为 m= log210, n = log510, log102+ log105= lg 10= 1.答案 15.计算：(1)lg 14 2lg7+ lg 7 lg 18;lg .27+ lg 8 31g 10 lg 1.2解(1)方法一lg 14 2lg 3+ lg 7 lg 18=lg(2X7)2(lg 7lg 3)+lg 7lg(32X2)=lg

12、 2+ lg 7 2lg 7 + 2lg 3+ lg 7 2lg 3 lg 2=0.方法二 lg 14 2lg7+ lg 7 lg 181 1所以m+1=Ig 14- l00g-I7g+l27一3g(14X7=lg 1 =0.X183X2232 lg 3 + 2lg 2- 1=lg 3+ 2lg 2- 13=2.课堂小结1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2运用对数的运算性质应注意：(1) 在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2) 根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3) 在运算过程中避免出现以下错误：logaNn= (logaN)n,loga(MN)= logaM logaN,logaM ogaN= loga(M N).（2）lg27+lg 8-3lg 10lg 1.2咏丽池+1 肚 2 弓一 3 居品